能量法與超靜定課件

第五講

能量法與超靜定

材料力學Ⅱ的主要內容一、能量法二、超靜定三、動載荷考點基本理論與應用知識掌握與能力

1、結構的變形分析2、超靜定結構分析3、結構的穩(wěn)定性分析4、桿件的沖擊分析

五、能量法的應用一、基本概念1、能量法利用功和能的原理求解變形固體的位移、變形和內力等的方法稱為能量法。2、變形能在線彈性范圍內，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內儲蓄的能量，稱為彈性變形能或稱應變能。

二、基本理論1、功能原理；

2、克隆原理；3、虛位移原理；4、虛功原理；5、虛力原理；6、互等定理；7、卡氏定理；8、莫爾定理。

重點：功能原理、單位載荷法。難點：虛位移、虛功、虛功原理、虛力原

理、虛位移原理?？键c：變形能的概念，能量法在超靜定、沖擊中的應用?！?0-2彈性桿件的變形能一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉桿件基本變形的變形能一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉三、橫力彎曲桿件組合變形的變形能式中：K—剪切形狀系數(shù)。

矩形K=6/5;圓形K=10/9;圓環(huán)K=2?！?0-3克隆原理

線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。式中：K—剪切形狀系數(shù)。

矩形K=6/5;圓形K=10/9;圓環(huán)K=2。內力表示的克隆原理重要基本概念1、廣義位移（用Δ表示）①線位移:水平位移Δix;豎向位移Δiy;②角位移φi;③相對位移：一對力引起的位移。ΔAB

2、廣義力（用F表示）①廣義外力（F、М、R）。②廣義內力（N、Q、T、М）。3、實位移和虛位移①實位移—位移是由作功的力自身引起的。②虛位移—位移不是由作功的力自身引起的例10-2：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。設EI為常數(shù)，試求梁的變形能。LFMeAB⑴彎矩方程⑵變形能解：方法一內力表達式LFM0AB⑷當F和M0分別作用時⑶克隆定理（方法二外力表達式）關于變形能的討論1、上述各能量式僅適用于線彈性材料桿件在小變形下的變形能的計算。2、變形能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內力功等于微段上的變形能計算，然后積分求得整個桿件的變形能。3、變形能為內力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不作功時，才可應用疊加原理。關于變形能的討論4、變形能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關，在桿系結構中，各桿可獨立地選擇坐標系。5、彈性體所受的外力從零緩慢（逐漸）增加到最終值。6、變形能大小與加載過程的先后次序無關，而只決定于載荷及其相應的位移的最終值。關于變形能的討論7、對于一般結構剪切變形能比較小通常略去不計。若剪切變形能比較大，不能略去時其計算公式：式中K是與截面形狀系數(shù)。矩形：K=6/5圓形：K=10/9

討論題8、對線彈性結構，位移可以疊加，其變形能也可以疊加（）。9、對線彈性結構，位移可以疊加，其變形能不可以疊加（）。10、非線彈性結構，位移和變形能都可以疊加（）。11、非線彈性結構，位移和變形能都不可以疊加（）。討論題12、當某一種基本變形的變形能由兩個以上的載荷共同引起時，該變形能不等于這些載荷單獨作用時引起的變形能的疊加（）。13、當桿件發(fā)生兩種或兩種以上基本變形時，桿件的總變形能等于各個基本變形的變形能的和（）。14、在小變形情況下，每一基本變形下的內力分量對其他基本變形并不做功（）。15、變形能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內力功等于微段上的變形能計算，然后積分求得整個桿件的變形能（）。討論題16、變形能為內力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不作功時，才可應用疊加原理（）。17、兩個以上載荷引起同一種基本變形的變形能，不等于各個載荷引起的變形能的疊加（）。18、變形能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關，在桿系結構中，各桿可獨立地選擇坐標系（）。19、變形能大小與加載過程的先后次序無關，而只決定于載荷及其相應的位移的最終值（）。作業(yè)P105

