小學(xué)奧數(shù)教程：幾何中的重疊問題-全國通用(含答案)

7-7-3.何的問教學(xué)目了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應(yīng)用．知識要一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算．求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計算的元素個數(shù)，即減去交集元素個數(shù)，用式子可表示成：BA(其中號讀作“并，當(dāng)于中“和或“或的思；符“”讀作交”相當(dāng)于中且的意思．)稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如表示小圓部分，B表大圓部分，C表大圓與小圓的公共部分，記為：即陰影面積．圖示如:A表小圓部分，B表大圓部分，C表大圓與小圓的公共部分，為：，陰影面積．．先含——A重疊部分AB計了次多加了次；2．排除——B把多加了1次的重疊部分B減．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合、B的集AB的素個數(shù)，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合、的素個數(shù)，然后加起來，即先求(思是把B的切元素都“含”來，加在一)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去AB(意思是排除了復(fù)計算的元素個．二、三量重疊問題類B類與C類素個數(shù)的總元素的個數(shù)類素個數(shù)類素個數(shù)是類又是B類的元素個數(shù)是B類又是類元素個數(shù)是類是C類的元素個數(shù)同時是A類類C類元素個數(shù)．用符號表示為：BCACB．示如下：圖中小圓表示A的素的個，中圓表示的素的個數(shù)，大圓表示的素的個數(shù)．1．包含：B重疊部分AB、BCA疊了2次加次2．再排除：BABBCC重疊部分AC重疊了3次但是在進行ABBCC計算時都被減掉了．3．再包含：ACA．在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈(恩圖來幫助分析思考．例題精【】把38厘米53米兩鐵條接一鐵．知接分厘米焊后根條多長【考點】幾何中的重疊問題【度1星【型】解答【解析】因為接部分為兩根鐵的重合部分以包排除法知接這根鐵條長3853(米．【答案】87厘米【固把23米和37厘的根條接一鐵．知接分長米焊后根條多長【考點】幾何中的重疊問題【度1星【型】解答【解析】焊接分為兩根鐵條的合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長：3757厘米)．【答案】57厘米【】兩長厘米寬2厘的方紙放如所形．它在面上覆面有少方厘？【考點】幾何中的重疊問題【度1星【型】解答4厘米2厘【解析】兩個方形如圖擺放時現(xiàn)了重見圖中的)重疊部分恰好是邊長為2厘的正方形如果利用兩個4的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面長方形面積之和重疊部分．于是，被覆蓋面積(平厘)．【答案】12厘米【固如，一張厘米寬6米另個方邊為厘，們間疊的分一邊為厘的方形求個合形面．【考點】幾何中的重疊問題【度1星【型】解答86

46【解析】兩個形如圖擺放時出了重見圖中的)重疊部分恰好是邊長為厘米的方形果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長方形和正方形面積中被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長方形面積方形面積重疊部分．于是，組圖形的面積：(平方厘米)．【答案】68平方厘米【固一長形1米寬厘米另個方長10厘米寬厘米它中重的分一邊4厘米正形求個組圖的積【考點】幾何中的重疊問題【度1星【型】解答

【解析兩長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重見圖中的陰影部重疊部分恰好是邊長為4厘的正方形如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長方形面積之和重部分．于是，組合圖形的面積140(平方厘米．【答案】140平厘米【】三面均平方米圓片在面(如)三個紙共重的積1平方米個片住面總積1厘米問圖陰部面之是少【考點】幾何中的重疊問題【度2星【型】解答

C【解析】將圖的三個圓標上A、C．根據(jù)包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積A圓積圓面積圓面積與重部分面積重部分面積與C重部分面積紙共同重疊的面積重部分面積C重合部分面積與重部分面積，到AB、C三個圓兩兩重合面積之和為：100平厘米，而這個面積對應(yīng)于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即影分面積，則陰影部分面積為：60(平方厘)．【答案】30平方厘米【固如圖，知甲乙、3個圓面均，甲乙、與、甲丙合分面分為，，5而3個覆的面積．陰部的積．【考點】幾何中的重疊問題【度2星【型】解答【解析】設(shè)甲組成集合，乙圓組成集合B，圓組成集合CAC

=30，A

=6，C

=8，

，

=73而=

CAABC有

BC

AB

=2甲三的公共面積⑧部分面為那么只是甲與(④)乙與(⑥)，甲與丙⑤)公共的面積依次為，8-2=6，所以有陰影部分①、、③分之和)的面積為．【答案】58【】如，角紙、方紙、形板面相，等平厘．陰部的積和平方米張蓋的面是平方米張板疊部的積多平厘？【考點】幾何中的重疊問題【度3星【型】解答【解析】陰影分是有兩塊重疊部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三次．所以三張紙重疊部分的面積20(方厘米．【答案】20平方厘米【固如圖所，、B、C別面為12、、的三不形的片，們疊一，在外的面為38．與B、B與的公部的積別8、7，A、、C這三張片公部為求與C共分面是少【考點】幾何中的重疊問題【度3星【型】解答

【解析】設(shè)A與C公部分的面積為x由包含與排除原理可得：先包”：把圖形、B、