同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)教案版第章不定積分

濟(jì)數(shù)教案版分IMBofficeIMB5AB-IMBKIMB】

所以x是的所以x是的原函數(shù)第

四

章

不

定

積

分教學(xué)目的：1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。3、會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學(xué)重：1、2、3、教學(xué)難：1、2、3、

不定積分的概念；不定積分的性質(zhì)及基本公式；換元積分法與分部積分法。換元積分法；分部積分法；三角函數(shù)有理式的積分。1不定的概念與性質(zhì)一原數(shù)不積的念定義1如在區(qū)間I上導(dǎo)函數(shù)F的導(dǎo)函數(shù)為即任一xI有F那么函數(shù)F稱為在間的原函數(shù)例如因?yàn)?以是的原函數(shù)又如當(dāng)x因?yàn)?/p>

(

112xx

11提問:cosx還有其它原函數(shù)嗎？2x原函數(shù)存在定理如果函數(shù)()區(qū)間I上連續(xù)那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)(x)對任一xI有F()()簡單地說就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)兩點(diǎn)說明第一如果函數(shù)f()區(qū)間I上有原函數(shù)F(么f(x就有無限多個原函數(shù)F(xC都是(x的原函數(shù)中C是任意常數(shù)第二(x的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)如果()F(x都是f()原函數(shù)則)F()C(C為某個常數(shù))定義2區(qū)間I上數(shù)(x)帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(()dx)在區(qū)間I上的不定積分記作x)

其中記號分號f()為被積函數(shù)f(x稱為被積表達(dá)式x稱為積分變量根據(jù)定義如果F(x)是(x在區(qū)間I上的一個原函數(shù)那么(x是f()不定積分即因而不定積分

f(xdx

x)()可以表示()任意一個原函數(shù)例1因?yàn)閟inx是cosx原函數(shù)所以x

11因?yàn)?/p>

是的原函數(shù)所以2x

12x

dx

例2.函數(shù)f(x)

的不定積分解：當(dāng)x>0時(lnx)>0)

當(dāng)x<0時[)]

ln(

<0)合并上面兩式得到

||

例3設(shè)曲線通過點(diǎn)(12)其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍求此曲線的方程解設(shè)所求的曲線方程為yf)按題設(shè)曲線上任一點(diǎn)(y處的切線斜率為yf(x,即(x是的個原函數(shù)因?yàn)楣时赜心硞€常數(shù)C(

2

C即曲線方程為yx

2

C因所求曲線通過點(diǎn)(12)211于是所求曲線方程為

2

1積分曲線函數(shù)f()原函數(shù)的圖形稱為f(x)積分曲線從不定積分的定義即可知下述關(guān)系

[x)]f(x)

11或

[x](x又由于F(x是(x的原函數(shù)所以(x)或記作x)(x)

由此可見微分運(yùn)算（以記號示）與求不定積分的運(yùn)算（簡稱積分運(yùn)算記號

表示）是互逆的當(dāng)記號二、基積分表

與連在一起時者抵消或抵消后差一個常數(shù)(1)

是常數(shù)(2)

(3)

|x(4)

x

dx

x

(5)

ln(6)(7)

xxdxx(8)

2x

xdxx(9)

dx2x(10)

dx2(11)

1

arcsin(12)(13)(14)(15)

xdxxxcotdx

5157223513dxdx))2e5157223513dxdx))2edx例4

2例5

2

xdx

x2

52

77

例6

x3

43

13

3x三不積的質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和())]dxdxdx

這是因?yàn)?

[)dxdx]]

f(xg().性質(zhì)2求不定積分時積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來x)dxx)dx

(是常數(shù)0)例7.

x

2

2dx

22C

例8

(x2xxx2x2x3ln||x

例9

x

3cosdx

x

例

dxdxln(2)2例

12)x2)x2)12dxdxarctanx例

x4x42

(x

2

1x

例

xdx

tanxxC

dxx)dxdxx)dx)d(3)11例

xx2

12

(xsinx)

例

1x22

dx

12

dx換元積分法一第類元設(shè)(u)原函數(shù)F()()且()微那么據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法有d[()]dF(u)F(udu[(x]d(x)[(x](xdx所以F[(xF[()](x)F()dud[(x)]因此即

[)])]))][(uC]

u()

F[(x)]定理1設(shè)f()具有原函數(shù)u(x可導(dǎo)有換元公式)]d))du()[

被積表達(dá)式中的dx當(dāng)作變量的微分來對待從而微分等式(x以應(yīng)用到被積表達(dá)式中在求積分

dx

時果函數(shù)g(x可以化為(x)f[(x)](x的形式么))])du]例1.

xx)

sin2xC例2.例3.