習題：13.1、13.3、13.4。

§10-4變形體的虛功原理一、基本概念1、廣義位移（用Δ表示）①線位移:水平位移ΔiX豎向位移Δiy②角位移φi③相對位移：一對力引起的位移。ΔAB

2、廣義力（用F表示）①廣義外力（F、М、R）。②廣義內力（N、Q、T、М）。3、實位移和虛位移①實位移—位移是由作功的力自身引起的。②虛位移—位移不是由作功的力自身引起的4、實功和虛功①實功—力在實位移上作的功。②虛功—力在虛位移上作的功。5、虛功中力和位移的性質：力和位移彼此獨立無關的兩種狀態(tài)。6、求解靜定結構位移的基本理論變形體的虛功原理：外力的虛功等于內力的虛功

W外＝W內虛功原理的兩種形式：1）虛位移原理：實力狀態(tài)，虛位移狀態(tài)。2）虛力原理：實位移狀態(tài)，虛力狀態(tài)。二、求解靜定結構位移的基本方法單位荷載法：①積分法，②圖乘法三、變形體的虛功原理外力的虛功等于內力的虛功。

W外＝W內關于虛功原理的討論1、虛位移是在平衡位置上再增加的位移，桿件原有外力和內力保持不變，且始終是平衡的。2、虛位移應滿足邊界條件和連續(xù)條件且符合小變形要求。3、虛功是桿件上的力在虛位移上所作的功。4、虛功是桿件上的虛力在實位移上所作的功。5、虛位移表示其他因素造成的桿件位移，與桿件的外力和實際位移無關。

§10-5互等定理位移發(fā)生點荷載作用點F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理：位移互等定理：例10-3求圖示簡支梁C截面的撓度。F例10.4求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。F1、在功的互等定理公式的兩邊可以是不同類的力和位移，如一邊是力和線位移的乘積，另一邊是力偶和角位移的乘積。2、位移互等定理公式的兩邊，一邊是線位移，另一邊可以是角位移。

關于互等定理的討論關于互等定理的討論3、功的互等定理與位移互等定理的兩邊，也可以是同一點的不同類型的力和位移。4、功的互等定理可以推廣到彈性體的兩種應力狀態(tài)，即第一種應力狀態(tài)在第二種應力狀態(tài)引起位移上做的功等于第二種應力狀態(tài)在第一種應力狀態(tài)引起位移上做的功。

作業(yè)P106習題：13.5。

§10-6卡氏定理

卡氏定理是描述變形能與位移之間關系的一個重要定理，是由意大利學者阿?卡斯提里安諾于1879年提出的。主要有卡氏第一定理和卡氏第二定理。

卡氏定理第一定理：彈性桿件的變形能對于桿件上任一位移的偏導數(shù)，等于與該位移相應的載荷。§10-6卡氏定理卡氏第一定理：彈性桿件的變形能對于桿件上任一位移的偏導數(shù)，等于與該位移相應的載荷?！?0-6卡氏定理卡氏第二定理：

彈性桿件的變形能對于桿件上任一載荷Fi

的偏導數(shù)，等于載荷Fi作用點沿Fi方向的相應位移?！?/p>

10-6卡氏定理若只給以增量，其余不變，在作用下，原各力作用點將產生位移變形能的增加量：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把看作第二組力，根據(jù)互等定理：所以：變形能對任一載荷Fi的偏導數(shù)，等于Fi作用點沿Fi方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理求位移的應用橫力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：組合變形的卡氏第二定理關于卡氏第二定理的討論1、由于變形能是對截面X積分，而卡氏第二定理是對荷載F求偏導數(shù)，因偏導數(shù)與積分號無關，故在計算中可以先求后積分。2、適用于線彈性結構在小變形情況下結構位移計算3、若計算結果為正，表示δ與F，的方向相同；若為負，表示δ與F方向相反。

4、式中δ為相應于廣義力F的廣義位移，若欲求位移處沒有相應的載荷，則可以在結構上施加于欲求位移相應的載荷，求得偏導后，再令所加載荷為零（通常稱為零載荷法）。5、若結構上作用于不同點的若干個力符號相同（如兩個力均為F），求偏導時應將各載荷加以標記，以示區(qū)分。例10-5利用卡氏定理，試求圖示懸臂梁自由端B的撓度。F解：(1)(2)解得：ｆB=FL3/3EI

