力矩分配法課件

結構力學歡迎使用工程力學系多媒體教學課件系列第7章力矩分配法水利土木工程學院結構力學課程組水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法本章要理解力矩分配法的概念及基本原理、基本思路，重點掌握用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架。這也是本章的難點在學習中要清楚力矩分配法是一種漸進法，要明確兩個狀態(tài)——固定狀態(tài)和放松狀態(tài)，掌握力矩分配法的三要素（固端彎矩、分配系數、傳遞系數）的計算，才能真正領會力矩分配法的意義。另外，在熟練掌握力矩分配法的基礎上，本章還將簡單介紹無剪力分配法、附加鏈桿法和分層法等實用計算方法。它們與力矩分配法通稱為漸進法。要理解這些方法的計算原理。第7章教學基本要求、重點和難點：水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章§7.6多層多跨剛架的分層計算法水利土木工程學院結構力學課程組§7.1基本概念二、力矩分配法的正負號規(guī)定力矩分配法的理論基礎是位移法，故力矩分配法中對桿端轉角、桿端彎矩、固端彎矩的正負號規(guī)定與位移法相同，即都假設對桿端順時針旋轉為正號。另外，作用于結點的外力偶荷載、作用于附加剛臂的約束反力矩，也假定為對結點或附加剛臂順時針旋轉為正號。第7章力矩分配法一、力矩分配法的應用條件理論基礎：位移法；計算對象：桿端彎矩；計算方法：通過增量調整修正，逐步逼近真實狀態(tài)；適用范圍：連續(xù)梁和無側移剛架。水利土木工程學院結構力學課程組§7.1基本概念三、轉動剛度桿件桿端抵抗轉動的能力，稱為桿件的轉動剛度，AB桿A端的轉動剛度用SAB表示，它在數值上等于使AB桿A端產生單位轉角時所需施加的力矩。第7章力矩分配法1111SAB=4i1SAB=3iSAB=i1由左圖可知，桿端轉動剛度SAB值不僅與桿件的線剛度i有關，而且與遠端的支承情況有關,而與近端支撐無關。水利土木工程學院結構力學課程組§7.1基本概念四、分配系數和分配彎矩（j=B、C、D）分配系數分配彎矩同一結點各桿端的分配系數之和應等于1，即第7章力矩分配法水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章§7.6多層多跨剛架的分層計算法水利土木工程學院結構力學課程組一、單結點連續(xù)梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法i2kN/m⑴附加剛臂，確定基本體系⑵固定剛臂，計算固端彎矩結構無結點轉角位移時，交匯于結點各桿固端彎矩的代數和，稱為該結點的不平衡力矩，并規(guī)定順時針轉向為正。20kNACB3m6m3miACB15159

9R1P152kN/m20kNACBZ1基本體系MB=水利土木工程學院結構力學課程組一、單結點連續(xù)梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法i2kN/m20kNACB3m6m3mi2kN/m20kNACBACB15159

9MB15Z1基本體系ACBZ14iZ13iZ1=SBAZ1=SBCZ1⑶放松剛臂，計算剛臂轉動Z1時結點的反力矩R11。⑷計算轉角Z1。R11SBAZBSBCZB水利土木工程學院結構力學課程組一、單結點連續(xù)梁的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法ACB15159ACBZ1

9MB154iZB3iZBR11SBAZBSBCZB=SBAZB=SBCZB⑹力矩傳遞。由于轉角Z1引起的遠端彎矩稱為傳遞彎矩，有⑺計算最終桿端彎矩。⑻作最終彎矩圖。C0ACB93016.71411.574M圖

(kN·m)-MB水利土木工程學院結構力學課程組§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法

⑵固定—計算固端彎矩和結點不平衡力矩⑴計算分配系數i2kN/m20kNACB3m6m3mi⑶放松—計算分配彎矩⑷計算傳遞彎矩⑸疊加—計算最終桿端彎矩⑹畫彎矩圖AC0.571

0.429分配系數固端彎矩-1515-90分配彎矩結點不平衡力矩6傳遞彎矩0桿端彎矩-16.71411.574-11.5740ACB93016.71411.574M圖

(kN·m)單結點連續(xù)梁的力矩分配法小結水利土木工程學院結構力學課程組§7.2力矩分配法的基本原理第7章力矩分配法荷載作用下的桿端彎矩，由載常數表查得。將結點的不平衡彎矩改變符號，乘以交匯于該點各桿的分配系數，所得到的桿端彎矩稱為該點各桿的分配彎矩。將結點的分配彎矩乘以傳遞系數，所得到的桿端彎矩稱為該點遠端的傳遞彎矩桿端固端彎矩、全部分配彎矩和傳遞彎矩的代數和即為該桿端的最終桿端彎矩。固端彎矩：不平衡彎矩：分配彎矩：傳遞彎矩：最終桿端彎矩：

