2019版數(shù)學(xué)創(chuàng)新浙江專用版：第四章 三角函數(shù) 解三角形 第6節(jié)課時(shí)作業(yè) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1．(一題多解)在△ABC中，AB＝eq\r(3）,AC＝1，B＝30°，△ABC的面積為eq\f（\r（3)，2),則C＝（)A．30° B．45° C．60° D．75°解析法一∵S△ABC＝eq\f(1,2）·AB·AC·sinA＝eq\f（\r（3)，2),即eq\f（1,2）×eq\r（3）×1×sinA＝eq\f（\r(3）,2）,∴sinA＝1，由A∈(0°,180°），∴A＝90°,∴C＝60°。故選C.法二由正弦定理,得eq\f（sinB，AC)＝eq\f（sinC，AB），即eq\f（1，2)＝eq\f（sinC，\r(3）），sinC＝eq\f(\r(3),2），又C∈(0°，180°），∴C＝60°或C＝120°。當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，S△ABC＝eq\f(\r(3）,4)≠eq\f（\r(3），2)（舍去）．而當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，S△ABC＝eq\f（\r(3),2），符合條件，故C＝60°.故選C.答案C2．在△ABC中，角A,B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r（3），3)，則B等于(）A.eq\f(π，3) B.eq\f(5π,6） C。eq\f（π,6)或eq\f(5π,6) D。eq\f(π，6）解析∵A＝eq\f（2π，3），a＝2,b＝eq\f(2\r(3），3），∴由正弦定理eq\f(a，sinA)＝eq\f(b,sinB）可得，sinB＝eq\f(b，a)sinA＝eq\f（\f(2\r(3）,3),2）×eq\f(\r（3），2)＝eq\f（1，2）。∵A＝eq\f(2π,3),∴B＝eq\f(π,6）。答案D3．在△ABC中，角A,B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1－sinA)，則A＝（)A.eq\f(3π,4) B.eq\f（π,3） C.eq\f（π,4) D.eq\f（π,6）解析在△ABC中，由b＝c,得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(2b2－a2，2b2），又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈（0,π)，所以A＝eq\f(π，4），故選C.答案C4．在△ABC中，cos2eq\f（B，2）＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊）,則△ABC的形狀為(）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析因?yàn)閏os2eq\f(B，2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f（B，2)－1＝eq\f(a＋c，c)－1，所以cosB＝eq\f（a，c），所以eq\f（a2＋c2－b2,2ac）＝eq\f（a，c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC為直角三角形．答案B5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，則“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析因?yàn)樵凇鰽BC中，a＞b?sinA＞sinB?sin2A＞sin2B?2sin2A＞2sin2B?1－2sin2A＜1－2sin2B?cos2A＜cos2B.所以“a＞b"是“cos2A＜cos2B”的充分必要條件．答案C6．(2017·山東卷)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB（1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC,則下列等式成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A解析等式右邊＝2sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sin（A＋C)＝sinAcosC＋sinB.等式左邊＝2sinBcosC＋sinB，2sinBcosC＋sinB＝sinAcosC＋sinB，因?yàn)榻荂為銳角三角形的內(nèi)角，所以cosC不為0.所以2sinB＝sinA,根據(jù)正弦定理，得a＝2b。答案A二、填空題7．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知C＝60°，b＝eq\r(6），c＝3，則A＝________．解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r（6)×\f（\r（3)，2),3）＝eq\f(\r（2），2），結(jié)合b〈c可得B＝45°，則A＝180°－B－C＝75°.答案75°8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2,cosC＝－eq\f(1，4),3sinA＝2sinB，則c＝________．解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,4）))＝16，所以c＝4.答案49．(2016·北京卷）在△ABC中，A＝eq\f(2π，3），a＝eq\r（3）c,則eq\f(b，c)＝________．解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA,將A＝eq\f（2π,3)，a＝eq\r（3）c代入,可得(eq\r（3）c)2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))），整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0,∴等式兩邊同時(shí)除以c2，得2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(b，c)））eq\s\up12(2）＋eq\f(b,c)，可解得eq\f(b，c)＝1。答案110．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2。點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．解析依題意作出圖形，如圖所示，則sin∠DBC＝sin∠ABC.由題意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2,則sin∠ABC＝eq\f（\r(15),4），cos∠ABC＝eq\f(1,4).所以S△BDC＝eq\f(1,2)BC·BD·sin∠DBC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f（\r(15）,4）＝eq\f(\r（15），2).