第七章 電磁波的輻射

第七章電磁波的輻射第一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.1滯后位時諧場中，電荷源ρ和電流源J之間以電流連續(xù)性方程第二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日將ρ與J聯(lián)系起來，而標(biāo)量位φ和矢量位A之間也存在一定的關(guān)系。這一關(guān)系就是洛侖茲條件，即式(5-77)：電磁場與標(biāo)量位φ和矢量位A之間的關(guān)系式為第三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.1.1亥姆霍茲積分及輻射條件求式(5-79)中的標(biāo)量位φ，并且導(dǎo)出輻射條件。格林定理中的u和w是任意標(biāo)量函數(shù)，且要求u和w以及它們的一階和二階導(dǎo)數(shù)在V內(nèi)連續(xù)。容易驗證標(biāo)量函數(shù)第四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日滿足齊次亥姆霍茲方程令格林定理中的u代表標(biāo)量位φ，即u=φ，φ滿足式(5-79)，即再令w=Ψ，且R=|r-r′|，如圖7-1所示。r是場點；r′是源點，亦即格林定理中的積分變點。(7-6)第五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-1求解式(7-6)用圖第六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日于是積分在體積V1=V-V2及其表面S1=S+S2上進行：在S2上積分時，外法線方向指向小球球心P點于是；面元dS′=a2dΩ′，dΩ′是dS′對P點所張的立體角元。這樣，第七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日令a→0，小球面S2收縮成點P?？紤]到有限，上式中的積分只剩下被積函數(shù)是φ(r′)·e-jkR/R2的一項不等于零。此時小球面S2上的φ（r′)可以用小球球心處的φ(r)代替：第八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日矢量位A的每個直角坐標(biāo)分量均可用形如上式的積分表示，于是考慮無限空間的電磁問題時，取以R為半徑的球面作為S，dS′=R2dΩ′，式(7-8)中的面積分可以寫成(7-8)(7-10)第九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日而要排除在無限遠處的場源(設(shè)無限遠處的場源為零)，就必須使上式為零。為此，要求R→∝時，在這個限制條件下，式(7-10)的第二項積分等于零，即要求在遠離場源處標(biāo)量位φ至少按R-1減少；第一項積分在滿足時也等于零。式(7-11b)稱為輻射條件。對于矢量位亦有類似條件。(7-11b)第十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.7.2滯后位標(biāo)量位φ滿足輻射條件式(7-11b)時，排除無限遠處的場源，式(7-8)中的面積分一項為零，標(biāo)量位φ(r)僅表示向外傳播的電磁波，即如果我們把k=ω/v代入上式，并重新引入時間因子ejωt，則得第十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日引入時間因子ejωt后則有第十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.2電基本振子的輻射場圖7-2電流元與短對稱振子第十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.2.1電基本振子的電磁場計算圖7-3電基本振子第十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日取短導(dǎo)線的長度為dl，橫截面積為ΔS，因為短導(dǎo)線僅占有一個很小的體積dV=dl·ΔS，故有又由于短導(dǎo)線放置在坐標(biāo)原點，dl很小，因此可取r′=0，從而有R=|r-r′|≈r。第十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日由此可解得第十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.2.2電基本振子的電磁場分析1.近區(qū)場當(dāng)kr<<1時，r<<λ/2π，即場點P與源點的距離r遠小于波長λ的區(qū)域稱為近區(qū)。在近區(qū)中，第十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日式中p=Qdl是電偶極矩的復(fù)振幅。因為已經(jīng)把載流短導(dǎo)線看成一個振蕩電偶極子，其上下兩端的電荷與電流的關(guān)系是I=jωQ。第十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日2.遠區(qū)場當(dāng)kr>>1時，r>>λ/2π，即場點P與源點距離r遠大于波長λ的區(qū)域稱為遠區(qū)。在遠區(qū)中，遠區(qū)電磁場表達式簡化為第十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日①場的方向：電場只有Eθ分量；磁場只有Hφ分量。其復(fù)坡印廷矢量為可見，E、H互相垂直，并都與傳播方向er相垂直。因此電基本振子的遠區(qū)場是橫電磁波(TEM波)。②場的相位：無論Eθ或Hφ，其空間相位因子都是-kr，即其空間相位隨離源點的距離r增大而滯后，等相位面是r為常數(shù)的球面，所以遠區(qū)輻射場是球面波。由于等相位面上任意點的E、H振幅不同，所以又是非均勻平面波。Eθ/Hφ=η是一常數(shù)，等于媒質(zhì)的波阻抗。第二十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日③場的振幅：遠區(qū)場的振幅與r成反比；與I、dl/λ成正比。值得注意，場的振幅與電長度dl/λ有關(guān)，而不是僅與幾何尺寸dl有關(guān)。④場的方向性：遠區(qū)場的振幅還正比于sinθ，在垂直于天線軸的方向(θ=90°)，輻射場最大；沿著天線軸的方向(θ=0°)，輻射場為零。這說明電基本振子的輻射具有方向性，這種方向性也是天線的一個主要特性。第二十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如果以電基本振子天線為球心，用一個半徑為r的球面把它包圍起來，那么從電基本振子天線輻射出來的電磁能量必然全部通過這個球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的積分值就是電基本振子天線輻射出來的功率Pr。因為電基本振子天線在遠區(qū)任一點的平均坡印廷矢量為第二十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日所以輻射功率為第二十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日以空氣中的波阻抗代入，可得式中I的單位為A(安培)且是復(fù)振幅值，輻射功率Pr的單位為W(瓦)，空氣中的波長λ0的單位為m(米)。第二十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日電基本振子幅射出去的電磁能量既然不能返回波源，因此對波源而言也是一種損耗。利用電路理論的概念，引入一個等效電阻。設(shè)此電阻消耗的功率等于輻射功率，則有式中Rr稱為輻射電阻。第二十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日例7-1已知電基本振子的輻射功率Pr，求遠區(qū)中任意點P(r,θ,φ)的電場強度的振幅值。解：利用遠區(qū)輻射場的電場強度振幅為第二十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日

