彈塑性力學第三章課件

第三章

§3-1位移和（工程）應變§3-2應變張量和轉動張量

§3-3應變張量和轉動張量的坐標變換式§3-4主應變、主應變方向、應變張量

的三個不變量§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）

3/27/20231在第二章我們研究了應力張量本身和體力、面力之間的關系式，即平衡規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個基本關系：變形與位移之間的關系。當然要以小變形假設為基礎，位移和形變相對于變形體幾何尺寸是微小的。§3-1位移和（工程）應變3/27/20232§3-1位移和（工程）應變1.1位移x2x1x3PoP

有三個分量。

P’u變形體任意點P的位移矢量3/27/20233§3-1位移和（工程）應變工程應變共有六個分量：x1x2x3P23x1x2x3Pdx1dx2dx322dx2三個正應變，正應變以伸長為正，三個剪應變，剪應變以使直角變小為正。

3/27/20235§3-2應變張量和轉動張量

應變張量和轉動張量是描述一點變形和剛體轉動的兩個非常重要的物理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關系，在討論之前，先介紹一下相對位移矢量和張量.3/27/20236x2x1x3PoP

Q§3-2應變張量和轉動張量2.1相對位移矢量和相對位移張量

——相對位移矢量

P’uu+duQ’’

P’

Q’3/27/20237§3-2應變張量和轉動張量

根據(jù)商法則

令

為一個二階張量——相對位移張量

3/27/20239§3-2應變張量和轉動張量2.2應變張量和轉動張量

相對位移張量ui,j包含了變形和剛體轉動，為了將兩者分開，對ui,j進行整理，張量分成對稱和反對稱張量之和。

或

3/27/202310§3-2應變張量和轉動張量其中

ij=ji（對稱張量），ij=-ji

（反對稱張量）

而ij

表示變形體的形變，ij

表示了剛體轉動。

3/27/202311§3-2應變張量和轉動張量相對位移

u1,1P’R’’Q’’R’Q’x1x2dx1=1dx2=1u1,2u2,1u2,2PQRu1、u2x1x2dx1=1dx2=13/27/202313§3-2應變張量和轉動張量11，12=21，22

純變形

12=-21

純轉動

12=(u1,2+u2,1)/222=u2,211=u1,121=(u2,1+u1,2)/2(+)/2+x2

x1

12=(u1,2-u2,1)/221=(u2,1-u1,2)/2x2

x1

3/27/202314§3-2應變張量和轉動張量2.3轉動張量的對偶矢量

由純剛體轉動可見，12=-21，正好相當于一個沿x3軸方向的轉動矢量，方向為，其大小3:類似可得，其它兩個坐標平面轉動矢量，3/27/202315§3-2應變張量和轉動張量比較工程應變定義和應變張量，可得：

3/27/202317§3-3應變張量和轉動張量的坐

標變換式

在xk坐標系中，已知變形體內任一點應變張量

kl和轉動張量kl，則在新笛卡爾坐標系x’i中此點應變張量’ij和’ij均可以通過二階張量的坐標轉換式求出它們。即：

3/27/202318§3-4主應變、應變方向應變張量的三

個不變量

確定一點的主應變和應變主方向方法與求主應力和應力主方向的方法完全一致，求主應變的方程分別為應變張量的三個不變量。解出1、2、3（實根）3/27/202319§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）

在本章第二節(jié)中我們討論了一點的應變張量，它包含了一點的變形信息，應變張量與位移微分關系稱為幾何方程（共六個）。如果已知變形體的位移狀態(tài)，則由這六個方程直接求出應變張量，但反之由六個獨立的任意ij求ui不行。3/27/202321§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）

因為ij僅包含形變，由其求出位移時，剛體位移是無法確定的，因此，位移無法確定。

ij

分量之間必須滿足一定的條件（方程），才能由幾何方程積分求出單值連續(xù)的位移場ui、ij的分量必須滿足的方程稱為變形協(xié)調方程或相容方程。3/27/202322§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）

變形協(xié)調方程共有六個，可由幾何方程直接導出。即：

3/27/202323§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）3/27/202325§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）3/27/202326§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）結論：應變張量

ij滿足變形協(xié)調方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的必要和充分條件。對于復連域還需附加補充條件——位移單值條件。

單連域：變形體內的任何一條封閉線當縮小時均能變?yōu)橐稽c，當不滿足時為多連域。

3/27/202329§3-5變形協(xié)調條件（相容條件）

對于多連域附加補充條件辦法為：假想通過適當截斷，使域為單連域.在截斷面ab兩側u+i=u-i即為補充條件。

abu+u-3/27/202330作業(yè)：

1.給定位移分量

u1=cx1(x2+x3)2,

u2=cx2(x1+x3)2,

u3=cx3(x1+x2)2

此處

c為一個很小的常數(shù)，求應變張量ij和轉動張量ij。2.將直角坐標系繞x3軸轉動角，求新坐標系應變分量的轉換關系。3/27/202331作業(yè)：3.假定體積不可壓縮，位移u1(x1,x2)與u2(x1,x2)很小，u3=0。在一定區(qū)域內已知

u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12),其中a、b、c為常數(shù)，且12=0，求u2(x1,x2)。4.試分析以下工程應變狀態(tài)能否存在

（1）11=k(x12+x22)

x3,22=kx22x3,33=0

12=2kx1x2x3,23=13=0

3/27/202332作業(yè)：(2)11=k(x12+x22),22=kx22

,33=0,

12=2kx1x2,