例10-6教材P95例13.12利用卡氏定理，試求剛架自由端A的鉛垂位移和截面B的轉角θB。作業(yè)P87例題13.7；

P107習題13.9。

§10-7單位載荷法莫爾積分單位荷載法的證明有三個方法。1、虛功原理；2、能量法；3、卡氏定理。莫爾定理

（莫爾積分）例10-7試用單位荷載法計算圖(a)所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。

例10-8教材P95例13.12利用單位載荷法，試求剛架自由端A的鉛垂位移和截面B的轉角θB。作業(yè)

P107習題13.9。

§10-8計算莫爾積分的圖乘法在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：對于等直桿的EI，可以提到積分號外，故只需計算積分直桿的M0(x)圖必定是直線或折線?！?0-8計算莫爾積分的圖乘法

式中A是М(x）圖形的面積；yc

是圖形中與圖形的形心C對應的縱坐標。應用圖乘法的條件：用圖乘法計算位移時，梁和剛架的桿件必須滿足以下條件：（1）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)。（2）桿段的軸線為直線。（3）各桿段的М(x）圖和圖中至少有一個為直線圖形。應用圖乘法時應注意：(1)在圖乘前要先對圖形進行分段處理，保證兩個圖形中至少有一個是直線圖形。(2)A與yC是分別取自兩個彎矩圖，豎標yC必須取自直線圖形。(3)

當A與yC在桿的同側時，乘積AyC取正號；A與yC在桿的異側時，乘積AyC取負號。下面給出了圖乘運算中幾種常見圖形的面積及其形心位置。在應用圖示拋物線圖形的公式時，必須注意曲線在頂點處的切線應與基線平行，即在頂點處剪力為零。圖乘法的技巧：

在圖乘運算中，經常會遇到一些不規(guī)則的復雜圖形，這些圖形的面積和形心位置不易確定，在這種情況下，可采用圖形分塊或分段的方法，將復雜圖形分解為幾個簡單圖形，以方便計算。

討論題

例10-9試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2)求自由端的轉角例10-10試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉角。qM解（1）簡支梁的最大撓度（2）求最大轉角最大轉角發(fā)生在兩個支座處例10-11試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和A、B截面的轉角。CL12TU34解：例10-12試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。CL12TU35解：例10-13試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。CL12TU36解：例10-14圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X作用。用圖乘法求：

(1)集中力作用端撓度為零時的X值；

(2)集中力作用端轉角為零時的X值。CL12TU37F解：(1)F(2)例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移。CL12TU38解：例10-15圖示開口剛架，EI=const。求A、B兩截面的相對角位移θAB

和沿P力作用線方向的相對線位移ΔAB

。CL12TU39解：例10-16用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉角及E截面的撓度。CL12TU40解：例10-17圖示剛架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH

和轉角θA

。CL12TU41解：例

計算剛架B截面的水平位移，已知剛架的抗彎剛度EI=常數(shù)。作業(yè)

P107習題13.9。

第十一章

超靜定結構第十一章超靜定結構11-1概述11-2變形比較法11-3

力法求解超靜定結構11-4對稱及反對稱性質的利用目錄11-1概述目錄一、超靜定結構的概念

結構的約束反力或內力僅用獨立的平衡方程不能全部求解，該結構稱為超靜定結構。二、超靜定結構的類型

外力超靜定，內力超靜定，混合超靜定。____________

三、超靜定結構的次數(shù)

