全等三角形的的性質(zhì)與判定難題50道(含詳細(xì)答案)

全等三角形的的性質(zhì)與判定難題50道1．邊長(zhǎng)為的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為A． B． C． D．2．如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)．3．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，如圖，試確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：（填“”，“”或“”．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，與的大小關(guān)系是：（填“”，“”或“”．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）．4．如圖，過(guò)等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連交邊于．（1）求證：；（2）若的邊長(zhǎng)為1，求的長(zhǎng)．5．如圖所示，已知等邊的邊長(zhǎng)為，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，點(diǎn)、、分別在、、上，猜想：，并證明你的猜想．6．如圖，已知和均為等邊三角形，且點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，連接、，交和分別于、點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)說(shuō)出的理由；（2）試說(shuō)出的理由；（3）試猜想：是什么特殊的三角形，并加以說(shuō)明．7．如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，都停止運(yùn)動(dòng)．（1）出發(fā)后運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；那么此時(shí)和的位置關(guān)系呢？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，請(qǐng)用的表達(dá)式表示．8．已知：在等邊中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，有結(jié)論“在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形”成立（如圖①，且當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、、重合時(shí)，該結(jié)論也一定成立．問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)的其它位置時(shí)，該結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你在下面的備用圖②③④中，畫(huà)出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)論．9．已知點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，分別以、為邊在線(xiàn)段同側(cè)作和，且，，，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，（1）如圖1，若，則；如圖2，若，則；如圖3，若，則；（2）如圖4，若，則（用含的式子表示）；（3）將圖4中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)至少在、中的一條線(xiàn)段上），變成如圖5所示的情形，若，則與的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明．10．如圖1，為等邊三角形，面積為．、、分別是三邊上的點(diǎn)，且，連接、、，可得△是等邊三角形，此時(shí)△的面積，△的面積．（1）當(dāng)、、分別是等邊三邊上的點(diǎn)，且時(shí)如圖2，①求證：△是等邊三角形；②若用表示△的面積，則；若用表示△的面積，則．（2）按照上述思路探索下去，并填空：當(dāng)、、分別是等邊三邊上的點(diǎn)，時(shí)，為正整數(shù)）△是三角形；若用表示△的面積，則；若用表示△的面積，則．11．如圖，在等邊的三邊上分別取點(diǎn)、、，使．（1）試說(shuō)明是等邊三角形；（2）連接、、，兩兩相交于點(diǎn)、、，則為何種三角形？試說(shuō)明理由．12．如圖所示，一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是，其中連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、5．求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)．13．如圖，已知是的邊上的一點(diǎn)，，，是的中線(xiàn)．（1）若，求的值；（2）求證：是的平分線(xiàn)．14．如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．15．如圖．在等邊中，與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，且，．（1）試判定的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）線(xiàn)段、、三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程．16．如圖，是等邊三角形，，，，求證：是等邊三角形．17．用三根火柴棒可以搭成一個(gè)等邊三角形，你能用9根火柴搭出5個(gè)等邊三角形嗎？18．如圖，是等邊三角形，是高，并且恰好是的垂直平分線(xiàn)．求證：是等邊三角形．19．如圖，，平分，為角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，求的長(zhǎng)．20．如圖，在中，，，、分別為、的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)、在上，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．（提示：需要添加輔助線(xiàn)）21．已知，如圖，是正三角形，，，分別是各邊上的一點(diǎn)，且．請(qǐng)你說(shuō)明是正三角形．22．如圖所示，是等邊三角形，且，試問(wèn)：是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．如圖，為等邊三角形，平分，．（1）求證：是等邊三角形；（2）求證：．24．如圖是等邊三角形（1）如圖①，，分別交、于點(diǎn)、．求證：是等邊三角形；（2）如圖②，仍是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，判斷的度數(shù)及線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．