矩陣第一章線性空間與線性變換

矩陣第一章線性空間與線性變換第一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.1

線性空間定義1.1.1第二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日加法規(guī)則：第三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)乘規(guī)則：

第四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日兩條相容性規(guī)則：

第五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.1.1第九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.1.2基、坐標(biāo)定義1.1.2第十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日0)t2t2(k)t3t2(kt1k)t(Pk)t(Pk)t(Pk2322111=-++-++）（＝０＋＋解：３３２２第十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日于是Ａk＝０有非平凡解，Ｓ是線性相關(guān)向量組。第十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日。的維數(shù)，記為稱為線性空間ＶＶ的基向量，稱為（底），稱Ｓ是Ｖ的一個(gè)基n)Vdim(n,,,n21=aaaL定義1.1.3第十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日注：線性空間中的基不是唯一的。如和第十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義1.1.4第十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.1.2第十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義1.1.5第十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.1.3基變換與坐標(biāo)變換

(1)基變換第十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日上式用矩陣可以寫(xiě)成

第二十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日(1.1.9)式稱為中兩個(gè)基的變換公式。矩陣p稱為從s到s*的過(guò)渡矩陣，且

第二十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日（2)向量的坐標(biāo)變換定理1.1.3設(shè)向量在基下的坐標(biāo)是;在基下的坐標(biāo)是，；假設(shè)從到的基滿足關(guān)系式(1.1.10)，那么坐標(biāo)滿足關(guān)系式

(1.1.11)(1.1.12)即第二十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日其中第二十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.2.1線性子空間定義1.1.2設(shè)是線性空間的非空子集，如果對(duì)中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算滿足：⒈如果，則；⒉如果，則，則稱是的線性空間的子空間。1.2線性空間的子空間第二十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日易證，線性子空間也是線性空間。

和叫做線性空間的兩個(gè)平凡子空間，其它子空間叫做非平凡子空間。第二十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D1.2.1中是的兩個(gè)線性子空間，而在圖1.2.2中由于直線和平面不含原點(diǎn)所以不能形成的子空間。圖

第二十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D

第二十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日見(jiàn)下面動(dòng)畫(huà)第三十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日零子空間維數(shù)規(guī)定為零。而對(duì)于的其它的子空間，維數(shù)比原空間的維數(shù)小，即

第三十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日下面討論子空間的生成問(wèn)題設(shè)是數(shù)域上中的一個(gè)向量組，在中任取m個(gè)數(shù)，做S中向量的線性組合顯然，這樣全體的集合表示成第三十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日）（＝＝｛）Ｌ（生成的子空間，記為為由Ｖ中的向量稱

m21mm2211m21m21,,,span}kkk,,,},,,{SWaaaaaaaaaaaaLLLL+++=第三十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D1.2.3中,表示的幾個(gè)子空間。其中是的一個(gè)基。三個(gè)子空間分別可以寫(xiě)成第三十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日子空間也可以寫(xiě)成：

也可以寫(xiě)成以上類似形式。第三十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日像空間和零空間第三十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日像空間和零空間第三十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2.1設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個(gè)維子空間，是的基，則的向量一定可以擴(kuò)充為的一個(gè)基。第三十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2.2設(shè)和是線性空間的兩個(gè)子空間，則它們的交

是的子空間，稱為和的交空間.第三十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2.3設(shè)和是線性空間的兩個(gè)子空間，則它們的和是的子空間，稱為和的和空間。第四十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第四十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第四十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2.4（維數(shù)公式）設(shè)和是的兩個(gè)線性子空間，則

第四十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日推論1如果維線性空間的兩個(gè)子空間和的和空間維數(shù)小于和維數(shù)之和，那么它們的交空間一定含有非零向量，即第四十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義1.2.2

如果中任一向量只能唯一的表示成子空間的一個(gè)向量和子空間中的一個(gè)向量的和，則稱是的直和，記為

（或）第四十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2.5兩個(gè)子空間的和是直和的充要條件是：

第四十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日推論⒉設(shè)是的兩個(gè)子空間，則的充要條件是：推論2可以作為定義1.2.2的等價(jià)定義。第四十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日推論3

如果是的基；是的基,是直和,那么是的基.

