線性系統(tǒng)穩(wěn)定性演示文稿

線性系統(tǒng)穩(wěn)定性演示文稿CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前1頁(yè)，總共26頁(yè)。（優(yōu)選）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前2頁(yè)，總共26頁(yè)。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)而言，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：它的脈沖響應(yīng)：顯然，要想系統(tǒng)響應(yīng)有界，其所有極點(diǎn)的實(shí)部必須為負(fù)。反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)必須在s平面的左半平面。如果系統(tǒng)有任何一個(gè)極點(diǎn)不在左半平面，都稱(chēng)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果有一對(duì)共軛根在虛軸（jω軸）上，其它根都在左半平面，則系統(tǒng)在有界輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出將保持等幅振蕩，只有輸入為正弦波且頻率為虛根的幅值時(shí)，系統(tǒng)輸出才無(wú)界，此時(shí)系統(tǒng)稱(chēng)為臨界穩(wěn)定。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前3頁(yè)，總共26頁(yè)。三、判別穩(wěn)定性的方法1）代數(shù)判據(jù)（Routh和Hurwits）2）根軌跡法3）Nyquist判據(jù)適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)4）李雅普諾夫直接法不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，而且適用于多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)5）Matlab判別：pzmap(sys)、pole(sys)、roots(d)本章請(qǐng)掌握Routh判據(jù)直接方法：求解出系統(tǒng)特征根，從而判定。系統(tǒng)穩(wěn)定全部特征根在s左半平面充分必要系統(tǒng)特征根情況穩(wěn)定性判定問(wèn)題：高階方程求解困難CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前4頁(yè)，總共26頁(yè)。一、

Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)特征方程：列寫(xiě)Routh表：6.2Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前5頁(yè)，總共26頁(yè)。二、

Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

勞斯—霍爾維茨判據(jù)表明，系統(tǒng)特征方程中具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列元素符號(hào)變化的次數(shù)。由此可得到：系統(tǒng)穩(wěn)定則勞斯表中第一列元素的符號(hào)均為正或均為負(fù)；系統(tǒng)不穩(wěn)定的根的數(shù)目等于符號(hào)變化次數(shù)。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前6頁(yè)，總共26頁(yè)。例1：勞思判據(jù)判定穩(wěn)定性符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部根>>d=[12345];>>roots(d)ans=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579iCollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前7頁(yè)，總共26頁(yè)。例2：請(qǐng)給出K與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系解：1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：2）閉環(huán)特征方程：3）列寫(xiě)勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)：系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前8頁(yè)，總共26頁(yè)。勞斯表第一列元素可能出現(xiàn)如下情況：（1）第一列元素均不為零（常規(guī)情況）；（2）第一列元素中有元素為零，且為零的這一行的其它元素不全為零。（3）勞斯表中出現(xiàn)全零行；（4）同（3）并在虛軸上有重根。

下面分別情況進(jìn)行應(yīng)用討論CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前9頁(yè)，總共26頁(yè)。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)解決方法：特殊情況1：第一列出現(xiàn)0，而其余不全為零系統(tǒng)不穩(wěn)定：有兩個(gè)正實(shí)部根用無(wú)窮小正數(shù)代替零后繼續(xù)運(yùn)算。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前10頁(yè)，總共26頁(yè)。解決方法：由全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程F(s)=0，并對(duì)其求導(dǎo)后，用所得系數(shù)代替全0行的元素。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:例如：特殊情況2：某一行元素全為零注意：此時(shí)系統(tǒng)不為穩(wěn)定系統(tǒng)，而是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前11頁(yè)，總共26頁(yè)。勞斯表出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱(chēng)分布的根：①大小相等符號(hào)相反的實(shí)根②共軛虛根③對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前12頁(yè)，總共26頁(yè)。例3焊接機(jī)器人焊接頭由機(jī)械臂帶動(dòng)，自動(dòng)到達(dá)不同焊接位置。焊接頭位置控制系統(tǒng)如圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K和a的變化范圍。解：系統(tǒng)特征方程為：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前13頁(yè)，總共26頁(yè)。系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件：

