20192020第二學(xué)期線性代數(shù)B期中試題答案

武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2019-2020第二學(xué)期《線性代數(shù)B》期中考試一試卷解答一、（5分）若1,2,3,4,1,2都是四維列向量,且四階隊(duì)列式1,2,3,1m1,2,2,3n,計(jì)算四階隊(duì)列式|1,2,3,1+2|.解應(yīng)選B。由題設(shè)1,2,3,1m1,2,2,3n,于是由隊(duì)列式之性質(zhì)得：3,2,1,(12)1,2,3,11,2,3,2mn,故應(yīng)選B。二、（6分）設(shè)A是n階可逆矩陣,Aa,A的每行元素之和為b.試求：(1).A1的行元素之和;(2).A的代數(shù)余子式:A1kA2knk。A1b1b,(b0)(1)由A可逆,進(jìn)而得,解:(1)方法一:由假定知,A1bb1111A1b1bA111A11

1b1b,故A1的行元素之和為1.bb11111b方法二:將A中第2,3,,n列都加到第11b,再按第1列后從第列中提出列睜開得:Ab(A11A21An1),因?yàn)锳0故b0并且由上式可得:A11A21An1b1,即A1AAA的第一行中諸元素之和為b1,同理可證其他每行元素之和也都是b1.1b1b1（2）因?yàn)锳的每一行元素之和為b,所以A1b又題設(shè)A0故A存在故有11b111b也就是A111A1b1,即bA111b此外由A*AA1b11111b11ab即A*aA1(aA0),所以有A*aA111abA11A21An11abA12A22An21aa即b,故A1kA2kAnk.bAAA1a1n2nnnbx21xxxx1121n三、（5分）計(jì)算n階隊(duì)列式Dx2x121x2xnx2xnx1xnx2x21n解將原隊(duì)列式增添一行一列,得：1x1x2xnrixi1ri,1x1x2xn21x1x2x1xnx10x1i2,,n1100D2x20100x2x1x21x2xn0xnx1xnx221xn001xn1x2x2xxx1n12nc1xj1cj010022200101x1x2xn0001四、（8分）計(jì)算向量組(1,2,3,1,2)T，(2,1,2,2,3)T，(5,0,7,5,4)T，1234(3,1,5,3,1)T的秩，并求出該向量組的一個(gè)極大沒關(guān)組，同時(shí)將其他向量表示成極大沒關(guān)組的線性組合。12532101解：設(shè)A(1,2,3,4)31275，先對(duì)A實(shí)行行初等變換化為行最簡(jiǎn)形253234110110121矩陣A0000，知向量組的秩R(1,2,3,4)R(A)2，易知1、2兩列即000000001,2為1,2,3,4的一個(gè)極大沒關(guān)組。且有3122，412.五、（14分）設(shè)A132254211,B422，121141（1）求4A2B22BA2AB；（2）求A*，這里A*是A的陪伴陣。解：（1）4A2B22BA2AB(4A22BA)(2ABB2)(2AB)2A(2AB)B(2AB)(2AB)0110418000844000442460.10338152511（2）A*0。六、（14分）已知A112,B120110102，1abc10（1）問a,b,c為什么值時(shí)，R(A,B)R(A)？（2）求矩陣方程AXB的所有解。解：AXB有解，須R(A)R(AB),對(duì)矩陣(AB)作初等行變換：(AB)1121201121201101020110111c01ab000a1b1c1由此看出R(A)2,欲R(AB)2須a1,b1,c1.所以當(dāng)a1,b1,c1時(shí)AXB有解。當(dāng)abc1時(shí)，將上邊最后一個(gè)矩陣進(jìn)一步化為行簡(jiǎn)化陣(AB)1121201011110110110110110000000000001011由011000001011由011100001011由01110000

x111k1（k為隨意常數(shù)）得x21k11xk311x121k2得x1k（k為隨意常數(shù)）2222xk322x131k3（k為隨意常數(shù)）得x231k33xk333故所求矩陣方程的通解為1k11k21k3Xk1k1k（k,k2,k3為隨意常數(shù)）．123k1k2k3七、（14分）已知A,B為三階矩陣,且知足2A1BB4E,此中E是三階單位矩陣.120（1）證明:矩陣A2E可逆;(2)若B120,求矩陣A.002[提示與剖析](1)這種題一般先從所給矩陣等式中解出所要的矩陣,而后再利用已知條件計(jì)算之.(2)利用初等變換直接求。解(1)原方程可化為AB2B4AO.即(A2E)B8E8E4AO所以有(A2E)B4(A2E)8E(A2E)(B4E)8E故A2EB4E830即A2E0且B4E0.所以A2E可逆。(1)由(1)可知,B4E0所以B4E可逆,由題設(shè)知A2B(B4E)1或(1)320111044知A2E8(B4E)1又(B4E)1120130，故880020021A020110.002八、（14分）已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1,1,a2,1),4(1,2,4,a8),(1,1,b3,5)a,b為什么值時(shí),不可以表成1,2,3,4的線性組合?(2)a,b為什么值時(shí),有1,2,3,4唯一的線性表示式?并寫出該表示式。[提示與剖析]這種題一般將其變換成含參變量的線性方程組的求解。x1x2x3x41解設(shè)xxxx44則xx2x12332x3x232)x4b3112(a4x12343x15x2x3(a8)x45可否表示成1,2,3,4的線性組合,變換為上述方程組能否有解的問題。對(duì)方程組的11111增廣矩陣實(shí)行行初等變換有A01121,所以當(dāng)a1,b0時(shí),不可以0a100b000a10表成1,2,3,4的線性組合。當(dāng)a1時(shí),能表成1,2,3,4的線性組合,且表示式唯一即2b1ab1b304aa1a121TTT11T12T1nT九、(10分)設(shè),,,是n維列向量組，矩陣A21222n12nTTTn1n2nn試證明1,2,,n線性沒關(guān)的充要條件是對(duì)隨意n維列向量b，方程組AXb均有解。證明：記D[1,2,n]|DTD||D|2由,線性沒關(guān)知|D|0而A0，即A可逆,故對(duì)隨意n維列向1n量b，方程組AXb均有解XA1b.分別取b1,2,n,由方程組AXb均有解知，1,2,n與A的列向量組等價(jià),故r(A)n，進(jìn)而A|DTD||D|20,得|D|0故,線性沒關(guān)。1n十、（10分）設(shè)向量組1,,m線性沒關(guān)，而向量組1,,m,,線性有關(guān)，證明：若向量組1,,m,與1,,m,不等價(jià)，則與中有且僅有一個(gè)可由1,,m線性表示。證明：因?yàn)?,,m,,線性有關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1,,km,l1,l2使k11kmml1l20因?yàn)?,,