第四十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.3.1線性變換定義從線性空間到線性空間的映射叫做變換

先看一個(gè)例子

1.3線性變換及其矩陣表示第五十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第五十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日注:不滿足(1)，（2）的變換不是線性變換定義1.3.1

設(shè)和是兩個(gè)線性空間，假如一個(gè)從到的變換具有以下性質(zhì)（1）

（2）稱作的一個(gè)線性變換或線性算子。特別當(dāng)=時(shí)，稱是上的線性變換。第五十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日在的線性變換中有兩個(gè)特殊的變換：如果對(duì)任意，恒有，則稱是零變換，記為，即對(duì)任意，恒有。如果對(duì)任意，恒有，則稱是恒等變換，記為，即第五十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于線性變換還有以下性質(zhì)：(1)

(2)

則(1.3.2)若線性相關(guān)，則也線性相關(guān),但逆命題不成立。第五十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日例:如下圖第五十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日

第五十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.3.2線性變換的運(yùn)算⒈線性變換的相等兩個(gè)線性變換，若對(duì)中任意向量都有則.設(shè)是的一個(gè)基，則第五十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日⒉線性變換的和

兩個(gè)線性變換，對(duì)任意一個(gè)元素，與相對(duì)應(yīng)的變換為。即

第五十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日⒊線性變換的數(shù)乘設(shè)，則與對(duì)應(yīng)的變換稱為與線性變換的數(shù)乘，記為，即

第五十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日⒋線性變換的乘積兩個(gè)線性變換,，與對(duì)應(yīng)的變換稱為與的積，記作，即

第六十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定理1.3.1設(shè)是線性空間中的兩個(gè)線性變換，則都是中的線性變換。第六十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第六十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日⒌線性變換的逆變換

如果兩個(gè)線性變換滿足，則稱互為逆變換，記作，。第六十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.3.3用矩陣表示線性變換第六十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第六十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第六十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義1.3.2第六十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日

定理1.3.2設(shè)與分別是線性變換與在基下的矩陣，則在這個(gè)基下有（1）的矩陣是；（2）的矩陣是；（3）的矩陣是；（4）若可逆，則的矩陣是.第六十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日例：第六十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日下面我們用實(shí)例來(lái)了解線性變換。第七十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日*線性變換的值域與核定義1.3.3第七十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日可以證明和分別是和的線性子空間.

稱的維數(shù)是線性變換的秩，記為；的維數(shù)稱為線性變換的零度，記為第七十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第七十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.3.4不變子空間

定義1.3.4設(shè)是線性空間上的線性變換，是的子空間，如果，稱是的不變子空間。第七十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日顯然線性空間和零空間是的不變子空間，稱為平凡子空間。第七十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.4.1內(nèi)積的定義定義1.4.1設(shè)是復(fù)數(shù)域上的線性空間，對(duì)于中的兩個(gè)任意向量，按某種法則定義一個(gè)復(fù)值函數(shù)，用表示，并且滿足以下條件：1.4歐氏空間和酉空間

⒈對(duì)稱性；⒉線性性；

3.第八十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日這時(shí)稱函數(shù)為向量的內(nèi)積或范數(shù)。稱為向量的長(zhǎng)度或范數(shù)。記作:第八十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日如果線性空間定義在實(shí)數(shù)域上，那么，關(guān)于內(nèi)積的三個(gè)條件就可以改寫(xiě)為：對(duì)稱性；線性性；

正定性第八十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為歐氏空間，定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間稱為酉空間。我們稱的實(shí)值函數(shù)為與的內(nèi)積。的范數(shù)定義為。第八十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第八十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日第八十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日單位向量：長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。向量，(1.4.4)稱為的單位向量。向量的夾角：向量夾角的余弦定義為:(1.4.5)

第八十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日可以證明不等式或(1.4.6)此式稱為Cauchy-Schwarz不等式。第八十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日由Cauchy-Schwarz不等式，可以得到以下兩個(gè)三角不等式。(1)(1.4.8)(2).(1.4.9)用表示向量之間的距離。記作(1.4.10)

第八十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日距離具有以下性質(zhì):

第八十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日1.4.2標(biāo)準(zhǔn)正交基與正交化方法

⒈4.2.1標(biāo)準(zhǔn)正交基顯然，⒈零向量與任意向量正交；

⒉只有零向量與自己正交。定義1.4.2線性空間中的兩個(gè)向量，如果其內(nèi)積則稱正交，記為。第九十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，8月28日定義1.4.3

設(shè)是線性空間中的一個(gè)向量組，如果 稱是中的正交向量組。

第九十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，2022年，