因?yàn)閏os∠DBC＝－cos∠ABC＝－eq\f(1，4)＝eq\f（BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)＝eq\f(8－CD2，8)，所以CD＝eq\r(10）.由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f（4＋10－4,2×2×\r(10）)＝eq\f(\r(10),4)。答案eq\f（\r（15），2）eq\f（\r（10）,4）三、解答題11．(2018·浙江名校三聯(lián))在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且sineq\f(B,2)－coseq\f(B,2）＝eq\f(1,5)。（1）求cosB的值；(2)若b2－a2＝ac，求eq\f(sinC,sinA)的值．解(1）由已知sineq\f（B，2）－coseq\f(B，2）＝eq\f(1，5）平方得1－sinB＝eq\f（1，25），即sinB＝eq\f（24,25).又sineq\f(B，2)〉coseq\f（B,2)，eq\f（B,2）∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π））,故cosB＝－eq\f（7,25）.（2）由余弦定理得b2＝a2＋ac＝a2＋c2－2accosB,即a＝c－2a·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(7，25))）,所以c＝eq\f(11,25)a,故eq\f（sinC，sinA)＝eq\f(c，a）＝eq\f（11,25）。12．在△ABC中，D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC，BD＝2DC.（1）求eq\f(sinB，sinC）;（2)若∠BAC＝60°，求∠B。解(1)由正弦定理得eq\f(AD，sinB）＝eq\f(BD,sin∠BAD)，eq\f（AD，sinC）＝eq\f(DC，sin∠CAD）。因?yàn)锳D平分∠BAC，BD＝2DC，所以eq\f(sinB，sinC）＝eq\f（DC,BD）＝eq\f（1，2）.(2)因?yàn)椤螩＝180°－（∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝eq\f(\r（3），2）cosB＋eq\f（1，2）sinB。由（1）知2sinB＝sinC，所以tanB＝eq\f（\r(3),3)，即∠B＝30°。能力提升題組13．(2018·金華十校模擬)在△ABC中,角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，已知∠B＝30°，△ABC的面積為eq\f（3，2），且sinA＋sinC＝2sinB，則b的值為()A．4＋2eq\r（3） B．4－2eq\r(3） C.eq\r（3）－1 D.eq\r（3）＋1解析由S△ABC＝eq\f（1，2）acsinB＝eq\f(1，4）ac＝eq\f(3,2），得ac＝6;又由sinA＋sinC＝2sinB,得a＋c＝2b。而b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2（1＋cosB)ac＝(2b）2－2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（\r(3）,2)))×6＝4b2－12－6eq\r(3）?b＝eq\r（3)＋1。答案D14．(2017·廣州調(diào)研）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，x，則x的取值范圍是()A．(8，10) B．(2eq\r（2)，eq\r(10）) C．(2eq\r(2),10） D．(eq\r（10），8)解析因?yàn)?>1，所以只需使邊長(zhǎng)為3及x的對(duì)角都為銳角并且滿足構(gòu)成三角形的條件即可，故eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（12＋x2〉32，，12＋32〉x2，,1＋x＞3,，1＋3＞x,））即8〈x2<10.又因?yàn)閤>0，所以2eq\r（2）〈x<eq\r（10）.答案B15．（2018·紹興調(diào)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b＝eq\r(6）,△ABC的面積為eq\f(3＋\r(3）,2），則c＝________，B＝________．解析∵A＝eq\f(π,4),b＝eq\r（6）,△ABC的面積為eq\f（3＋\r(3）,2）＝eq\f(1,2）bcsinA＝eq\f(1,2）×eq\r（6）×c×eq\f(\r(2),2)，∴c＝1＋eq\r（3)，則a＝eq\r（b2＋c2－2bccosA）＝2,于是cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f（1,2）.∵B∈(0，π），∴B＝eq\f（π,3)。答案1＋eq\r(3)eq\f（π,3）16．(2017·天津卷）在△ABC中,內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知a>b，a＝5，c＝6,sinB＝eq\f(3，5).(1）求b和sinA的值；(2）求sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,4)）)的值．解（1）在△ABC中，因?yàn)閍〉b，故由sinB＝eq\f(3，5），可得cosB＝eq\f（4,5）。由已知及余弦定理,有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝eq\r（13）.由正弦定理eq\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB),得sinA＝eq\f（asinB,b)＝eq\f(3\r(13)，13）.所以，b的值為eq\r（13)，sinA的值為eq\f(3\r(13),13).(2)由(1）及a〈c,得cosA＝eq\f(2\r(13），13），所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(12,13）,cos2A＝1－2sin2A＝－eq\f（5，13)。故sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2A＋\f（π,4）））＝sin2Acoseq\f（π,4)＋cos2Asineq\f(π，4)＝eq\f(7\r(2),26).17．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b,c，且a＝2，2cos2eq\f（B＋C，2)＋sinA＝eq\f（4，5)。(1）若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè),求b的取值范圍；（2）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求b的值．解由2cos2eq\f(B＋C,2）＋sinA＝eq\f(4,5)，得1＋cos(B＋C)＋sinA＝eq\f（4，5），即sinA－cosA＝－eq\f(1,5)，又0〈A<π，且sin2A＋cos2A＝1，有cosA＝eq\f(4，5),sinA＝eq\f（3，5）∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f(\r（2),2))），所以A∈eq\b\