例7-2計算長度dl=0.1λ0的電基本振子當(dāng)電流振幅值為2mA時的輻射電阻和輻射功率。解：

輻射功率為輻射電阻第二十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.3對偶原理與磁基本振子的輻射場7.3.1磁基本振子的輻射場圖7-4磁基本振子第二十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日上式的積分嚴(yán)格計算比較困難，但因r′=a<<λ，所以其中的指數(shù)因子可以近似為第二十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日該式中的m=ezπa2I=azSI是復(fù)矢量。于是有代入H=μ-1▽×A可得磁基本振子的磁場為第三十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日再由E=(jωε)-1▽×H，可得磁基本振子的電場為第三十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日磁基本振子的遠區(qū)輻射場：磁基本振子的遠區(qū)輻射場具有以下特點：①磁基本振子的輻射場也是TEM非均勻球面波。②Eφ/(-Hθ)=η。③電磁場與1/r成正比。④與電基本振子的遠區(qū)場比較，只是E、H的取向互換，遠區(qū)場的性質(zhì)相同。第三十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日輻射功率為第三十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日以空氣的波阻抗代入上式，有輻射電阻為第三十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日例7-3將周長為0.1λ0的細導(dǎo)線繞成圓環(huán)，以構(gòu)造電基本振子，求此電基本振子的輻射電阻。解：此電基本振子的輻射電阻為長度為此磁基本振子周長的電基本振子的輻射電阻遠比磁基本振子的輻射電阻大，即電基本振子的輻射能力大于磁基本振子的輻射能力。第三十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日例7-4沿z軸放置大小為為I1l1的電基本振子，在xoy平面上放置大小為I2S2的磁基本振子，它們的取向和所載電流的頻率相同，中心位于坐標(biāo)原點，求它們的輻射電場強度。

解：電基本振子和磁基本振子在空間任意點產(chǎn)生的合成輻射場為這是一橢圓極化波。當(dāng)時是右旋圓極化波。第三十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.3.2對偶原理引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷與磁流也產(chǎn)生電磁場，因此麥克斯韋方程組可修改為第三十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日上式稱為廣義麥克斯韋方程組。式中下標(biāo)m表示磁量；Jm是磁流密度，其量綱為V/m2；ρm是磁荷密度，其量綱為Wb/m3(韋伯每立方米)。式(7-32a)的等號右邊用正號，表示電流與磁場之間有右手螺旋關(guān)系。第三十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日在無界的簡單媒質(zhì)中，如果存在“電源”J、ρ，它們產(chǎn)生的電磁場用Ee、He表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為第三十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如果存在“磁源”Jm、ρm，它們產(chǎn)生的電磁場用Em、Hm表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為第四十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日