25．如圖，是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，，，、是垂足，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．26．如圖，中，，點(diǎn)、分別在、上，，、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．27．如圖，在中，，、是內(nèi)兩點(diǎn)，平分，，若，，則．28．如圖，已知為等邊三角形，為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，平分，，求證：為等邊三角形．29．如圖，為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，以為邊作，與的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，且．求證：是等邊三角形．30．如圖，在中，，是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：．31．如圖，在等邊中，與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，且，．（1）求證：是等邊三角形．（2）線(xiàn)段、、三者有什么數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程．（3）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要能解決問(wèn)題，還要善于提出問(wèn)題．結(jié)合本題，在現(xiàn)有的圖形上，請(qǐng)?zhí)岢鰞蓚€(gè)與“直角三角形”有關(guān)的問(wèn)題．（只要提出問(wèn)題，不需要解答）32．已知：如圖，在中，，，是中線(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．求證：．33．如圖，和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（1）求證：；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．34．已知：如圖，四邊形中，，，為上的點(diǎn)不與、重合），若有一角等于．（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則的面積為（結(jié)果用含的式子表示）；（2）求證：為等邊三角形；（3）設(shè)的面積為，求出的取值范圍（結(jié)果用含的式子表示）．35．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．（1）是什么三角形？說(shuō)明理由；（2）若，，為大于1的整數(shù)），求的度數(shù)；（3）當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？36．已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）求證：是等邊三角形．37．已知：在和中，，．（1）如圖①，若，求證：①②．（2）如圖②，若，則與間的等量關(guān)系式為，的大小為（直接寫(xiě)出結(jié)果，不證明）38．如圖，是等邊三角形，是上一點(diǎn)，，，試判斷形狀，并證明你的結(jié)論．39．等邊邊長(zhǎng)為6，為上一點(diǎn)，含、的直角三角板角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)上，使三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，判斷的形狀；（2）在（1）問(wèn)的條件下，、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖2，求的面積；（3）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，，如圖3，求的長(zhǎng)．40．為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了思路點(diǎn)撥，你可以依照這個(gè)思路填空，并完成本題解答的全過(guò)程，當(dāng)然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，進(jìn)行解答即可．如圖，已知，，，延長(zhǎng)，使，連接，求證：．思路點(diǎn)撥：（1）由已知條件，，可知：是三角形；（2）同理由已知條件得到，且，可知；（3）要證，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩條線(xiàn)段相等，即；（4）要證（3）中所填寫(xiě)的兩條線(xiàn)段相等，可以先證明．請(qǐng)你完成證明過(guò)程：41．已知是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，交于點(diǎn)，．（1）如圖1，若，則，；（2）如圖2，若，試求和的值；（3）如圖3，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，其他條件不變，則．（只寫(xiě)答案不寫(xiě)過(guò)程）42．如圖為等邊三角形，直線(xiàn)，為直線(xiàn)上任一動(dòng)點(diǎn)，將一角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)處，它的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與直線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）若恰好在的中點(diǎn)上（如圖求證：是等邊三角形；（2）若為直線(xiàn)上任一點(diǎn)（如圖，其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．43．如圖，在等邊中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以速度移動(dòng)．、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為秒鐘．（1）你能用表示和的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái)．（2）請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后，為等邊三角形？（3）若、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓厝呥\(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn)與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇？44．如圖：在中，，，與相交于點(diǎn)，于．求證：①；②．45．如圖1，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，和分別是等邊三角形，連接和．