固定狀態(tài)下交匯于結點各桿固端彎矩的代數和，稱為結點的不平衡彎矩。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法ABCD⑶計算分配彎矩⑷計算傳遞彎矩⑸計算桿端彎矩⑹畫彎矩圖ABACAD4/92/93/9分配系數傳遞彎矩結點不平衡力矩-35分配彎矩15.5511.677.78固端彎矩-40+400-75-25+7.78-7.780桿端彎矩-32.22-32.7855.5511.67-67.220ABCDM圖

(kN·m)32.7867.2255.5532.2211.67§7.2力矩分配法的基本原理水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法二、多結點問題的力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理單結點問題比較簡單，一次放松即可消去附加剛臂作用，得到精確解。但是對于多結點問題，由于不能同時放松或固定全部的結點，只能采取逐個放松或固定結點的方法。下面將通過兩個結點的連續(xù)梁說明多結點問題的力矩分配法的基本原理。EI=120kN/m100kNACB6m4m4m6mEI=2EI=1D⑴計算分配系數EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理⑵計算固端彎矩EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D分配系數固端彎矩C一次分配傳遞B一次分配傳遞C二次分配傳遞最后桿端彎矩B二次分配傳遞C三次分配傳遞B三次分配傳遞⑶固定B，放松C⑷固定C，放松B⑸重復⑶、⑷⑺計算桿端彎矩⑹再重復⑶、⑷⑻畫彎矩圖60–60–100100000.4000.6000.6670.333–66.7–33.3–33.444.029.414.722.0–14.7–7.3–7.34.42.91.52.20.40.3–0.7–1.5–0.7–43.892.6–92.6–41.341.30M圖

(kN·m)ACBD43.892.641.3133.1水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理固定放松再固定再放松……分配和傳遞可從任意一點開始，前述從不平衡力矩最大點開始，經驗證明這樣可加速收斂。由彎矩分配法思路可知，對多結點問題它是一種逐漸逼近精確解的近似方法。因為分配系數小于1，傳遞系數也小于1，因此一輪分配、傳遞后，新的不平衡力矩一定比原來的小，理論上經過無限次分配、傳遞結構一定達到平衡，也即可以獲得問題的精確解。實際應用時，一般只進行二、三輪的分配和傳遞。水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章§7.6多層多跨剛架的分層計算法水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】【例7-1】6kN/m20kNACB4m4m4mEIEIACB分配系數0.73

0.27固端彎矩結點不平衡力矩-88-30（-22）0用力矩分配法畫彎矩圖。⑵計算固端彎矩和結點不平衡力矩⑴計算分配系數⑶分配和傳遞⑷計算最終桿端彎矩⑸畫彎矩圖傳遞彎矩+8.030桿端彎矩-0.03+24.06-24.060ABCD0.0324.060.04527.97(12)M?(kN·m)分配彎矩+16.06+5.94水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架2EI50kNACB1m6m2m10kN/m2mEID【解】【例7-3】畫彎矩圖。⑵計算固端彎矩⑴計算分配系數2EI50kNACB6m2m10kN/m2mEI5kN·m⑶分配傳遞，計算桿端彎矩⑷畫彎矩圖ACBD0.4280.572分配系數M圖(kN·m)ACBD5039.6454530.18固端彎矩37.5–42.5-5539.64–39.640桿端彎矩-55分配傳遞2.142.8600水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架畫彎矩圖?！窘狻俊纠?-4】水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架⑶分配和傳遞⑷計算桿端彎矩⑸畫彎矩圖【解】BACD分配系數1/32/33/52/5固端彎矩18.75-151500分配和傳遞-9-6-3-4.50.250.500.25-0.15-0.1-0.05-0.07-3.05桿端彎矩-19.02019.026.10-6.10M圖

(kN·m)22.519.02BACD6.103.0515.19259.940.050.02水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【例7-6】用力矩分配法畫彎矩圖。10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10m水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架桿端彎矩22.80.10.061/21/20.640.36固端彎矩分配與傳遞分配系數25←5050→25-2←-4-4→-28←169

0.64←1.280.72-0.16←-0.32-0.32→-0.1645.754.340.2-40.2100-100100kNm10kN0.75EI10m8kN/mEIEI10m10m10mABCD100kN.m-100-100+50100-100【解】水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架22.845.754.340.2100100M圖（kN.m)說明：計算C點的分配系數、MUCD向外傳遞時，D點按鉸支。25←5050→2516.7←33.3水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】桿端彎矩22.840.10.06-100-200/3200/3-1000.50.50.640.3610固端彎矩分配與傳遞分配系數-2←-4-4→-28←169→00.64←1.280.72-0.16←-0.32-0.32→-0.1645.6854.3240.2240.22100-10010m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10m水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架10m10kNEI8kN/mEI0.75EI100kN·m10m10m10mM圖

