數(shù)學(xué)初二（上）期中（2021-2022）海淀區(qū)八一學(xué)校含答案

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共16分）1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x23．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．95° B．90° C．85° D．80°4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對(duì)等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（）A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣68．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（）①長方形ABCD的長寬之比可能為2；②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；③當(dāng)長方形ABCD為正方形時(shí)，九部分都為正方形；④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時(shí)，它的面積可能為100．A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（2ab2）3＝．10．（2分）點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．11．（2分）如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是度．12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是．14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABD≌△ACD，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）．16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．（12分）計(jì)算：（1）6x2?3xy．（2）（3x+1）（x﹣2）．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．（4）（x+2y）2．18．（6分）分解因式：（1）12xyz﹣9x2y2；（2）a2m﹣25m．19．（4分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．21．（5分）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：（），B′（），C′（）．（3）點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有個(gè)．22．（4分）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)AD＝CF時(shí)，求證：BD平分∠ABC．25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：對(duì)于關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當(dāng)x﹣1取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當(dāng)x﹣1＝±1，即x＝2或0時(shí)，x2﹣2x+3的值均為3；當(dāng)x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時(shí)，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個(gè)定義：對(duì)于關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)x﹣t取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于x＝t對(duì)稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對(duì)稱．請(qǐng)結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：（1）多項(xiàng)式x2﹣4x+6關(guān)于x＝對(duì)稱；（2）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對(duì)稱，求a的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝對(duì)稱．26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝，連接DF．請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問題；（3）小東將老師所給問題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．27．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．給出如下定義：點(diǎn)P（x，y）先關(guān)于y軸對(duì)稱得點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱得點(diǎn)P′，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），則它們關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別是；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（a，0），其中a＜0，點(diǎn)D關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)D′，求線段DD′的長；（3）已知點(diǎn)E（4，0），點(diǎn)F（6，0），以線段EF為邊在x軸上方作正方形EFGH，若點(diǎn)P（a，1），Q（a+1，1）關(guān)于y軸和直線l的二次反射點(diǎn)分別為P′，Q′，且線段P′Q′與正方形EFGH的邊有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共16分）1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x2【分析】選項(xiàng)A根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可，同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；選項(xiàng)B根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷即可，合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項(xiàng)C根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；選項(xiàng)D根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則判斷即可，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．【解答】解：A．x2?x3＝x5，故本選項(xiàng)不合題意；B．x2+x2＝2x2，故本選項(xiàng)不合題意；C．x6÷x2＝x4，故本選項(xiàng)不合題意；D．（﹣2x）2＝4x2，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．95° B．90° C．85° D．80°【分析】根據(jù)SAS證△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠C＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠C＝25°，∵∠A＝60°，∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠BDC＝∠A+∠C．4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；D、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義．嚴(yán)格按照因式分解的定義去驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)是正確解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對(duì)等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．7．（3分）如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m﹣2）+（m+2）2的值為（）A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，再把已知代入得出答案．【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2＝m2﹣2m+m2+4m+4＝2m2+2m+4．當(dāng)m2+m＝5時(shí)，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．8．（3分）已知長方形ABCD可以按圖示方式分成九部分，在a，b變化的過程中，下面說法正確的有（）①長方形ABCD的長寬之比可能為2；②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形ABCD的周長；③當(dāng)長方形ABCD為正方形時(shí)，九部分都為正方形；④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時(shí)，它的面積可能為100．A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④【分析】假設(shè)長方形的長寬比是2，推導(dǎo)出與已知的矛盾，排除①，根據(jù)正方形定義和長方形的周長公式判斷②③，根據(jù)長方形的周長為60，推導(dǎo)出該長方形的面積大于100，從而說明④錯(cuò)誤．【解答】解：如圖：①長方形的長為a+2b，寬為2a+b，若該長方形的長寬之比為2，則a+2b＝2（2a+b），解得a＝0．這與題意不符，故①的說法不正確；②四邊形AEFG、FHKM、SKWC的周長之和等于長方形ABCD的周長，故②正確；③當(dāng)長方形ABCD為正方形時(shí)，2a+b＝a+2b，所以a＝b，所以九部分都為正方形，故③的說法正確；④當(dāng)長方形ABCD的周長為60時(shí)，即2（2a+b+a+2b）＝60，整理，得a+b＝10，∴四邊形GHWD的面積為100，長方形ABCD的面積大于100，故④的說法不正確．綜上所述，正確的是：②③．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長方形、正方形的周長和面積即等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握正方形的判定、長方形的周長公式和正方形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（2ab2）3＝8a3b6．【分析】利用積的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（2ab2）3＝23×a3（b2）3＝8a3b6．故答案為：8a3b6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)積的乘方的法則的掌握．10．（2分）點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3）．【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點(diǎn)M（﹣1，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3）．故答案為：（﹣1，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．11．（2分）如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是20度．【分析】由已知等腰三角形的一個(gè)底角是80°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一個(gè)底角也是80°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求頂角的度數(shù)【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴兩個(gè)底角相等，∵等腰三角形的一個(gè)底角是80°，∴另一個(gè)底角也是80°，∴頂角的度數(shù)為180°﹣80°﹣80°＝20°．故填20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；借助三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題是一種很重要的方法，要熟練掌握．