（1）求證：；（2）如圖2，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，試判斷的形狀，并證明．46．如圖：已知是等邊三角形，、、分別是、、邊的中點(diǎn)，是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，在射線(xiàn)上截取，使，連接、、．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你按已知要求補(bǔ)全圖形，并判斷是怎樣的特殊三角形（不要求證明）；（2）請(qǐng)借助圖②解答：當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上（與點(diǎn)、不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)借助圖③解答：當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上（與點(diǎn)不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？不要求證明．47．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、、分別是線(xiàn)段、、上的點(diǎn)，（1）若，問(wèn)是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；（2）若是等邊三角形，問(wèn)成立嗎？試證明你的結(jié)論．48．如圖，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)到，延長(zhǎng)到，并且使，連接，．求證：．49．如圖，已知與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，如圖有一個(gè)角的三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．（1）試說(shuō)明：是等邊三角形；（2）求四邊形的面積；（3）填空：當(dāng)時(shí)，最?。?0．如圖，、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，和是正三角形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)．求證：是正三角形．

全等三角形的的性質(zhì)與判定難題50道參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．邊長(zhǎng)為的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為A． B． C． D．【解答】解：連接、、．六邊形是正六邊形，，，，，，，，在和中，，，，、分別為、中點(diǎn)，，，六邊形是正六邊形，是等邊三角形，，，同理，即，等邊三角形的邊長(zhǎng)是，第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是，即等邊三角形的邊長(zhǎng)的，過(guò)作于，過(guò)作于，則，，四邊形是平行四邊形，，，（已證），，，同理，，即第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類(lèi)似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是；同理第第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類(lèi)似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是；同理第四個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是，第四個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是；第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是，第五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是；第六個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是，第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是，即第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是，故選：．二．解答題（共49小題）2．如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，，，，；（2），，是等邊三角形．，，，．3．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，如圖，試確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：（填“”，“”或“”．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，與的大小關(guān)系是：（填“”，“”或“”．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）．【解答】解：（1）故答案為：．（2）過(guò)作交于，等邊三角形，，，，，即，是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，，即，故答案為：．（3）解：或3，理由是：分為兩種情況：①如圖1過(guò)作于，過(guò)作于，則，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，；②如圖2，作于，過(guò)作于，則，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，即或1．4．如圖，過(guò)等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連交邊于．（1）求證：；（2）若的邊長(zhǎng)為1，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，過(guò)做交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，是等邊三角形；，，，．（2）是等邊三角形，，，，，，，．5．如圖所示，已知等邊的邊長(zhǎng)為，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，點(diǎn)、、分別在、、上，猜想：，并證明你的猜想．【解答】解：．理由如下：如圖，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，同理可得是等邊三角形，，，又，，四邊形是平行四邊形，，．故答案為．6．