(kN·m)10010022.8445.6854.3240.22說明：計算C點的分配系數、MUCD向外傳遞時，D點按固支。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】【例7-7】用力矩分配法畫彎矩圖。⑵計算固端彎矩和結點不平衡力矩⑴計算分配系數A15kN·m

4m2m2m

3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kN·m水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架⑶分配和傳遞⑷計算最終桿端彎矩⑸畫彎矩圖

4m2m2m

3m40kN/m100kNBDi=1ACi=1i=215kN·m【解】BDAC1007010404580M圖

(kN·m)結點BACD桿端分配系數BAABADACCADA4/93/92/9分配與傳遞20固端彎矩-5050-80101510－10最后彎矩-4070-6510-100第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架2m

4m15kN/m10kNBDAC3m3m1m2EI2EIEIEH40kN15kN·mDAC2EIEIE40kN10kN30kN30kN·mC

400MC30kN·mMC=–10kN·m水利土木工程學院結構力學課程組DA+10C–10+5+5+5–35+2.50CACD0.50.5M圖

(kN·m)BDACEH10356037.53052.5【解】【例7-8】畫彎矩圖。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【例7-9】畫下列兩剛架的彎矩圖。(a)(b)【解】(a)為畫有兩個剛結點的無側移剛架。(b)可以由對稱性取半剛架計算。其中i1、i2值為相對線剛度。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】(a)水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架(b)【解】水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【例7-9】畫下列兩剛架的彎矩圖。(a)(b)水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】【例7-10】試畫連續(xù)梁在圖示支座位移下的M圖，并求D端的角位移D。已知EI=2×104kN·m2。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架【解】【例7-10】()水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架力矩分配法小結：

1、單結點力矩分配法得到精確解；多結點力矩分配法得到漸近解。

3、進行力矩分配時，相鄰結點不可同時放松，應逐個放松、傳遞。當結點較多（大于3個）時，可以同時放松所有的不相鄰結點，以加快計算過程。

4、力矩分配法是一種增量漸近法，精度可以控制。一般當傳遞力矩達到固端彎矩的5﹪以下時，即可終止計算，不再傳遞力矩。

2、力矩分配（放松結點）過程宜從結點不平衡力矩大的結點開始，可加快收斂速度，且不平衡力矩要變號。水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章§7.6多層多跨剛架的分層計算法水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.4無剪力分配法一、無剪力分配法的基本原理工程中或在結構的計算過程中，常見右圖所示有側向位移的結構，其特點是其豎柱的剪力是靜定的，可以由靜力平衡方程直接求得。如果先將豎柱的剪力求出，并入外荷載系統(tǒng)，計算固端彎矩，則在近端進行力矩分配時豎柱就不再有剪力。因此豎柱的遠端可看成是一定向支承端，其線剛度為i，傳遞系數為–1，結點沿垂直于豎柱方向的線位移就不再作為基本未知量，使計算在為簡化。這種方法就稱為無剪力分配法。BACEDF1F2(a)BACEF1F1F2(b)F1+F2D水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.4無剪力分配法二、無剪力分配法的基本步驟下面以圖(a)所示剛架為例說明無剪力分配法的基本步驟。⑴由靜力平衡條件計算豎桿剪力，轉化成圖(b)所示的等效剛架，顯然有FQ1=F1

和FQ2=F1+F2。BACEDF1F2(a)⑵取圖(b)所示系統(tǒng)為研究對象計算固端彎矩。其中AB和BC均可看作一端固定一端定向支承的桿件，而BD和CE可看作是一端固定一端鉸支的桿件。BACEF1F1F2(b)F1+F2D注意：由于各豎桿都是定向支承桿，桿端雖的水平側向位移，但不影響豎桿內力，因此對于圖(b)所示等效剛架中的側向位移可不作為基本未知量。這是無剪力分配法的根本所在。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.4無剪力分配法二、無剪力分配法的基本步驟BACEDF1F2(a)BACEF1F1F2(b)F1+F2D①注意區(qū)分剪力靜定桿的滑動端與固定端。②注意剪力靜定桿上除承受本層荷載外，桿頂端還承受上層傳來的剪力。