1x3x23dx|||2xx)

(x)1sinx1111)arctanxa1)(x)1sinx1111)arctanxa1))[][ln|x|]ln|

2例4.

(13

2

)

32

例5.

xdxxcosx即

Cxdxx|類似地可得

|sin|熟練之后變量代換就不必再寫出了例6.

12a

1)

a

dxaaa即

1x例7.

dxsha例8.a0時,

a

1

1aa

daa即

1a

arcsin例9.

111222x2x|2a2ax即

x2a

|例10.

dlnd(12lnxx)12lnx22lnx

2sin1cos2x11111xxcos2sin1cos2x11111xxcos|12lnx|例11.

3x

d3

de

含三角函數(shù)的積分例12.

xdx

x

dcosxdxcos3x例13.

x

xdx

xcos

xdx5

例14.

()2xdxx4例15.

4

xdx

2

)

2

dx(1cos2)]dx例16.

sinx432cos2cos5dx10例17.

xdxdxsinx

12sincos2

xx

ln|

ln|cscx|即xdxln|cscx|C例18.

)dx|csc(x))|2lnx即xdxlnxC

{[()]}t)[)]t)[)](){[()]}t)[)]t)[)]()1xa21111,xxa2二第類元定理2設(shè)x(t是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)并且(t)0又[()]()具有原函數(shù)F()則有換元公式)t)

(其中(x是xt)反函數(shù)這是因?yàn)閐t1dt

例19.求

2

2

dx

a>0)解:設(shè)sintdxtt于是

2

那么a222t

tdt

(tsin2)24因tarcsin

x

,

ttta

所以

a22tsint)x22a解:設(shè)sint

2

那么

tdt

(tsin2)x24a

2

2

提示:

a

a

tdt提示:

tarcsinsin2t2sintcostaaa

例20.求

x

(a>0)解法一設(shè)t

2

那么x

2

2

t1

2

t

adxa

tt于是

dx2

2

sec2tsect

lnt|C

x221x21x)x221x21x)1x2ln|因?yàn)閟ectta

所以

x

lnt|

x2aa

)ln(x

)其中CCln解法一設(shè)t

2

那么

dxa2t2t

ttantCln()xa

)其中CCln提示:

x

2

2

a

t

asectdxa

2

tdt提示:

secttana

解法二:設(shè)t那么a

x

)其中CCln提示:

x

2

2

2

2

2

achdxadt例23.求

x

a>0)解:當(dāng)x>a設(shè)t(

)那么x

2

2

a

t

sec

2

t

at于是因?yàn)閠antsecta

x

sectt2tant所以

lnt

x22

lntt|C

xa

|ln(xx

)

1111x1111x其中CCln當(dāng)xa則u>a是

)ln(a

)x

)其中CC2lna綜合起來有

x

x

|解:當(dāng)x>a設(shè)t(

)那么x

)其中CCln當(dāng)xa則u>a是

)其中CC2lna提示:

x

2

2

a

t

sec

2

t

atant提示:

tantsecta

綜合起來有

x

|補(bǔ)充公式(16)

|sin|(18)

|secxx|

arctanln|xarctanln|xxdxlnxdx(19)

xdx|csc(20)(21)

x2a1xx

|(22)

1a2

a(23)

x

x

)(24)

x

ln|x

|分部積分法設(shè)函數(shù)(x)vv()具連續(xù)導(dǎo)數(shù)么個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為uv移項(xiàng)得

()對這個等式兩邊求不定積分得

或

這個公式稱為分部積分公式分部積分過程:

例1

xsinx

xsinxcosxC例2dxxx例3

x

dx

x

x

x

dx

x2

2xex

2x

C

2x2)C例4

11222x

lnxxxln1arctanx11lnxxxln1arctanx111(xa)2[1124

例5

arccosxxarccosx

)

)arccos

例6

2

11222

arctan22例7

x

解因?yàn)?/p>

x

xdxxde

x

x

x

sinx

x

x

x

cos

x

xdx

所以

e

x

sinxdx

e

x

(sin

x)例8

xdx解因?yàn)閤x|

所以

xdx(secx|secx|)例9

I

dx(x2)

其中正整數(shù)解I

1x2a當(dāng)n1時，用分部積分法有

(x

x

)

n

(x

1

)

(x

a

)

即I

n

22n

II)nn于是

I

2a

1((2

)

nI

]以此作為遞推公式并由Iarctanaa

即可得I

例求

x

02n01m0202n01m02解令xt則dx2tdt于

x

dx

t

t

x

(xe

(第一換元法與分部積分法的比較:共同點(diǎn)是第一步都是湊微分)]dx)