如圖，已知和均為等邊三角形，且點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，連接、，交和分別于、點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)說(shuō)出的理由；（2）試說(shuō)出的理由；（3）試猜想：是什么特殊的三角形，并加以說(shuō)明．【解答】解：（1）和均為等邊三角形，；（2），點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上又；（3）是等邊三角形，理由如下：（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）又是等邊三角形（有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形）；7．如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，都停止運(yùn)動(dòng)．（1）出發(fā)后運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；那么此時(shí)和的位置關(guān)系呢？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，請(qǐng)用的表達(dá)式表示．【解答】解：（1）是等邊三角形，，（2分）運(yùn)動(dòng)至?xí)r，，，（4分）又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形是等邊三角形（6分）．（2）過(guò)作于，，，，．（10分）．（12分）8．已知：在等邊中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，有結(jié)論“在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形”成立（如圖①，且當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、、重合時(shí)，該結(jié)論也一定成立．問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)的其它位置時(shí)，該結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你在下面的備用圖②③④中，畫(huà)出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)論．【解答】證明：連接、、．（1）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，如圖①，在上截取使．、、是等邊三邊中點(diǎn)，、也是等邊三角形且．在和中，，，．．，在直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得是等邊三角形．（2）當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，如圖②，在上截取使．由（1）可證．，．，．在直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得是等邊三角形．（3）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③，與（2）同理可證，結(jié)論成立．綜上所述，點(diǎn)在直線(xiàn)上的任意位置時(shí)，該結(jié)論成立．9．已知點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，分別以、為邊在線(xiàn)段同側(cè)作和，且，，，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，（1）如圖1，若，則；如圖2，若，則；如圖3，若，則；（2）如圖4，若，則（用含的式子表示）；（3）將圖4中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)至少在、中的一條線(xiàn)段上），變成如圖5所示的情形，若，則與的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明．【解答】解：（1）如圖1，，，所以是等邊三角形．，，所以是等邊三角形．，，，又，．，，．．是的外角．．如圖2，，，，．，又，，．．如圖3，，．．又，，．．，．．故填，，．（2），．．．．．（3）；證明：，則，即．在和中，則．則，由三角形內(nèi)角和知．．10．如圖1，為等邊三角形，面積為．、、分別是三邊上的點(diǎn)，且，連接、、，可得△是等邊三角形，此時(shí)△的面積，△的面積．（1）當(dāng)、、分別是等邊三邊上的點(diǎn)，且時(shí)如圖2，①求證：△是等邊三角形；②若用表示△的面積，則；若用表示△的面積，則．（2）按照上述思路探索下去，并填空：當(dāng)、、分別是等邊三邊上的點(diǎn)，時(shí)，為正整數(shù)）△是三角形；若用表示△的面積，則；若用表示△的面積，則．【解答】解：（1）①為等邊三角形，，，（1分）由已知得，，，，（2分）△△（3分）同理可證△△（4分）△為等邊三角形；（5分）②；（6分）（7分）（2）由（1）可知：△等邊三角形；（8分）由（1）的方法可知：，，；（9分），．（10分）11．如圖，在等邊的三邊上分別取點(diǎn)、、，使．（1）試說(shuō)明是等邊三角形；（2）連接、、，兩兩相交于點(diǎn)、、，則為何種三角形？試說(shuō)明理由．【解答】證明：（1）是等邊三角形，，，，在和中，，，，同理，．是等邊三角形；（2）是等邊三角形，理由：由（1）證得，，在與中，，，，，，，同理，是等邊三角形．12．如圖所示，一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是，其中連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、5．求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)并反向延長(zhǎng)，，，兩兩相交于點(diǎn)、、，六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，，，，是等邊三角形，同理：，是等邊三角形，，，，，，，，六邊形的周長(zhǎng)．13．如圖，已知是的邊上的一點(diǎn)，，，是的中線(xiàn)．（1）若，求的值；（2）求證：是的平分線(xiàn)．【解答】（1）解：，，，，，，，，，；（2）證明：延長(zhǎng)到，使，連接，在和中，，，，，，在與，，，，是的平分線(xiàn)．14．如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．【解答】證明：（1）為等邊三角形，．，，．是等邊三角形．（2）為等邊三角形，．平分，．是等邊三角形，．．15．如圖．在等邊中，與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，且，．（1）試判定的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）線(xiàn)段、、三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程．