例7-5應(yīng)用對偶原理，求磁基本振子的遠區(qū)輻射場。解：引入假想的磁荷與磁流概念之后，載流細導(dǎo)線小圓環(huán)可等效為相距dl，兩端磁荷分別為+qm和-qm的磁偶極子，其磁偶極距由此可得磁基本振子的磁流其對應(yīng)的磁流復(fù)量為第四十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如果定義磁偶極子對應(yīng)的磁流元為Imdl，那么它與電流環(huán)的關(guān)系為或第四十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.4天線的電參數(shù)7.4.1輻射方向圖1.方向性函數(shù)和方向圖式中|Emax|是|E(θ，φ)|的最大值。第四十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日例7–6繪制電基本振子的方向圖。解：電基本振子的方向性函數(shù)為第四十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-5電基本振子的方向圖第四十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-6天線方向圖的波瓣第四十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日前后向抑制比：后瓣最大輻射方向上的功率密度Sa與主瓣最大輻射方向上的功率密度S0之比的對數(shù)值，稱為前后向抑制比，即第四十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日或第四十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日對于理想的無方向性天線，因其在空間各個方向上具有相同的輻射，故其輻射功率為第四十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日再考慮條件——輻射功率相同，即Pr=Pro，則若F(θ，φ)=F(θ)，即天線方向圖軸對稱(與φ無關(guān))時，則第五十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日不同天線都取理想無方向性天線作為標(biāo)準(zhǔn)進行比較，因此能比較出不同天線最大輻射的相對大小，即方向性系數(shù)能比較不同天線方向性的強弱。公式(7-39a)中，故第五十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日因此對于理想的無方向性天線，因其方向性系數(shù)D=1，故有某天線的方向性系數(shù)，表征該天線在其最大輻射方向上比起無方向性天線來說把輻射功率增大了D倍。例如為了在空間一定距離的M點產(chǎn)生一定的場強，若使用無方向性天線，需要饋給無方向性天線10W的輻射功率；但是若使用方向性系數(shù)D=10的有方向性天線，并將有方向性天線對準(zhǔn)M點，就只需1W的輻射功率。第五十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日

例7-7計算電基本振子的方向性系數(shù)。解：電基本振子的方向性函數(shù)F(θ，φ)=sinθ，故其方向性系數(shù)為第五十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.4.2輻射效率天線的輻射效率(RadiationEfficiency)表征天線能否有效地轉(zhuǎn)換能量，定義為天線的輻射功率與輸入到天線上的功率(輸入功率)之比：式中的PL表示天線的總損耗功率。通常，發(fā)射天線的損耗功率包括：天線導(dǎo)體中的熱損耗、介質(zhì)材料的損耗、天線附近物體的感應(yīng)損耗等。第五十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如果把天線向外輻射的功率看作是被某個電阻Rr所吸收，該電阻稱為輻射電阻。與此相似，也把總損耗功率看作是被某個損耗電阻RL所吸收，則有故天線的輻射效率可表示為第五十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.4.3增益系數(shù)第五十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日考慮到輻射效率的定義關(guān)系Pr=ηrPin，以及理想無方向性天線的效率ηro一般被認(rèn)為是1，故由此可見，只有當(dāng)天線的D值大，輻射效率ηr也高時，天線的增益才較高。增益系數(shù)比較全面地表征了天線的性能。通常用分貝來表示增益系數(shù)，即令第五十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日

