第三章-量子力學中的下

第三章量子力學中的力學量第4(5)節(jié)

厄米算符本征函數的正交性正交性定義：則稱兩個函數（互相）正交性。以后說明這是通常矢量正交性的自然推廣定理1：厄米算符分屬不同本征值的本征函數彼此正交。定理：厄米算符的本征值是實數。定理2：若厄米算符某個本征值存在k個不同（線性無關）本征函數，則必可從它們的線性組合中選擇k個彼此正交的（本征）函數。顯然，k維子空間V中一定存在k個正交矢量（函數）且都是算符F的本征函數。第4(5)節(jié)

厄米算符本征函數的正交性根據前面2個定理，我們總可適當選擇厄米算符的本征函數，使它們滿足正交歸一性！例如動量算符本征函數角動量算符本征函數一維線性諧振子氫原子波函數波函數波函數波函數波函數一維無限深勢阱第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系前面提到，當系統(tǒng)處于力學量算符(厄米算符)的本征態(tài)時，力學量有確定值，這個值就是力學量算符在該本征態(tài)中的本征值。例如處于哈密頓算符本征態(tài)時的能量，動量算符本征態(tài)時的動量，角動量算符本征態(tài)時的角動量，等等。現(xiàn)在推廣這個假定。先引入概念：完全系（完全性、完備集）則稱該函數集構成完全系或完備集，滿足展開系數稱為幾率幅。注意展開系數滿足若厄米算符的正交歸一本征函數集對于量子力學中所遇到的厄米算符，數學中已分別證明其本征函數集都是完備的。綜上，厄米算符的本征函數構成正交、歸一、完備的函數集。第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系測量F的結果是其本征值，測量之前一般不能確定是那個本征值。量子力學基本假定：力學量F對應厄米算符,算符的本征函數構成量F的結果必定是對應算符的本征值，測量到本征值的幾率是。展開系數稱為幾率幅。如果測量F的結果為，波函數塌縮為。完全系。當系統(tǒng)由歸一化波函數描述時，測量力學平均值公式未歸一化波函數按照幾率求平均值的法則，可以求得力學量F在態(tài)中的平均值。平均值公式歸一化波函數（分立譜）（連續(xù)譜）力學量平均值就是指多次測量的平均結果，如測量長度x，測了10次，其中4次得x1，6次得x2，則10次測量的平均值為：同樣，在任一態(tài)ψ(x)中測量某力學量F的平均值（在理論上）可寫為：這兩種求平均值的公式都要求波函數是已歸一化的。此式等價于公式：

經典力學的平均值幾點說明和討論：（2）每次測量的結果必為的本征值之一。測量之前，量子力學不能預言測量的結果，只能預言測量得到的幾率是。（3）測量使疊加態(tài)演化為所測量物理量的某一本征態(tài)，馮·諾伊曼（vonNeumann）稱這一過程為波包塌縮。測量引起的波包塌縮使原來的疊加態(tài)失去相干疊加性。這是微觀體系和測量儀器相互作用的結果，這個過程有什么動力學方程可以描述嗎？至今，沒有找到描述測量過程的恰當的動力學方程。（1）任何力學量，任何一個狀態(tài)的性質無非就表現(xiàn)為各種力學量取值的問題，Dirac稱之為波函數的普遍解釋。測值：實驗上可以測量到的數值。

如果要在態(tài)上進行多次測量，必須將每次測量后的狀態(tài)恢復到。態(tài)疊加原理是與測量密切聯(lián)系在一起的一個基本原理。（5）盡管測量能量可能出現(xiàn)不同的結果，但是并不違反能量守恒。能量在該疊加態(tài)的平均值不隨時間變化，能量是守恒量。（6）平均值可以連續(xù)變化。諧振子被制備在如下的量子疊加態(tài)：諧振子能量的平均值：（4）量子測量破壞了原來的疊加態(tài)。量子體系的測量與經典物理量的測量有重要的區(qū)別，后者原則上不是破壞性測量，測量經典物理量不破壞經典體系的狀態(tài)。

單個粒子很難從周圍環(huán)境中隔離觀測，一旦它們與外界發(fā)生交互，通常會失去神秘的量子性質，使得量子物理學中很多奇特現(xiàn)象無法被觀測到。但兩位獲獎者通過實驗，成功地測量和控制了非常脆弱的量子態(tài)，而且實驗中還能保持單個粒子的量子物理性質，這些新的實驗方法使他們能夠檢測、控制和計算粒子，開辟了量子物理學實驗領域的新時代。