【解答】解：（1）是等邊三角形，其理由是：是等邊三角形，，（2分），，，（3分）是等邊三角形；（4分）（2）答：，其理由是：平分，且，，（6分），，，，（7分）同理，，，．（8分）16．如圖，是等邊三角形，，，，求證：是等邊三角形．【解答】證明：是等邊三角形，，，，，，，，，，是等邊三角形，17．用三根火柴棒可以搭成一個(gè)等邊三角形，你能用9根火柴搭出5個(gè)等邊三角形嗎？【解答】解：等邊三角形各邊長(zhǎng)相等，故按照上圖搭出圖形，即為9根火柴搭出5個(gè)等邊三角形．18．如圖，是等邊三角形，是高，并且恰好是的垂直平分線(xiàn)．求證：是等邊三角形．【解答】證明：在的垂直平分線(xiàn)上，，是等腰三角形，，，，，由，，得：，是等邊三角形．19．如圖，，平分，為角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）是等邊三角形，理由如下：平分，，，，，，，，，是等邊三角形；（2）是等邊三角形，，又，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則．20．如圖，在中，，，、分別為、的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)、在上，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．（提示：需要添加輔助線(xiàn)）【解答】解：如圖，連接、為中點(diǎn)，，，為等腰三角形，又，，，同理可證：，為等邊三角形，，又，，，又，．21．已知，如圖，是正三角形，，，分別是各邊上的一點(diǎn)，且．請(qǐng)你說(shuō)明是正三角形．【解答】解：為等邊三角形，且，，又，，，是等邊三角形．22．如圖所示，是等邊三角形，且，試問(wèn)：是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：是等邊三角形，理由：是等邊三角形，，，，，，，同理，是等邊三角形．23．如圖，為等邊三角形，平分，．（1）求證：是等邊三角形；（2）求證：．【解答】證明：（1）為等邊三角形，，，，，，是等邊三角形；（2）是等邊三角形為等邊三角形，平分，是的中點(diǎn)（三線(xiàn)合一），．24．如圖是等邊三角形（1）如圖①，，分別交、于點(diǎn)、．求證：是等邊三角形；（2）如圖②，仍是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，判斷的度數(shù)及線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，，，是等邊三角形；（2）解：．，，，在和中，，，，，，，，．25．如圖，是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，，，、是垂足，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）點(diǎn)是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，，，垂足分別是，，，在與中，，，，是等邊三角形；（2）是等邊三角形，是的平分線(xiàn)，，，，，，，，．26．如圖，中，，點(diǎn)、分別在、上，，、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．【解答】證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，，，為等邊三角形，，，，在和中，，，，，在中，，，，．27．如圖，在中，，、是內(nèi)兩點(diǎn)，平分，，若，，則32．【解答】解：延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，，平分，，，，為等邊三角形，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，，，故答案為32．28．如圖，已知為等邊三角形，為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，平分，，求證：為等邊三角形．【解答】證明：為等邊三角形，，，即，平分，，在和中，，，，，又，，為等邊三角形．29．如圖，為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，以為邊作，與的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，且．求證：是等邊三角形．【解答】解：過(guò)作交于，則，為等邊三角形，，．又，，，．在和中，，，，，是等邊三角形．30．如圖，在中，，是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：．【解答】證明：延長(zhǎng)至，使，連接，，，，，，是等邊三角形，，，在和中，，，．31．如圖，在等邊中，與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，且，．（1）求證：是等邊三角形．（2）線(xiàn)段、、三者有什么數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程．（3）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要能解決問(wèn)題，還要善于提出問(wèn)題．結(jié)合本題，在現(xiàn)有的圖形上，請(qǐng)?zhí)岢鰞蓚€(gè)與“直角三角形”有關(guān)的問(wèn)題．（只要提出問(wèn)題，不需要解答）【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形；（2），其理由是：平分，且，，，，，，同理，，，；（3）①連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證是直角三角形；②若等邊的邊長(zhǎng)為1，求邊上的高長(zhǎng)是多少．32．已知：如圖，在中，，，是中線(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．求證：．【解答】證明：如圖，在中，，，是等邊三角形，，是中線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，，，，，，．33．如圖，和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（1）求證：；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【解答】證明：（1）和都為正三角形，，四邊形是菱形，，，，而，，；（2），，，，即，為正三角形；34．已知：如圖，四邊形中，，，為上的點(diǎn)不與、重合），若有一角等于．（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則的面積為（結(jié)果用含的式子表示）；（2）求證：為等邊三角形；（3）設(shè)的面積為，求出的取值范圍（結(jié)果用含的式子表示）．【解答】解：如圖，在四邊形中，，四邊形是菱形，又，，，連則，，，．