線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例1課件

線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例

（1）網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計算機輔助設(shè)計等眾多領(lǐng)域。當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題時,線性方程組就自然產(chǎn)生了,例如,城市規(guī)劃設(shè)計人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)格內(nèi)的交通流量,電氣工程師計算電路中流經(jīng)的電流,經(jīng)濟學(xué)家分析產(chǎn)品通過批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生產(chǎn)者到消費者的分配等.大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千未知量和線性方程。

一、網(wǎng)絡(luò)流模型

一個網(wǎng)絡(luò)由一個點集以及連接部分或全部點的直線或弧線構(gòu)成。網(wǎng)絡(luò)中的點稱作聯(lián)結(jié)點(或節(jié)點)，網(wǎng)絡(luò)中的連接線稱作分支.每一分支中的流量方向已經(jīng)指定，并且流量(或流速)已知或者已標(biāo)為變量。

城市道路網(wǎng)中每條道路、每個交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案，必要時設(shè)置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。

案例1交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題

下圖為某城市的局部單行示意圖

【問題描述】：某城市單行線如下圖所示,其中的數(shù)字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量(單位:輛).5001234400300100200300x1x2x3X4圖3某城市單行線車流量示意圖【模型假設(shè)】：（1）每條道路都是單行線（2）每個交叉路口進入和離開的車輛數(shù)目相等.【模型建立】根據(jù)圖3和上述假設(shè),在①,②,③,④四個路口進出車輛數(shù)目分別滿足：500=x1+x2①400+x1=x4+300②x2+x3=100+200③x4=x3+300④【模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組。其增廣矩陣(A,b)=由此可得即：

,就是說x1,x2,x3,x4這四個未知量中,任意一個未知量的值統(tǒng)計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值。

Matlab練習(xí)題某城市有下圖所示的交通圖,每條道路都是單行線,需要調(diào)查每條道路每小時的車流量.圖中的數(shù)字表示該條路段的車流數(shù).如果每個交叉路口進入和離開的車數(shù)相等,整個圖中進入和離開的車數(shù)相等?，F(xiàn)在需要解決如下問題：（1）建立確定每條道路流量的線性方程組。（2）分析哪些流量數(shù)據(jù)是多余的。（3）為了唯一確定未知流量,需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計。

300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12圖某城市單行線車流量【模型準(zhǔn)備】：一種佐料由四種原料A、B、C、D混合而成.這種佐料現(xiàn)有兩種規(guī)格,這兩種規(guī)格的佐料中,四種原料的比例分別為2:3:1:1和1:2:1:2.現(xiàn)在需要四種原料的比例為4:7:3:5的第三種規(guī)格的佐料.問:第三種規(guī)格的佐料能否由前兩種規(guī)格的佐料按一定比例配制而成?【模型假設(shè)】（1）假設(shè)四種原料混合在一起時不發(fā)生化學(xué)變化；（2）假設(shè)四種原料的比例是按重量計算的。（3）假設(shè)前兩種規(guī)格的佐料分裝成袋,比如說第一種規(guī)格的佐料每袋凈重7克(其中A、B、C、D四種原料分別為2克,3克,1克,1克),第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克(其中A、B、C、D四種原料分別為1克,2克,1克,2克).【模型建立】根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè),可以進一步假設(shè)將x袋第一種規(guī)格的佐料與y袋第二種規(guī)格的佐料混合在一起,得到的混合物中A、B、C、D四種原料分別為4克,7克,3克,5克,則有以下線性方程組：

其解為：Matlab實驗題蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪是人體每日必須的三種營養(yǎng),但過量的脂肪攝入不利于健康.人們可以通過適量的運動來消耗多余的脂肪.設(shè)三種食物(脫脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分鐘消耗蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量如下表。問怎樣安排飲食和運動才能實現(xiàn)每日的營養(yǎng)需求?

營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)(克)慢跑5分鐘消耗量(克)每日需要的營養(yǎng)量(克)牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)3651131033碳水化合物5234742045脂肪1071153在研究多個經(jīng)濟部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時,W.Leontief提出了投入產(chǎn)出模型.這為經(jīng)濟學(xué)研究提供了強有力的手段.W.Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟學(xué)獎。

三、投入產(chǎn)出模型

圖三個經(jīng)濟部門【模型建立】設(shè)煤礦,電廠,鐵路分別產(chǎn)出x元,y元,z元剛好滿足需求.則有下表產(chǎn)出(1元)產(chǎn)出分配訂單煤電運消耗煤00.60.5x0.6y+0.5z60000電0.30.10.1y0.3x+0.1y+0.1z100000運0.20.10z0.2x+0.1y0根據(jù)需求,應(yīng)該有：即：Matlab實驗題某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個企業(yè).甲企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品.乙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.65元甲企業(yè)的產(chǎn)品,0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和0.05元丙企業(yè)的產(chǎn)品.丙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品和0.1元乙企業(yè)的產(chǎn)品.在一個生產(chǎn)周期內(nèi),甲、乙、丙三個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價值分別為100萬元,120萬元,60萬元,同時各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬元,5萬元和5萬元.(1)求一個生產(chǎn)周期內(nèi)這三個企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價值.(2)如果這三個企業(yè)接到外來訂單分別為50萬元,60萬元,40萬元,那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求?相關(guān)內(nèi)容見《線性代數(shù)》課件的第3.7節(jié)的“人口遷移模型”，以及4.5節(jié)的“離散動態(tài)系統(tǒng)模型”。

除了上述例子，現(xiàn)實生活中還有很多，可以通過建立形如的差分方程的例子。四、線性差分方程建模及求解【模型準(zhǔn)備】某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有成為熟練工.假設(shè)第一年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工各占一半，求以后每年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比。案例四

人員流動問題

【模型準(zhǔn)備】金融機構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付,設(shè)立一筆總額5400萬的基金,分開放置在位于A城和B城的兩家公司,基金在平時可以使用,但每周末結(jié)算時必須確保總額仍然為5400萬.經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動,發(fā)現(xiàn)每過一周,各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi),而A城公司有10%支付基金流動到B城公司,B城公司則有12%支付基金流動到A城公司.起初A城公司基金為2600萬,B城公司基金為2800萬.按此規(guī)律,兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何?如果金融專家認(rèn)為每個公司的支付基金不能少于2200萬,那么是否需要在必要時調(diào)動基金?案例五金融公司支付基金的流動

在Matlab命令窗口輸入以下命令>>symsk%定義符號變量>>P*[1,0;0,0.78^(k+1)]*P^(-1)*[2600;2800]Matlab執(zhí)行后得ans=[32400/11-3800/11*(39/50)^(k+1)][27000/11+3800/11*(39/50)^(k+1)]【模型準(zhǔn)備】設(shè)有A,B,C三個政黨參加每次的選舉,每次參加投票的選民人數(shù)保持不變.通常情況下,由于社會、經(jīng)濟、各黨的政治主張等多種因素的影響,原來投某黨票的選民可能改投其他政黨。案例六選舉問題【模型假設(shè)】（1）參與投票的選民不變,而且沒有棄權(quán)票；（2）每次投A黨票的選民,下次投票時,分別有

比例的選民投A,B,C政黨的票;每次投B黨票的選民,下次投票時,分別有

比例的選民投A,B,C各政黨的票;每次投C黨票的選民,下次投票時,分別有

比例的選民投A,B,C各政黨的票。（3）

表示第k次選舉時分別