⑷根據計算結果作結構的彎矩圖。

⑶按無側移剛架力矩分配法計算分配系數、分配彎矩、結點不平衡力矩、傳遞彎矩，并進行分配和傳遞計算最后桿端彎矩。無剪力分配法只適用于結構中有線位移桿件的剪力是靜定的一類結構，或者當結構中除無側移桿件外，其它桿件的剪力都能由靜力平衡條件確定時才能應用。三、無剪力分配法的應用條件水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.4無剪力分配法【解】【例7-15】畫彎矩圖，桿側圓圈內為桿件的相對線剛度。BACED20kN6m4m20kN181518206mFQ1BCED20kN20kNAFQ2⑴計算豎桿剪力，顯然有FQ1=20kN和FQ2=40kN。⑵計算固端彎矩和結點不平衡力矩。⑶計算分配系數。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.4無剪力分配法【解】BACED20kN6m4m20kN181518206m

⑷列表進行分配傳遞結點ECBAD桿端ECCECBBCBDBAABDB固端彎矩-60-60-120-120分配系數0.7830.2170.1680.6070.225B分配傳遞-30.2430.24109.2640.5-40.5C分配傳遞70.6619.58-19.58B分配傳遞-3.293.2911.884.41-4.41C分配傳遞2.580.71-0.71B分配傳遞-0.120.120.430.16-0.16C分配0.090.03桿端彎矩073.33-73.33-46.64121.57-74.93-165.070

⑸求桿端彎矩。M圖

(kN·m)BACED165.0774.93121.5746.6473.3373.33

⑹畫彎矩圖。水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章§7.6多層多跨剛架的分層計算法水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.5附加鏈桿法附加鏈桿法適用于獨立結點線位移較少而獨立結點角位移較多的剛架。附加鏈桿法只取剛架的獨立結點線位移作為基本未知量，在有獨立線位移的方程加附加鏈桿，得到無側移剛架作為基本體系，寫出計算獨立線位移的典型方程式。因為基本體系是無側移剛架，在荷載及單位線位移分別作用下，可以分別用力矩分配法作出Mi圖和M圖。與一般位移法一樣，再利用平衡條件求得附加鏈桿法典型方程中的各系數后，求出獨立結點線位移，進而求出原結構的內力，作出最后內力圖。由于在計算過程中，沒有取獨立的結點角位移作為基本未知量，使典型方程數目大大減少，從而使計算簡化。下面通過例題來說明附加鏈桿法的計算方法。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.5附加鏈桿法【解】【例7-16】畫M圖。BACEIDql

l

lEIEIBACDr11Z1=1BACDqR1P⑴取基本體系BACDqR1Z1基本體系⑵建立典型方程r11Z1+R1P

=0⑶計算r11和R1P

用力矩分配法畫M1圖和M圖。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.5附加鏈桿法【解】結點ABCD桿端ABBABCCBCDDC分配系數0.50.50.5710.429固端彎矩-6-6分配與傳遞+1.50.1070.0077+30.2140.01530.0011+3-0.4280.214-0.03060.0153-0.00220.0011+1.5-0.8560.107-0.0610.00770.0044-0.644-0.0459-0.0033最后彎矩-4.3853-2.76962.76960.6932-0.69320M1圖最后桿端彎矩的計算水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.5附加鏈桿法【解】結點ABCD桿端ABBABCCBCDDC分配系數0.50.50.5710.429固端彎矩-0.083330.08333分配與傳遞-0.02084-0.0148-0.00010-0.04167-0.00297-0.00021-0.041670.00594-0.002970.00042-0.00021-0.020830.01189-0.001490.000850.008940.00064最后彎矩-0.10575+0.03848-0.03848-0.00958+0.009580M圖最后桿端彎矩的計算水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.5附加鏈桿法【解】BACEIDql

l

lEIEIBACDr11Z1=1BACDqR1P⑶計算r11和R1P

用力矩分配法畫M1圖和M圖。由平衡條件得BCDr11BCDR1PqM1圖2.76964.38530.6932MP圖0.038480.009580.10575r11Z1+R1P

=0⑷求Z1⑸由疊加法作圖

BACD0.129M圖0.1290.3710.0323水利土木工程學院結構力學課程組力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架§7.4無剪力分配法§7.6多層多跨剛架的分層計算法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加鏈桿法第7章水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩分配法§7.6多層多跨剛架的分層計算法分層計算法適用于多層多跨剛架承受豎向荷載作用時的情況。一、兩個近似假設第一，忽略側移的影響。第二，忽略每層梁上的豎向荷載對其他各層的影響。二、一般步驟⑴將各層剛架沿高度方向劃分成若干獨立的分層，其中每層都是由本層的橫梁和與之相連的上下柱構成的單層敞口剛架，并將其作為計算單元，每個單元只承受本層的荷載，柱的遠端均視為固定端。水利土木工程學院結構力學課程組第7章力矩