12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣3）2．故答案為：（x﹣3）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是2．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出D到AB的距離，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC＝DE＝1，∵AB＝4，∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確得出D到AB的距離是解題關(guān)鍵．14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，則ab＝7．【分析】由a﹣b＝2，得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．由（a+b）2＝32，得a2+b2+2ab＝32，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28，從而解決此題．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．∵（a+b）2＝32，∴a2+b2+2ab＝32．∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28．∴ab＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABD≌△ACD，這個(gè)條件可以是BD＝CD（寫出一個(gè)即可）．【分析】由題意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一組邊對(duì)應(yīng)相等，可證△ABD與△ACD全等．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案為：BD＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是18°≤α＜22.5°．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠OP2P3即可判斷．（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解決問題．【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P1P2P3．故答案為△P1P2P3．（2）由題意要使得到的最后一個(gè)等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案為18°≤α＜22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．（12分）計(jì)算：（1）6x2?3xy．（2）（3x+1）（x﹣2）．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．（4）（x+2y）2．【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則，再算加減即可；（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再計(jì)算減法即可；（4）利用完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）6x2?3xy＝18x3y．（2）（3x+1）（x﹣2）＝3x2﹣6x+x﹣2＝3x2﹣5x﹣2．（3）（6x4﹣9x3）÷3x2＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2＝2x2﹣3x．（4）（x+2y）2＝x2+4y2+4xy．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．18．（6分）分解因式：（1）12xyz﹣9x2y2；（2）a2m﹣25m．【分析】（1）直接提公因式3xy即可；（2）先提公因式m，再應(yīng)用平方差公式．【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；（2）原式＝m（a2﹣25）＝m（a+5）（a﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．19．（4分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．【分析】證明它們所在的三角形全等即可．根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF．運(yùn)用SSS證明△ABC與△DEF全等．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．20．（4分）先化簡，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】直接利用乘法公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡，合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），＝4a2﹣b2﹣4a2+12ab＝﹣b2+12ab，當(dāng)a＝﹣1，b＝2時(shí)，原式＝﹣22+12×（﹣1）×2＝﹣4﹣24＝﹣28．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．21．（5分）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出A′，B′，C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，1），B′（2，4），C′（﹣1，﹣2）．（3）點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有10個(gè)．【分析】（1）由點(diǎn)的對(duì)稱性，作出圖形即可；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解；（3）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．【解答】解：（1）如圖1：（2）由圖可知A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（1，﹣2），∴A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（4，1），B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（2，4），C點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣1，﹣2），故答案為：（4，1），（2，4），（﹣1，﹣2）；（3）如圖：以B為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，以C為圓心，BC長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，作線段BC的垂直平分線，此線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴△BCQ是等腰三角形時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)有10個(gè)，故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱作圖，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．22．（4分）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的BC邊上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．【分析】要證明線段相等，只要過點(diǎn)A作BC的垂線，利用三線合一得到P為DE及BC的中點(diǎn)，線段相減即可得證．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時(shí)，兩次用到三線合一的性質(zhì)，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關(guān)鍵．23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學(xué)的距離相等，在這兩所大學(xué)兩個(gè)端點(diǎn)的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點(diǎn)即為所求的位置．【解答】解：則點(diǎn)P為所求．【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．24．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE與BC交于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)AD＝CF時(shí)，求證：BD平分∠ABC．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△CAE與Rt△ABD全等，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可．【解答】證明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE與Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答．25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：對(duì)于關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當(dāng)x﹣1取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，當(dāng)x﹣1＝±1，即x＝2或0時(shí)，x2﹣2x+3的值均為3；當(dāng)x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時(shí)，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個(gè)定義：對(duì)于關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)x﹣t取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于x＝t對(duì)稱．例如x2﹣2x+3關(guān)于x＝1對(duì)稱．請(qǐng)結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：（1）多項(xiàng)式x2﹣4x+6關(guān)于x＝2對(duì)稱；（2）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝4對(duì)稱，求a的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）關(guān)于x＝﹣對(duì)稱．【分析】（1）對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷即可；（2）求出x2+2bx+3的對(duì)稱軸，令對(duì)稱軸x＝4即可；（3）對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，則多項(xiàng)式關(guān)于x＝2對(duì)稱，故答案為：2；（2）∵x2+2ax+3＝（x+a）2+3﹣a2，∴關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2ax+3關(guān)于x＝﹣a對(duì)稱，∴﹣a＝4，∴a＝﹣4；（3）原式＝（x+4）2（x﹣3）2＝[（x+4）（x﹣3）]2＝（x2+x﹣12）2＝[（x+）2﹣]2，故關(guān)于x＝﹣對(duì)稱，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗?xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝BD，連接DF．請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問題；（3）小東將老師所給問題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．【分析】（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（3）延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明．【解答】證明：（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，則∠BDF＝∠F，∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，∵AB+BD＝AC，BF＝BD，∴AF＝AC，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴∠ABC＝2∠ACB；（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，∵A