已知數(shù)列是數(shù)列的()A 教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE1-1．已知數(shù)列eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)，eq\r(15)，…，則5eq\r(3)是數(shù)列的()A．第18項(xiàng)B．第19項(xiàng)C．第17項(xiàng)D．第20項(xiàng)解析：選B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即an2－an－12＝4，∴an2＝3＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，則n＝19.故選B.2．已知數(shù)列的通項(xiàng)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1(n為奇數(shù)),2n－1(n為偶數(shù))))，則a2009－a2010等于()A．2007B．2008C．2009D．2010解析：選C.a2009＝3×2009＋1＝6028；a2010＝2×2010－1＝4019.故a2009－a2010＝6028－4019＝2009.故應(yīng)選C.3．下面有四個(gè)命題：①如果已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng)；②數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n,n＋1)；③數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；④數(shù)列1，－1,1，－1，…與數(shù)列－1,1，－1,1，…是同一數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：選A.①錯(cuò)誤，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就無(wú)法寫(xiě)出a2；②錯(cuò)誤，an＝eq\f(n＋1,n＋2)；③正確；④兩數(shù)列是不同的有序數(shù)列．故應(yīng)選A.4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則eq\f(a3,a5)的值是()A.eq\f(15,16)B.eq\f(15,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,8)解析：選C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,2)＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足5＜ak＜8，則k等于()A．9B．8C．7D．6解析：選B.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1(n＝1)，,Sn－Sn－1(n≥2)，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8(n＝1)，,－10＋2n(n≥2).))∵n＝1時(shí)適合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5<ak<8，∴5<2k－10<8，∴eq\f(15,2)<k<9，又∵k∈N＋，∴k＝8，故選B.6．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，a2＝2，an＝eq\f(an－1,an－2)(n≥3且n∈N*)，則a17＝()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．2－987解析：選C.由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,2)，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝eq\f(1,2)，a12＝eq\f(1,2)，即an的值以6為周期重復(fù)出現(xiàn)，故a17＝eq\f(1,2).7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(na,nb＋c)(a，b，c均為正實(shí)數(shù))，則an與an＋1的大小關(guān)系是________．解析：∵an＝eq\f(na,nb＋c)＝eq\f(a,b＋\f(c,n))，eq\f(c,n)是減函數(shù)，∴an＝eq\f(a,b＋\f(c,n))是增函數(shù)，∴an<an＋1.答案：an<an＋18．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝eq\f(a1(3n－1),2)(對(duì)n≥1恒成立)且a4＝54，則a1＝________.解析：法一：由S4＝S3＋a4，得eq\f(a1(34－1),2)＝eq\f(a1(33－1),2)＋54，即eq\f(a1(34－33),2)＝54，解得a1＝2.法二：由Sn－Sn－1＝an(n≥2)可得an＝eq\f(a1(3n－1),2)－eq\f(a1(3n－1－1),2)＝eq\f(a1(3n－3n－1),2)＝a1·3n－1，∴a4＝a1·33，∴a1＝eq\f(54,27)＝2.答案：29．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為T(mén)n＝5n2，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝T1＝512＝5；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(5n2,5(n－1)2)＝52n－1(n∈N*)．當(dāng)n＝1時(shí)，也適合上式，所以當(dāng)n∈N*時(shí)，an＝52n－1.答案：an＝52n－1(n∈N*)10．已知數(shù)列{an}中，an∈(0，eq\f(1,2))，an＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,2)a2n－1，其中n≥2，n∈N＋，求證：對(duì)一切正整數(shù)n都有an<an＋1成立．證明：an＋1－an＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,2)an2－an＝eq\f(1,2)(an－1)2－eq\f(1,8)，∵0<an<eq\f(1,2)，∴－1<an－1<－eq\f(1,2).∴eq\f(1,8)<eq\f(1,2)(an－1)2<eq\f(1,2).∴eq\f(1,2)(an－1)2－eq\f(1,8)>0.∴an＋1－an>0，即an<an＋1對(duì)一切正整數(shù)n都成立．11．(2010年邯鄲模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n項(xiàng)和為T(mén)n，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)(n≥2)，,\f(2,3)(n＝1).))(2)∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)，∴cn＋1－cn＝eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)－eq\f(1,n＋1)<0，∴{cn}是遞減數(shù)列．12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋pn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n＝3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值．(2)取數(shù)列{bn}的第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，…，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．解：(1)由已知，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1