人教版數(shù)學必修5 § 1.1.2余弦定理的教學設(shè)計

人教版數(shù)學必修5§1.1.2余弦定理的教學設(shè)計

溫州市五十一中學俞美丹

一、教學內(nèi)容解析

余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準確量化的一個重要

定理。在初中，學生已經(jīng)學習了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大

邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則

這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量

關(guān)系。在高中階段，學生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)

現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進一步運用它們解決一些與測量和兒

何計算有關(guān)的實際問題，使學生能更深地體會數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活。

二、教學目標解析

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、

向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定

理的不同方法，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。

4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，使學生

進一步認識到數(shù)學是有用的。

三、教學問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其

他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產(chǎn)生

了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學的

重點應放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單

一，而本節(jié)的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學生經(jīng)過聯(lián)想、類比、

轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當?shù)剡x擇定理以達到

更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定

理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有

效地解題。

四、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本

節(jié)中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數(shù)值

是準確數(shù)時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結(jié)果

按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。

五、教學過程設(shè)計

1、教學基本流程：

①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來

表示第三條邊。

②余弦定理的證明：啟發(fā)學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己

探索獲得定理的證明。

③應用余弦定理解斜三角形。

2、教學情景：

①創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設(shè)

計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最

大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

【設(shè)計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學

生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體

會到數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活。

師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設(shè)計方案嘗

圖2

試解決。

學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點C(如圖2),

用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出NACB

的大小，那么4ABC的大小就可以確定了。感覺A:

似乎在AABC中已知AC、BC的長及夾角C的大

XZZ//

小，可以求AB的長了。\\<X/

其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

學生2—方案2：在島對岸可以取C、D兩點C圓0

圖3

(如圖3),用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出

圖中Nl、N2、N3、N4的大小。在4ACD中，已知NACD、NADC及CD,可以用

正弦定理求AC,同理在4BCD中，用正弦定理求出BC。那么在AABC中，已知AC、

BC及NACB,似乎可以求AB的長了。

教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象

正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？

【設(shè)計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學生的主體地位。

②求異探新，證明定理

問題2：在AABC中，ZC=90°,則用勾股定理就可以得到c2=a?+b2。

【設(shè)計意圖］引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。

師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面兒何的有關(guān)知識來研

究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學生3：在aABC中，如圖4,過C作CDJ_AB,垂足為D。

在RtZSACD中，AD=bsinZl,CD=bcosZl;\

在RtaBCD中，BD=asinZ2,CD=acosZ2;y12

c2=(AD+BD)2=b2-CD+a2-CD+2AD-BD人_________________\^B

=a2+h2-2abcosZ1?cosZ2+labsinZl-sinZ2D

=a2+/-2"cos(Nl+Z2)圖4

=a2+h2-2ahcosC

學生4：如圖5,過A作ADLBC,垂足為D。C

ZD

B

A

圖5

則：c2=AD2+BD2

=b2-CD2+(a-CD)2

^a2+b2-2a-CD

=a2+b~-2abcosC

學生5：如圖5,AD=bsinC,CD=bcosC,

.,.(?=(bsinC)2+(a-bcosC)2=a"+bJ-2abcosC

22222

類似地可以證明b?=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosCo

教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再

利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分NC為鈍角或直角

時，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點一余弦定理。

【設(shè)計意圖工首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生

的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有

其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定

理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設(shè)計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到

成功的樂趣。

學生6：如圖6,C

記AB=c,CB=a,CA=B

則］=麗=麗—瓦=￡—B

2

.,.(")2=(a-b)

—2—2——圖6

=a+b-2a-b

即=|a|2+|S|2-2p|-|S|-cosC

：.c~-a1+b'-labcosC

教師：以上的證明避免了討論NC是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單,

體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點間

的距離公式，你會有什么啟發(fā)？

【設(shè)計意圖工由向量又聯(lián)想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

學生7：如圖7,建立直角坐標系，在aABC中，AC=B丫

b,BC=a.

且A(b,0),B(acosC,asinC),C(0,0),-------斗―1

則c2=\ABf=(acosC-b)2+(asinC)2

-a2+b2-labcosC\圖,

【設(shè)計意圖】：通過以上平面兒何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定

理，更好地讓學生主動投入到整個數(shù)學學習的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，拓展學

生思維空間的深度和廣度。

③運用定理，解決問題

讓學生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型

的三角形問題。

例1：①在aABC中，已知a=2,b=3,ZC=60°,求邊c。

②在^ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求A、B、Co

【設(shè)計意圖工讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形

兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

④小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面兒何、向量、坐標等各個不同的方面

進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它

的特例。所以它很“完美”，從式子上