參數(shù)方程和普通方程的互化學案含解析新人教A版選修44

≠，k∈≠，k∈3參方和通程互參數(shù)方程和普通方程的互化(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通程，有利于識別曲線類型．曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．(2)在參數(shù)方程與普通方程的互中，必須使，的值范圍保持一致．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程．－y－2(1)＋＝，＝3cosθ＋1.(θ為)35(2)－＋－＝，＝＋1.(t為數(shù)－－(1)將＝3cosθ＋入＋＝，＝2＋5sinθ.35∴

3cosθ＋，5sinθ＋

(為數(shù))這就是所求的參數(shù)方程．(2)將＝＋代入

－＋－＝，得y＝＋－＝＋1)＋＋－＋t＋，∴1

(參數(shù)．這就是所求的參數(shù)方程．普通方程化為參數(shù)方程時①選參數(shù)后要特別注意參數(shù)的取值范圍將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價．②參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的．如本(2)，若θ，令＝(為，則參數(shù)方程＋tanθ－1．求xy1足下列條件的參數(shù)方程：

(為參)．(1)＝(≠0)；x＝θ

k2

.解：(1)將＝t代入＝1，得＝，1

t參數(shù)θ≠，∈t＋t－t參數(shù)θ≠，∈t＋t－2t1x5＋4，1∵≠0＝，∴1(為數(shù)，t≠0)．y＝t1(2)將＝tanθ代xy＝，＝.tanθ，∴1y＝tanθ

kπ2

.將參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程：，(1)3；

，(為參)(2)－

(為)．t＋(1)可采用代入法，由＝解出t入y表達式．t－(2)采用三角恒等變換求解．t＋x＋(1)由＝，＝.t－x－2代入＝化簡，t－＋－得＝3＋1，(2)由－

(≠1)．＝，得＝.

②

①①＋②

x＋得＋＝1.2516消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)．將參數(shù)方程化為普通方程時注意防止變量x和y取值范圍的大或縮小須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f)和g()的值域，即x和的值范圍．2

t11222t112222＋，2．方程A．一條直線

(t為參表示的曲線()B．兩條射線C．一條線段D拋物線的一部分1解析：選B＞時＝t＋≥2.t≤－當＜，＝＋＝－t－即曲線方程為y＝x|，表示兩條射線．，3．(湖南高)在平面直角坐標系中，曲線C通方程為．解析：由參數(shù)方程直接消去參數(shù)t，得x－＝－，即－－＝答案：－－＝課時跟蹤檢測(九一、選擇題θ，(θ為參)化為普通方程為1．將參數(shù)方程A．＝－2．＝＋2C．＝－2(2xDy＝＋2(0≤≤1)解析：選C代法，將方程化為＝－，但∈，y∈，故選C.

)

(為數(shù)的2．參數(shù)方程

θ，θ

(為數(shù)表示的曲線是(

)A．直線B．圓C．線段D．線解析：選C＝cos

θ∈y＝sinθ∈∴＋＝，(x∈為段．3．下列參數(shù)方程中，與方程y＝表同一曲線的()3

x＝1＋2tx＝1＋2tA.

(為)t

(為數(shù)C.

|

1cos2(為數(shù)D.t

(為數(shù)解析：選DA中有制y＝≥0；B中sint和t都示一定范圍內(nèi)C化簡不是方程y＝，而是x＝且有制條件；代入化簡可知選D.－4．曲線的參數(shù)方程

(t是參，≠0)，它的普通方程()－A．(x－(－1)＝B．y＝(≠1)1－C．＝

1－1(≠1)D＝(≠±1)1－1－11解析：選B由x＝－，得＝－，由y＝1－，得＝－t－2所以(－·(1)＝，一步整理得到＝(≠1)．1－二、填空題θ，5．參數(shù)方程θ

(為數(shù)所表示的曲線的普通方程________．解析：由于cos2θ＝－2sinθ，故＝－，即＝－＋1(－1≤≤1)答案：＝－＋－1x≤1)6．(湖南高)在平面直角坐標系中，若直線

(為數(shù)和直線l：

(為數(shù)平行，則常數(shù)的值________解析：由直線l：1＝，

(為)，去參數(shù)s得l的通方程為－2y－由直線：

(為數(shù)，消去參數(shù)得l普通方程為－＋＝，2111因為l與l平，所以斜率相等，即，，所＝4.224

123241－41－123241－41－答案：t7已直3

(為數(shù)和圓x＋

＝交于AB兩點則的中點坐標________．解析：直線的普通方程為y＝3x－3，代入圓的方程，得x－＋＝，設(shè)，兩的標(x，)，，)，則＋＝，∴∴

x2y2

＝，＝3－43＝－3.∴，的點標為3－3)答案：，－3)三、解答題，8．把參數(shù)方程

(為)化為普通方程，并說明它表示什么曲線．y解：法一：若x≠0，式相除得k＝.x4代入＝，整理，得xy－y＝0(≠0)．1－若＝，則＝，得＝0.顯然點0,0)在曲線x－－4＝上44又由＝＝－－，知≠－4.1－k－則方程所表示的曲線是雙曲線－－＝，掉(0，－4)．法二：由y－4－k

4，知≠－，－所以可解得k＝

y，代入xy＋

的表達式，得5

16·y416·y41－1＋21＋yy＋x＝，整理，得yx

－－＝≠4)．則方程所表示的曲線是雙曲線－－＝，去(0，－4)．4法三：∵＝兩式相減，并整理，得4·1x－＝.1－k∵－≠0

，∴

4＝＝y(tǒng)，1－即4y＝0.∴方程表示雙曲線x－－y＝，除去(0－4)9．如圖所示，經(jīng)過圓＋＝上一點P作x軸的線，垂足為，求線段PQ中軌跡的普通方程．，解：圓x＋4的參數(shù)方程在此圓上任取一點(2cosθ，2sin)，PQ的中點為M(2cosθ，sinθ，

(為)．，PQ中點軌跡的參數(shù)方程10．化下列參數(shù)方程為普通方程

x(θ為)．化成普通方程為＋＝4，(1)

(∈R且t≠1)；6

1tanθ11＋π，1tanθ11＋π，π＋，∈21＋t21＋1