高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量課下層級訓(xùn)練24平面向量概念其線性運(yùn)算含解析文新人教A

課基層級訓(xùn)練(二十四)平面向量的觀點(diǎn)及其線性運(yùn)算[A級基礎(chǔ)加強(qiáng)訓(xùn)練]1．給出以下命題：①零向量的長度為零，方向是隨意的；②若a，b都是單位向量，則→→()a＝b；③向量AB與BA相等．則全部正確命題的序號是A．①B．③C．①③D．①②A[依據(jù)零向量的定義可知①正確；依據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不必定同樣，故兩個單位向量不必定相等，故②錯誤；向量→→AB與BA互為相反向量，故③錯誤．]→→)2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EB＋FC＝(→1→A．ADB．2AD1→→C．BCD．BC2→→1→→1→→1→→→A[由題意得EB＋FC＝2(AB＋CB)＋2(AC＋BC)＝2(AB＋AC)＝AD.]3．設(shè)a，b都是非零向量，以下四個條件，使ab建立的充要條件是()|a|＝|b|A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)＝2bC．∥b且||＝|b|D．∥且方向同樣aaabD[a表示a方向的單位向量，所以a＝b的充要條件是a與b同向即可．]|a||a||b|4．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)非零向量a，b知足|a＋b|＝|a－b|，則( )A．a(chǎn)⊥bB．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥bD．|a|>|b|1A[方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.a·b＝0.∴a⊥b.方法二利用向量加法的平行四邊形法例．在→→，中，設(shè)AB＝，AD＝□ABCDab由|a＋b|＝→→|a－b|知|AC|＝|DB|，進(jìn)而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]15．(2019·江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AP＝3AB，BQ1→→→＝3BC．若AB＝a，AC＝b，則PQ＝()1111A．3a＋3bB．－3a＋3b1111C．3a－3bD．－3a－3b→→→2→1→2→1→→1→1→11A[PQ＝PB＋BQ＝3AB＋3BC＝3AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b.]6．(2019·河北邯鄲月考)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝__________.1[因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－2μ)a＋(1－2μ)b＝0，因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.]→→→→→x7．(2019·遼寧大連雙基測試)在銳角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，則y＝__________.→→→→→→→→3→1→33[由題設(shè)可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝4AB＋4AC，則x＝4，21xy＝4，故y＝3.]8．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若→→→AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是__________.0，1[由題意可求得AD＝1，CD＝→→23，∴AB＝2DC，→→≤λ≤1)．∵點(diǎn)E在線段CD上，∴DE＝λDC(0→→→→→→→→→2μ→2μλ∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE，∴λ＝1，即μ＝2，∵10≤λ≤1，∴0≤μ≤2.1即μ的取值范圍是0，2.]9．如圖，在△中，，分別為，邊上的中點(diǎn)，G為上一點(diǎn)，且＝2，ABCDEBCACBEGBGE→→→→設(shè)AB＝a，AC＝b，試用a，b表示AD，AG.1→→11解AD＝2(AB＋AC)＝2a＋2b.→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)331→→1→1→113AB＋3(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b.10．設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量．2(1)→→→若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)→→→k的值．若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三點(diǎn)共線，求(1)證明由已知得，3→→→AB＝OB－OA＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，→→→－＝－2－4，BC＝OC－OB＝－3－3ababab→→→→B，故BC＝－2AB，又BC與AB有公共點(diǎn)所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)解→→→－2→AC＝AB＋BC＝3，CD＝2－.abakb因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以→→AC＝λCD，即3a－2b＝2λa－kλb，3＝2λ，3，4所以λ＝2所以4綜上，k的值為.2＝kλ，3k＝3.[B級能力提高訓(xùn)練]11．如下圖，矩形的對角線訂交于點(diǎn)，為→→→的中點(diǎn)，若DE＝λAB＋μAD(λ，ABCDOEAOμ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2＝()A．518B．45C．1D．16A→1→1→1→1→1→1→→1→3→13[DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，2224244444225故λ＋μ＝8.]12．在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且→1→1→S△BCDAD＝3AB＋2AC，則S△ABD＝()4A．1B．16312C．2D．3[如圖，由已知得，點(diǎn)D在△ABC中與AB平行的中位線上，且在湊近BC邊的三平分點(diǎn)處，進(jìn)而△ABD1△ABC△ACD1△ABC△BCD11△ABC1△ABCS△BCD132326S△ABD313．(2018·福建泉州模擬)已知點(diǎn)D為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且知足→1→4→AD＝5AB－5CA，若△ACD的面積為1，則△ABD的面積為__________.→1→4→→→→4[由AD＝5AB－5CA，得5AD＝AB＋4AC，→→→→→→所以AD－AB＝4(AC－AD)，即BD＝4DC.→→，所以點(diǎn)D在邊BC上，且|BD|＝4|DC|所以S△ABD＝4S△ACD＝4.]14．A，B，C是圓O上不一樣的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，→→→若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是__________.(1，＋∞)→→→→→→→→→[設(shè)OC＝OD，則>1，因?yàn)镺C＝λOA＋μOB，所以O(shè)D＝λOA＋μOB，即ODmmm＝λ→μ→三點(diǎn)共線，所以λ＋μ＝1，即λ＋μ＝，所以λ＋μ>1.]OA＋OB，又知，，mmABDmmm15．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且→→→OP＝mOA＋nOB(m，n∈R).若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.5證明(1)若m＋n＝1，→→→→→→則OP＝OA＋(1－)OB＝OB＋(OA－OB)，mmm→→→→，∴OP－OB＝m(OA－OB)→→→→即BP＝mBA，∴BP與BA共線．→→，∴，，B三點(diǎn)共線．又∵BP與BA有公共點(diǎn)BAP(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，