6.1.3 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用教案-2022-2023學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第4頁共4頁6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理6.1.3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用一、教學目標1、正確理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2、靈活掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.二、教學重點、難點重點：掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理難點：靈活利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決問題三、學法與教學用具1、學法：學生在老師的引導下，通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學目標.2、教學用具：多媒體設備等四、教學過程（一）創(chuàng)設情景，揭示課題【回顧】兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理一般地，完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.一般地，完成一件事有個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.分類加法計數(shù)原理針對的是“分類"問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事.分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事.【問題】計數(shù)問題是我們經常遇到的，如何利用兩個計數(shù)原理快速有效解決有關問題呢？（二）閱讀精要，研討新知【例題研討】閱讀領悟課本例7、例8（用時約為3分鐘，教師作出準確的評析.）例7計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)，一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.圖6.

1-4是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?

另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎?解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為7371在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)轱@然，178與7

371的差距是非常大的.【思考】你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎?例8通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關代號，第二部分為由阿拉伯數(shù)字和英文

字母組成的序號，如圖6.

1-5所示.其中，序號的編碼規(guī)則為：（1）由10個阿拉伯數(shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成;（2）最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機關采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放多少張汽車號牌?解：由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字.確定一個序號可以分5個步驟，每步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為100000（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.當?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法;第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為240000同樣，其余四個子類號牌也各有240

000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)一共為240

00+240

000+240

000+240000+240

000=1

200

000（3）當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.當?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序

號中的字母和數(shù)字：第1,

2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為576000同樣，其余九個子類號牌也各有576

000張.于是，這類號牌張數(shù)一共為576

00010=5

760

00.綜合(1)(2)(3)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為100

000+1

200

000+5

760

000=7

060

000【歸納】用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步聚，恰好完成任務.分步后再計算每步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).【小組互動】完成課本練習1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.【練習答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1.用十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279解：由共能組成(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有(個)，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)有(個)．故選B2.某單位有7個連在一起的車位,現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放,如果要求剩余的4個車位連在一起,則不同的停放方法的種數(shù)為()A.16 B.18 C.24 D.32解：若將7個車位從左向右按1～7進行編號,則該3輛車有4種不同的停放方法:（1）停放在1～3號車位，（2）停放在5～7號車位，（3）停放在1,2,7號車位，（4）停放在1,6,7號車位.每一種停放方法均有6種,故共有24種不同的停放方法.故選C.3.過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有()A.18對B.24對C.30對D.36對解：分類討論（1）與異面的有5條，所以與底面棱對應的有對（2）與異面的有4條，所以與側棱對應的有對（3）與異面的有5條，所以與側面對角線對應的有對以上每條直線都數(shù)兩遍，所以共有，故選D4.從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A．300種B．240種C．144種D．96種解：先從甲乙之外的4人中任選1人去巴黎，有4種，再從余下的5人中選1人去倫敦，有5種，再從余下的4人中選1人去悉尼，有4種，最后從余下的3人中選1人去莫斯科，有3種.所以不同的選擇方案共有種，故選B5.某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A.2000B.4096 C.5904 D.8320解：如1390855，后四位數(shù)字從0～9這10個數(shù)字中選取，有10000這四個數(shù)字中既不含4，也不含7，有種情況所以優(yōu)惠卡的個數(shù)為5904，故選C6.甲、乙、丙、丁四人做傳球練習，第一次由甲傳給乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的任一人，一共傳球4次，則第4次球仍然回到甲手中的方法共有（）A．21種B．24種C．27種D．42種解：符合要求的情況：分四步傳球，第三步不能在甲手中，第四步必須傳給甲.第一次，甲傳出，有3種情況，第二次，若回傳給甲，有1種情況，第三次傳給乙丙丁，有3種情況，第四次傳給甲，有1種情況，第二次，若不回傳給甲，有2種情況，第三次傳給乙丙丁中的2人，有2種情況，第四次傳給甲，有1種情況，所以第4次球仍然回到甲手中的方法共有種，故選A7.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色．現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有___________種（以數(shù)字作答）解：方法一：（以位置為主考慮）第一步涂①，有4種方法，第二步涂②，有3種方法，第三步涂③，有2種方法，第四步涂④時分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法，第五步涂⑤，有1種方法；第二類與區(qū)域②同色，有1種方法，第五步涂⑤，有2種方法，所以共有種.方法二：（以顏色為主考慮）分兩類：第一類取4色：將②④或③⑤視為一個位置計四個位置，著色方法有種；第二類取3色：將②④，③⑤看成兩個元素，著色方法有種．所以共有著色方法種．答案：72（四）歸納小結，回顧重點兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理一般地，完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.一般地，完成一件事有個步驟，