7.4.4輸入阻抗天線與饋線相連接，欲使天線能從饋線獲得最大功率，就必須使天線和饋線良好匹配，即要使天線的輸入阻抗與饋線的特性阻抗相等。所謂天線的輸入阻抗，是指天線輸入端的高頻電壓與輸入端的高頻電流之比，可表示為第五十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.4.5極化形式天線的極化特性是以天線輻射的電磁波在最大輻射方向上電場強度矢量的空間取向來定義的，分為線極化、圓極化和橢圓極化。線極化又分為水平極化和垂直極化；圓極化又分左旋圓極化和右旋圓極化。第五十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.5對稱線天線和天線陣的概念7.5.1對稱振子天線對稱振子的電流分布和遠區(qū)場圖7-7臂長為l的對稱振子第六十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如圖7-7所示，設(shè)對稱振子沿z軸放置，振子中心位于坐標(biāo)原點，則振子上的電流分布表示式為第六十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日將dEθ從0到l對z積分，便得對稱振子的輻射場第六十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日其遠區(qū)磁場與電場的關(guān)系仍為對稱振子最常見的長度是l=λ/4，即振子全長2l=λ/2，稱為半波振子。其遠區(qū)輻射場為第六十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日2.對稱振子的電參數(shù)1)對稱振子的方向圖式中fmax是f(θ，φ)的最大值。對于半波振子，有第六十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-8對稱振子的E面方向圖第六十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日2)對稱振子的輻射功率和輻射電阻半波振子的輻射功率為第六十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日由于對稱振子天線的輻射功率與輻射電阻的關(guān)系為因此輻射電阻為此式積分可以用正弦積分和余弦積分表示，但更直接的計算是作數(shù)值積分。第六十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日半波振子的輻射電阻：第六十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.5.2天線陣的概念圖7-9N元均勻直線陣第六十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日設(shè)相鄰陣元的間距為d，各陣元上電流的振幅為1，但相位自第一個陣元起依次超前一個相角β，即式中E1、E2、…、EN分別為陣元1、2、…、N在場點所產(chǎn)生的遠區(qū)輻射場。第七十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日如果天線陣有每個陣元都相同的半波振子，式中：第七十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日此式僅當(dāng)Ψ=0時成立，所以陣函數(shù)出現(xiàn)最大值的條件為第七十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-10N元均勻直線陣第七十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日當(dāng)各個陣元的激勵電流同相時，β=0,Ψ=kdcosφ，最大輻射條件Ψ=0對應(yīng)于第七十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-11四陣元側(cè)射天線陣的方向圖第七十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-12八陣元端射式天線陣的方向圖第七十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日此式表明天線陣的最大輻射方向φm取決于相鄰陣元之間的電流相位差β。改變β，就可以改變天線陣的最大輻射方向，這就是相控陣天線的工作原理。當(dāng)β=-kd時，最大輻射方向φm=0，所以天線陣的最大輻射方向在其軸線方向上。這種均勻直線陣稱為端射式天線陣。第七十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.6面天線的輻射場1.感應(yīng)電流法這種方法是先求出天線的金屬導(dǎo)體面在初級輻射器照射下產(chǎn)生的感應(yīng)面電流分布，然后計算此電流在外部空間產(chǎn)生的輻射場。2.口面場法這種方法包括兩部分：先作一個包圍天線的封閉面，求出此封閉面上的場(稱為解內(nèi)場問題)；然后根據(jù)惠更斯原理，利用該封閉面上的場求出空間的輻射場(稱為解外場問題)。由于金屬封閉面上無電磁場，故實際上只需考慮封閉面的開口部分的輻射作用，即口面場的輻射。第七十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.6.1基爾霍夫公式惠更斯原理指出，包圍波源的閉合面(波陣面)上任一點的場均可認(rèn)為是二次波源，它們產(chǎn)生球面子波，閉合面外任一點的場可由閉合面上的場(二次波源)的疊加決定?；鶢柣舴蚬绞巧鲜鏊枷氲臄?shù)學(xué)表述。設(shè)閉合面S中的源在閉合面S上產(chǎn)生的場為ES及HS，在閉合面外任一點P產(chǎn)生的場為EP及HP，如圖7-13所示。第七十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-13惠更斯原理第八十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日式中k2=ω2με。為方便起見，取P點為坐標(biāo)原點(r=0)?，F(xiàn)引入另一標(biāo)量函數(shù)G(r)，它滿足方程標(biāo)量函數(shù)G(r)稱為標(biāo)量格林函數(shù)，其物理意義為在r=0處的點源在距源點r處產(chǎn)生的標(biāo)量場。第八十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日S0面上的面積分為第八十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日當(dāng)P點在r點處時，格林函數(shù)閉合面S外任一點r處，第八十三頁，共一百零二頁，2022年，8月28日第八十四頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-14惠更斯元7.6.2口徑面的輻射場第八十五頁，共一百零二頁，2022年，8月28日設(shè)惠更斯元上場的傳播方向為z方向，那么惠更斯元上的場可以表示為對于遠區(qū)場，第八十六頁，共一百零二頁，2022年，8月28日第八十七頁，共一百零二頁，2022年，8月28日例7-8設(shè)一無限大金屬平面位于z=0坐標(biāo)平面，其上開有口徑為2a×2b的矩形孔?，F(xiàn)在讓我們來求一均勻平面波從-z向+z方向垂直投射到這塊金屬板上通過矩形口徑時，均勻同相矩形口徑面的遠區(qū)輻射場。解：設(shè)口徑面位于z=0平面，如圖7-15所示?？趶綀龅哪骋恢苯亲鴺?biāo)分量為式中ES0是常數(shù)。第八十八頁，共一百零二頁，2022年，8月28日圖7-15均勻同相矩形口徑面的遠區(qū)輻射場第八十九頁，共一百零二頁，2022年，8月28日式中r為口徑面上(x′,y′,0)點到場點P(x,y,z)的距離：對于遠區(qū)，r0>>x′,r0>>y′，上式可以近似為第九十頁，共一百零二頁，2022年，8月28日當(dāng)r0>>a、r0>>b時，可以近似取θ≈θ′,1/r≈1/r0。如果場點采用球坐標(biāo)表示，即取x=r0sinθcosφ，y=r0sinθsinφ，那么由上式可知，均勻同相矩形口徑場的方向性函數(shù)為第九十一頁，共一百零二頁，2022年，8月28日最大輻射方向在θ=0處，此時，第九十二頁，共一百零二頁，2022年，8月28日7.7互易定理假設(shè)空間區(qū)域V1中的電流源J1產(chǎn)生的電磁場為E1和H