1、外力超靜定：位置約束反力個數(shù)—獨立靜力平衡方程數(shù)=超靜定結構的次數(shù)。2、內力超靜定：一個平面封閉框架為三次內力超靜定；

平面桁架的內力超靜定結構的次數(shù)等于桿數(shù)加三減兩倍節(jié)點數(shù)。三、超靜定結構的次數(shù)3、混合超靜定：需綜合考慮。

4、結構有中間鉸的超靜定次數(shù)的判定：結構中加一個中間鉸，結構減少一次超靜定次數(shù)。四、求解超靜定結構的方法

1、變形比較法；2、力法；3、位移法。11-2變形比較法求解超靜定結構典型題1如圖所示桿件，兩端固定，在橫截面C處受軸向載荷F作用。試求桿兩端的支座反力。

解：(一)靜力平衡方程(a)兩個未知力，一個平衡方程，故為一次超靜定。(二)變形協(xié)調方程

(b)

(三)物理方程

(c)

(d)(四)補充方程

(五)求解支座反力將式(c)和式(d)代入式(b)，即得補充方程為

(e)聯(lián)立求解平衡方程(a)與補充方程(e)，于是得典型題2圖4-17a所示等截面圓軸AB，兩端固定，在截面C處承受扭力矩M作用。試求軸兩端的支反力偶矩。

解：(一)靜力平衡方程

(a)(二)變形協(xié)調方程

(b)(三)物理方程(四)補充方程

將上述物理關系代入式(b)，得變形補充方程為

(c)(五)求解支座反力

聯(lián)立求解平衡方程(a)與補充方程(c)，于是得

典型題3如圖所示梁AB，在橫截面B處承受軸向載荷F作用。試求梁的支座反力。

解：(一)靜力平衡方程∑Fy=0，-FBy+FAy=0∑MA=0,MA+F×L/2-FBy×L=0(a)(二)變形協(xié)調方程

=0

(b)(三)物理方程(四)補充方程

將上述物理關系代入式(b)，得變形補充方程為

(c)

=0(五)求解支座反力

聯(lián)立求解平衡方程(a)與補充方程(c)，于是得FAY=FBY=§11-3力法求解超靜定結構在求解超靜定結構時，目錄

以“未知力”為未知量的求解超靜定的方法稱為“力法”。一般先解除多余約束，以多余約束力代之，得到基本靜定系統(tǒng)再根據(jù)變形協(xié)調條件得到關于多余約束力的補充方程。該體系中多出一個外部約束，為一次超靜定梁解除多余支座B，并以多余約束X1代替若以表示B端沿豎直方向的位移，則：是在F單獨作用下引起的位移是在X1單獨作用下引起的位移目錄力法正則方程

目錄對于線彈性結構，位移與力成正比，X1是單位力“1”的X1倍，故也是的X1倍，即有若：于是可求得所以（*）式可變?yōu)椋?/p>

例11.1：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿EI=常數(shù)。目錄解：

例11.2：兩端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，設梁的抗彎剛度為EI，不計軸力影響，求梁中點的撓度。目錄

解：例11.3：求圖示剛架的支反力。目錄解：目錄上面我們講的是只有一個多余約束的情況！

那么當多余約束不止一個時，力法方程是什么樣的呢？目錄由疊加原理：同理

變形協(xié)調條件：

表示作用點沿著方向的位移

目錄力法正則方程：矩陣形式：表示沿著方向單獨作用時所產生的位移

表示沿著方向單獨作用時所產生的位移

表示沿著方向載荷F單獨作用時所產生的位移

目錄則：引起的彎矩為

引起的彎矩為

載荷F引起的彎矩為

設：力法的計算步驟：

（1）選取基本結構、確定超靜定次數(shù)。(基本靜定結構—不是唯一的)去掉原結構的多余約束，以相應的未知力代替多余約束的作用。

（2）建立力法典型方程。根據(jù)基本結構在去掉多余約束處的位移與原結構相應位置的位移相同的條件，建立力法方程。（3）計算系數(shù)和自由項。利用靜定結構的位移計算公式，或分別繪出基本結構在單位多余力Xi和荷載作用下的彎矩圖，然后用圖乘法計算系數(shù)和自由項。（4）解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)和自由項代入力法方程，解出多余未知力Xi。

【例】試用力法計算圖示超靜定剛架。

【解】1)建立相當系統(tǒng)。該剛架為二次超靜定結構，去掉B支座處的