（1）如上圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，；（2）①、如圖如果，則，，，，，，，，是正三角形；②、如圖如果，則，，，又，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，是正三角形；③、如圖3，如果，則，，，又，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，是正三角形；（3）最大，最小，．35．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．（1）是什么三角形？說(shuō)明理由；（2）若，，為大于1的整數(shù)），求的度數(shù)；（3）當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【解答】解：（1）是等邊三角形．理由如下：繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，，，是等邊三角形；（2），是直角三角形，且，是等邊三角形，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，；（3），，，又，，是等腰三角形，①時(shí)，，解得，②時(shí)，，解得，③時(shí)，，解得，綜上所述，為或或時(shí)，是等腰三角形．36．已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）求證：是等邊三角形．【解答】解：（1）、都是等邊三角形，，，，，，在和中，，．（2）解：，，等邊三角形，，，，，，，，答：的度數(shù)是．（3）證明：，，，又點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，又，，，，是等邊三角形．37．已知：在和中，，．（1）如圖①，若，求證：①②．（2）如圖②，若，則與間的等量關(guān)系式為，的大小為（直接寫(xiě)出結(jié)果，不證明）【解答】解：（1）①證明：，，．在和中，，，；②證明：，，，，；（2），．38．如圖，是等邊三角形，是上一點(diǎn)，，，試判斷形狀，并證明你的結(jié)論．【解答】解：三角形為等邊三角形，且，即，，，是等邊三角形．39．等邊邊長(zhǎng)為6，為上一點(diǎn)，含、的直角三角板角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)上，使三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，判斷的形狀；（2）在（1）問(wèn)的條件下，、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖2，求的面積；（3）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，，如圖3，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1），，因此直角三角形中，，，，，在和中，，，，，是等邊三角形．（2）過(guò)作于，由（1）可知：，，，在三角形中，，，，直角三角形中，，，，，直角三角形中，，，，，；（3）在中，，，，，，又，，，設(shè)，則．，解得：或4．當(dāng)時(shí)，在△中，，，，過(guò)作于，則，，，即與重合，與矛盾，故不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，在△中，，，，則是等邊三角形，．故．40．為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了思路點(diǎn)撥，你可以依照這個(gè)思路填空，并完成本題解答的全過(guò)程，當(dāng)然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，進(jìn)行解答即可．如圖，已知，，，延長(zhǎng)，使，連接，求證：．思路點(diǎn)撥：（1）由已知條件，，可知：是等邊三角形；（2）同理由已知條件得到，且，可知；（3）要證，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩條線(xiàn)段相等，即；（4）要證（3）中所填寫(xiě)的兩條線(xiàn)段相等，可以先證明．請(qǐng)你完成證明過(guò)程：【解答】（1）解：連接，，，是等邊三角形，故答案為：等邊．（2）解：，，，是等邊三角形，故答案為：，是等邊三角形．（3）證明：等邊三角形和，，，，，即，在和中，，，，故答案為：．（4）解：由（3）知：證．41．已知是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，交于點(diǎn)，．（1）如圖1，若，則，；（2）如圖2，若，試求和的值；（3）如圖3，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，其他條件不變，則．（只寫(xiě)答案不寫(xiě)過(guò)程）【解答】解：（1）①等邊三角形，，，，在直角中，，，，，，又，，，，；②如圖1，作，，，易證，則，在中，是中位線(xiàn)，，；故答案為：；1．（2）如圖2，設(shè)，則；連，且過(guò)作于；過(guò)點(diǎn)作交于，可判斷為等邊三角形，所以，，，又，，，即，，在中可得，，，又，，又，而，，，，；（3）等邊三角形，，，，在直角中，，，，，，又，，，，．故答案為：42．如圖為等邊三角形，直線(xiàn)，為直線(xiàn)上任一動(dòng)點(diǎn)，將一角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)處，它的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與直線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）若恰好在的中點(diǎn)上（如圖求證：是等邊三角形；（2）若為直線(xiàn)上任一點(diǎn)（如圖，其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：，且為等邊三角形，，，，，，，，，，．，且，是等邊三角形；（2）在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，，又，是等邊三角形．43．如圖，在等邊中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以速度移動(dòng)．、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為秒鐘．（1）你能用表示和的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái)．（2）請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后，為等邊三角形？（3）若、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓厝呥\(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn)與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇？【解答】解：（1）是等邊三角形，，點(diǎn)的速度為，時(shí)間為，，則；點(diǎn)的速度為，時(shí)間為，；（2）若為等邊三角形，則有