法國人塞爾日?阿羅什（SergeHaroche）和美國人戴維?瓦恩蘭（DavidWineland）因為粒子控制研究而獲得2012年度諾貝爾物理學獎。諾貝爾物理學獎評審委員會認定，兩名獲獎者“獨立發(fā)明并發(fā)展測量和操作單個粒子、同時保持它們量子力學特性的方法”。兩人“開啟量子物理學實驗新時代的大門，顯示不必損毀量子粒子個體，就可以直接觀測它們”。（7）在基本粒子所處微觀層面上：（1）單個粒子一方面難以與周圍環(huán)境分離；另一方面是一旦與周圍環(huán)境相互作用，隨即失去量子特性；（2）如果兩個粒子相互作用，即使兩者分離，互動作用會繼續(xù)存在。

相當長一段時期內，量子物理學理論所預言的諸多神奇現(xiàn)象難以在實驗室環(huán)境下直接“實地”觀測和驗證，只存在于研究人員的“思維實驗”中。

評委會認定，兩人“開啟量子物理學實驗新時代的大門，顯示不必損毀量子粒子個體，就可以直接觀測它們”。超級量子計算機；極端精準的光子鐘。

公式對比與小結：（波函數已經歸一化）分立譜連續(xù)譜展開假設幾率幅幾率正交歸一完備性封閉性平均值證明：證明：證明：例題氫原子處于基態(tài)，求電子動量的幾率分布。幾率密度幾率分布電子動量在范圍的幾率氫原子基態(tài)動量的本征態(tài)例題(定理)任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數。例題(定理)任何狀態(tài)下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題

(p1013.6題)設t=0時，粒子處于狀態(tài)求此時粒子的平均動量和平均動能。(1)按動能算符的本征函數展開(2)按動量算符的本征函數展開平均動能平均動量平均動能按(1)：按(2)

：動量的可能值：動能的可能值：對應的幾率：第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題

(p1013.7題)一維運動粒子的狀態(tài)是歸一化常數A=?若粒子的能量為E,求系統(tǒng)的勢能。動量的幾率分布函數。平均動量。動量的幾率分布函數平均動量實際上，平均動量一看就知道為零。積分是實數！1)2)3)4)第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系平均能量實際上，平均能量可以非常方便地計算出例題

(p1013.8題)一維無限深勢阱（阱寬為a）中運動，若粒子的狀態(tài)波函數是求粒子能量的幾率分布和能量平均值。能量本征函數和能量本征值是能量的幾率分布(阱內)

綜上所述，由于所有的理論推導過程都未涉及高深的數學理論，只是用到量子力學的基本理論和簡單的積分公式。此物理方法為級數求和開辟了一條新方法。方法簡單、推導規(guī)范！例題一維無限深勢阱（）中的粒子處于狀態(tài)求(1)粒子處于內的概率;(2)求此時測粒子能量得到的可能值、相應的概率及能量的平均值。解：(1)首先對波函數歸一化得所以此系統(tǒng)得歸一化波函數為：是定態(tài)波函數所以，粒子處在的概率：

其中因為：(2)能量的平均值為：概率為：概率為：能量的可能值為：例題設一維無限深勢阱中運動粒子的波函數為求在此任意態(tài)下，粒子能量的可能測量值和相應的幾率?？梢园逊纸馊缦?/p>

解：一個算符F在態(tài)中可能的測量值，即為將用F的本征態(tài)展開時，各本征態(tài)相應的本征值。相應的概率即為展開式中本征態(tài)前面的系數的模的平方。其中，為無限深勢阱中粒子能量的本征函數。因此，

是和兩態(tài)的疊加，能量的可能測量值為或測量值為和的幾率各為。第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系例題

(p1023.9題)若氫原子處于狀態(tài)求原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，相應幾率和這些量的平均值是能量、角動量平方及角動量z分量算符的共同本征函數氫原子定態(tài)波函數角動量z分量角動量平方能量可能值幾率平均值例題設氫原子處于的狀態(tài)上，求其能量、角動量平方及角動量z分量的可能取值與相應的取值概率，進而求出它們的平均值。其中量子數的取值范圍是利用歸一化條件求出歸一化常數為氫原子的能量只與主量子數n有關，依題意可知，n的可能取值有兩個，即n=2，3，于是解：選為描述體系的力學量完全集，氫原子的本征解為角動量量子數的可能取值只有一個，即故有角動量磁量子數的可能取值有兩個，即于是第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系—2個有用的定理（1）Hellmann-Feynman定理

系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，則其中，是算符中的一個參數。

除時空坐標外，一個量子體系的哈密頓量總還要包含一些參數，如質量、電荷、核電荷數、介電常數、耦合常數、光速、普朗克常數等。因此系統(tǒng)的特征如波函數、量子能級、期望值、幾率也都依賴于這些參數。當這些參數變時，考慮系統(tǒng)的特征如何變化，有助于我們獲得這些特征本身的性質。這方面最常用的一個工具是H-F定理。