系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K和a的變化范圍為：Routh表：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前14頁(yè)，總共26頁(yè)。例4某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，判定系統(tǒng)能否穩(wěn)定，若能穩(wěn)定，試確定相應(yīng)開(kāi)環(huán)增益K的范圍。解依題意有系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定與開(kāi)環(huán)穩(wěn)定之間沒(méi)有直接關(guān)系

按勞斯表再確定K值范圍CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前15頁(yè)，總共26頁(yè)。特殊情況3：多行元素全為零P254Routh表出現(xiàn)多個(gè)全零行，系統(tǒng)在s平面有重共軛虛根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前16頁(yè)，總共26頁(yè)。6.3反饋控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性利用Routh-Hurwitz判據(jù)，通過(guò)判斷系統(tǒng)特征方程是否有位于s右半平面的根，可以確定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，還需要知道系統(tǒng)穩(wěn)定的程度即相對(duì)穩(wěn)定性。通過(guò)了解相對(duì)穩(wěn)定性，可以幫助工程師判斷系統(tǒng)超調(diào)量或者系統(tǒng)的阻尼強(qiáng)度，以及系統(tǒng)的魯棒性。相對(duì)穩(wěn)定性可以用特征根的實(shí)部所確定的系統(tǒng)特性來(lái)定義，也可以用共軛復(fù)數(shù)根的相對(duì)阻尼系數(shù)來(lái)定義。還可以用頻率特性的幅值與相位裕度來(lái)定義。這里討論利用特征根的負(fù)實(shí)部定義的相對(duì)穩(wěn)定性及其應(yīng)用。方法：根平面虛軸平移jωσ1CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前17頁(yè)，總共26頁(yè)。例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右，

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,x)的范圍;(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1之左的K值范圍。解.(1)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前18頁(yè)，總共26頁(yè)。(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1之左的K值范圍。當(dāng)x=2時(shí)，進(jìn)行平移變換：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前19頁(yè)，總共26頁(yè)。例2新型電動(dòng)輪椅裝有非常實(shí)用的速度控制系統(tǒng)，框圖模型如圖。

時(shí)間常數(shù)τ1=0.5s,τ3=1s，

τ

4=1/4sVelocity（1）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值（K=K1K2K3）;（2）當(dāng)K的取值為臨界穩(wěn)定增益的1/3時(shí)，確定系統(tǒng)按2%準(zhǔn)則的調(diào)節(jié)時(shí)間是否小于4s；（3）確定增益K的取值，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間等于4s，并計(jì)算此時(shí)的系統(tǒng)特征根。

P275，P6.8解：（1）系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定條件：得到K值范圍：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前20頁(yè)，總共26頁(yè)。（2）當(dāng)K的取值為臨界穩(wěn)定增益的1/3時(shí)，確定出K=11.25/3=3.75。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形態(tài)由復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)確定，所以Ts=4/(ζωn)。而-ζωn正是復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部，設(shè)a=ζωn。將s平面虛軸左移a，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)特征多項(xiàng)式變?yōu)椋篵=0時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，求得a=-0.64。即ζωn=0.64，Ts=4/0.64=6.25s，大于4s。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前21頁(yè)，總共26頁(yè)。（3）系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間等于4s，即Ts=4/(ζωn)=4。則ζωn=1

主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部為-1，參照（2）的方法令s=sn-1，即將虛軸左移1，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)特征多項(xiàng)式變?yōu)椋合到y(tǒng)臨界穩(wěn)定，則b=0。解得K=1.50由輔助多項(xiàng)式求得：系統(tǒng)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：s=-1±j1.73容易求得另一極點(diǎn)s=-5CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前22頁(yè)，總共26頁(yè)。例3火星自主漫游車(chē)的導(dǎo)向控制系統(tǒng)框圖模型如圖。反饋回路H(s)=Ks+1

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。（2）當(dāng)s=-5為系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)根時(shí)，計(jì)算K的值及其它閉環(huán)根。（3）對(duì)（2）求得的K，計(jì)算系統(tǒng)階躍響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)特征方程為：使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：10CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前23頁(yè)，總共26頁(yè)。（2）系統(tǒng)一個(gè)特征根為-5，則設(shè)系統(tǒng)特征方程為：與系統(tǒng)特征方程比較可得：系統(tǒng)另二根：（3）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出解析解CollegeofAutomati