令)

vdx(x)

(xv()()

哪些積分可以用分部積分法？dxxdxxdx

x

xdx

x

dx

x

dx

2

u

du

2

x

dx

2

de

x

2

x

x

dx

2

幾種特殊類型函數(shù)的積分一有函的分有理函數(shù)的形式有理函數(shù)是指由兩個多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)具有如下形式的函數(shù):P(xnnnx)xxm01

其中m都非負(fù)整數(shù)

a及bb

b都是實(shí)數(shù)并且ab當(dāng)稱這有理函數(shù)是真分式而這有理函數(shù)是假分式假分式總可以化成一個多項(xiàng)式與一個真分式之和的形式如x3xx2

13x11dx13x11dx真分式的不定積分求真分式的不定積分時如分母可因式分解則因式分解后化成部分分式再積分例1

x

解

x

xx(

)xxx

xC提示

xAB(A)x)(xx(xx3A2B36B5分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分例2

解

2x1xx

dx提示

ln(2xarctan2xxxx2xx2xx例3

1x(x

2

解

dx]x(x2(x111x(x

2

x|x提示

1xxx(2(x(x

2

1x(x(x(x2

xxxx22utan22則2u))(uxxxx22utan22則2u))(uu|)tan|ln|tandx二三函有式積三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算由各種三角函數(shù)都可以用x及cosx的有理式表示故三角函數(shù)有理式也就是sinx、x的有理式用于三角函數(shù)有理式積分的變換:把xcos表成的函數(shù)后作變換u

sinx2sin22

2tanx22cos22

1tansec2

2212

22

變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分例4

xsinx(1x

解令

sinxcos1

22

x2arctan

于是

xsinx(1x)

)122112u1221x42222解令

則x1說明:并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分例如

1

(1x)ln(1x)三簡無函的分無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去

xx例5

xx

解設(shè)

即

x

則xx例6

求

3x解設(shè)

即

x

則3(x

|例7

(1)x解設(shè)6于是5dt從而6

x

6

x)例8

1x

解設(shè)

1x

即

t

于是1xx

練習(xí)

1求2cos2解作變換ttan則有2dt1t21arctanCarctan(tan)3352求cosx

11

解

5sin4coscosxcosx

xx

d2xx3cos3x3求

x

2

3

1lnlnb1lnbx11lnlnb1lnbx1解

x

2

3

3x(2)(

74(xx

)7ln|x2|4ln|§分表的用積分的計算要比導(dǎo)數(shù)的計算來得靈活、復(fù)雜為了實(shí)用的方便往往把常用的積分公式匯集成表這種表叫做積分表求積分時可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單變形后在表內(nèi)查得所需的結(jié)果積分表一、含有的積分1

ln||ax2

dx

1a(

(3

dx(ax|)axa24

21axa3

ax)

(ax2

ln|ax|5

axxbx

6

x

1ax(axbxb2x

7

x1(2

ln|ax8

x2(ax

2

dxaxln|axa39

1xax(ax)

例求

x(3

解這是含有34積分在積分表中查得公式

x1(2

ln|ax現(xiàn)在a3于

xx29

4

222arctandx2arctanx2ln222arctandx2arctanx2ln二、含有ax的積分1bdxax3a

2axb)(3a23

a

x2

2

))

45

xx2

(axbax322)6

dxx

baxbax

b7

x2

adxaxbxx8

axx

dx

x9

dxx2x三、含xa的積分1

1a2

(x

2

)

n

n

x(x

)

n

2n2(2(x2

)

n3

lna四、含有ax

ba0)積分1

dxax

arctan

x((b2

2

ln|2a

3

2ax2

dx24

1xx(axax

ln1x1x1dx2ln(xxlnx222ln1x1x1dx2ln(xxlnx2223ln123ln5

x2

1aax

6

x3

ax22

|x

27

2

2

x1122b

五、含有axbxc(a0)積分六、含有2

a的積分1

x

xx2)2

(x2)x

3

xx22

x

2

4

(x22)x225

xx

x22

)6

x2(x2

dxln(2)3x2

)7

dx122

|

89

x2

x22

a2x2

)例求解因?yàn)?/p>

xx21x22

x)2

所以這是含有2

2

的積分這里

在積分表中查得公式

dx122

|

于是

dxx2

)222x|32|

七、含有2

a的積分

x|1x1x22ln|x2xdxx22x2xx1x|1x1x22ln|x2xdxx22x2xx1axln21

archx|x

2

|23

(x2xx

)3ax2

xx2

2

4

(x

dx