H-F定理和維里定理是有關束縛定態(tài)的兩條定理，了解這兩條定理，對提高演算習題的能力有很大幫助。證明：第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系由H-F定理（2）維里（virial）定理

系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，則若勢能是α次齊次函數則證明：哈密頓算符為即若—2個有用的定理第5(6)節(jié)

算符與力學量的關系由維里定理得

例題一維諧振子處于能量本征態(tài)1)求勢能的平均值。2)求動能的平均值。3)求動量幾率分布。該題當n=0時就是p100的3.1題例題

p100的3.2題氫原子處于基態(tài)1)求r的平均值。2)求勢能的平均值。3）最可幾半徑(前面已講，略)。4)求動能的平均值。5)求動量幾率分布(前面已講，略)。由維里定理得

動量幾率分布。其中第6(7)節(jié)算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系兩個算符乘積一般與次序有關

定義對易式坐標算符與動量算符的對易式

基本對易關系同理得到坐標算符與動量算符的其它對易關系。

其它(有經典對應的)物理量的對易關系可從基本對易關系導出。例如角動量算符的對易式

對易式的公式作業(yè)對易：

一、兩力學量算符對易不對易：

第6(7)節(jié)算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系證明：必要條件定理

兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數集證明：充分條件若則則若且和（i）如果非簡并，則（ii）如果度簡并，則維子空間一定存在個正交歸一函數滿足注意證畢！用取代第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系定理

兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數集若系統(tǒng)處于兩個力學量算符的共同本征函數描述的狀態(tài)則這兩個力學量同時有確定值。二、兩力學量同時取確定值的條件例如，也就是說，即使兩個算符不對易,也不排除它們存在個別的共同本征函數,在這樣的函數描述的狀態(tài)下,兩個力學量同時有確定值。氫原子的基態(tài)就屬于這種情況。注意：即使兩個算符對易,但若體系所處的狀態(tài)不是它們的共同本征函數，則它們都沒有確定值。推廣：(兩個以上的算符)

一組力學量同時具有確定值的充分必要條件是處在這些力學量算符的共同本征態(tài)中。兩個力學量不對易沒有共同構成完全系的本征函數集。但它們可能有共同本征函數！例1：例2：定理：一組力學量算符具有完備的共同本征函數系的充要條件是這組算符兩兩對易。力學量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學 量算符的最?。〝的浚┘戏Q為力學量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量：例3：一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學量完全集中力學量的數目一般與體系自由度數相同。（3）由力學量完全集合所確定的本征函數系，構成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系（1）若2個厄米算符F,G滿足對易關系（2）力學量各次測量的結果一般來說并一定等于其平均值，因此我們需要引入一個新的物理量描述力學量在其平均值上下漲落的平均幅度。這個量就是偏差（Variance，也稱不確度、漲落）。因此，定義偏差算符（3）定理

兩個力學量算符滿足對易關系，則它們滿足測不準關系或。偏差算符對易關系：均方根偏差（rootmeansquaredvalue）：均方偏差：定量地描述力學量的可能測值相對于平均值的偏離程度（不確定程）。從測量的角度看，它反映了測量結果的彌散程度。力學量的平均值：是測量量的最佳值，也稱期望值、最可信賴值。是體系的任意一個波函數r.m.s.三、測不準關系（不確定關系）——不對易情況注意：（1）這并不是由于測量的不精確或者儀器的誤差引起的。無論測量儀器多么先進，測量方法多么精確，都存在！它并非測量的誤差或儀器誤差。（2）不管是1次測量，還是多次大量測量，與測量沒有關系，固有的性質。微觀粒子的波粒二象性造成的。第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系厄米算符：是一個任意的實參數。引入非負積分證明：證明之前，引入如下新的關系式：偏差算符對易關系：力學量的平均值：均方根偏差：均方偏差：描寫力學量的可能測值相對于平均值的偏離程度（不確定程）是體系的任意一個波函數，第6(7)節(jié)

算符的對易關系

兩力學量同時有確定值的條件測不準關系定理

兩個力學量算符滿足對易關系則它們滿足測不準關系習題：證明—力學量算符滿足是該算符的本征態(tài)。是厄米算符！位置與（相應的）動量不能夠同時準確決定動能與勢能不能同時準確決定總能量=動能+勢能不再成立。應該是這也解釋了勢壘現(xiàn)象中似乎動能為負值的疑問。例題：或Heisenburg（也稱為基本）測不準關系：表明：坐標與共軛動量