第一講 什么是數(shù)學(xué)建模

第一講什么是數(shù)學(xué)建模第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日由黃金分割原理，我們不妨假定，當(dāng)人的下肢和身高的比為0.618時，看起來最美。合理化假設(shè)設(shè)某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個關(guān)于x的一次方程：第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的求解解該一次方程，得：第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的檢驗以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關(guān)系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的檢驗又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應(yīng)穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日評價和應(yīng)用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學(xué)依據(jù)的，也使人聯(lián)想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當(dāng)你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。這下女生知道應(yīng)該如何選擇合適的高跟鞋了吧！第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日例2烏鴉能喝到水嗎？小學(xué)課文：一只烏鴉口渴了，到處找水喝。烏鴉看見一個瓶子，瓶子里有水?？墒瞧孔永锼欢?，瓶口又小，烏鴉喝不著水，怎么辦呢？烏鴉看見旁邊有許多小石子，想出辦法來了。烏鴉把小石子一個一個地放進瓶子里。瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了。可是，烏鴉真的能喝到水嗎？第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日顯然水的體積大于空隙的體積，烏鴉才能喝到水。因此我們可以從幾何體積計算的角度，重新認(rèn)識烏鴉喝水問題。理解問題不難想象，當(dāng)烏鴉把各種各樣的小石子扔到瓶子里時，石子之間是不可能沒有空隙的。如果石子之間的空隙較大，而瓶子里的水又較少，那么烏鴉即使將瓶子填滿也無法喝到水。那么瓶子里到底應(yīng)當(dāng)有多少水，烏鴉才能喝到水呢？第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日顯然該問題與瓶子和石子的形狀及其排列方式有關(guān)，為簡單起見我們假設(shè)：合理化假設(shè)圖1瓶子是正方體的且不考慮瓶口的體積。烏鴉投進的石子是大小相同的球體。瓶子中擺放的方法如圖1所示第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日瓶子的邊長是石子直徑的整數(shù)倍，不妨設(shè)為n倍（顯然，如果不是整數(shù)倍的話，那石子間的空隙會更大，不利于烏鴉喝到水）石頭內(nèi)部滲進的水忽略不計。合理化假設(shè)第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題一個邊長為n*a的正方體中放入n3個邊長為a的球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的求解下面我們首先證明球體的大小與球體占據(jù)正方體空間的總和無關(guān)，為此我們設(shè)瓶中僅放入一個最大的球體（假如能放入的話）如圖2所示。

圖2第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日由于圖1中有n3個小正方體，而每個小正方體與圖2的情況相同，每個小球都內(nèi)切于一個小正方體。設(shè)大立方體的體積為V，其內(nèi)切球體積為V球，小立方體的體積為Vi，小球的體積為Vi球，顯然：

由等比定理得：

第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日由此可知球的大小與所占空間總和無關(guān)，于是容易計算出球體所占空間體積與瓶子體積比為

即空隙部分的體積與瓶子體積比約為48%。這表明，按上述條件，當(dāng)瓶中的水不足瓶子容積的48%時，烏鴉將難以喝到水。第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日評價和應(yīng)用假如烏鴉聰明得很，能使石子彼此之間挨得更緊密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是計算麻煩些，讀者可舉一實例驗證之）上述計算盡管只是對特殊情況的一種粗略計算，但這也實在難為烏鴉了，不過這不能不使我們考慮這樣一個事實，在日常生活中，應(yīng)當(dāng)怎樣地充分利用空間，減少浪費，獲得更高的效益，這正是數(shù)學(xué)所需要解決的問題。第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3航行問題用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日我們用數(shù)學(xué)方法解決以上3個實際問題的過程，其實就是數(shù)學(xué)建模的過程對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)建立模型模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中建立模型用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐理論實踐第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日本課程的任務(wù)和內(nèi)容《生活中的數(shù)學(xué)智慧》用盡量簡單的數(shù)學(xué)知識，通過建立數(shù)學(xué)模型，來解決大家生活中的一些經(jīng)常碰到的實際問題，從而開拓大家善于發(fā)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)眼光和培養(yǎng)善于思考問題的數(shù)學(xué)大腦。在本課程里你將接觸到以下問題：用一定量的水，怎樣洗衣服才能洗得更干凈？外出的時候，關(guān)掉飲水機更省電嗎？剛燒開的水在室溫下過多久能喝？為什么北方人家的窗戶要用雙層玻璃？第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日怎樣分配代表席位最合理？怎樣計算每月房貸的還款數(shù)額？你有一筆錢，怎樣儲蓄可以獲得最大利益？家具怎樣才能搬進門？怎樣設(shè)計最佳的電梯運行方案？怎樣布置輸油管道最合理？怎樣讓有限的資源發(fā)揮最大的作用？怎樣減肥效果好？等諸如此類的問題。第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽為了鍛煉大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，我國每年舉辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。競賽每年九月舉行，在指定網(wǎng)站公布競賽題，參賽選手屆時通過網(wǎng)絡(luò)下載并完成題目。三人一組報名參加，72小時合作完成一個題目。共四題，本科A、B中選1題，?？艭,D中選1題。解答過程寫成論文提交。一般要用計算機軟件編寫程序計算出結(jié)果?？梢圆殚唸D書及網(wǎng)絡(luò)等資料，但要保證自己的獨創(chuàng)性，不能與他人雷同。第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日我院從2006年開始參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，共獲得江蘇省賽區(qū)一等獎1項，二等獎2項，三等獎3項。2006年劉萬里、胡育、仇唐兵省二等獎2007年仇唐兵、李兆兵、萬麗娜省三等獎2008年萬麗娜、潘才林、許磊省二等獎2008年馮士霞、祁金花、趙日亮省三等獎2009年王宏之、繆振中、皋乾省三等獎2010年周潔、鐘陽陽、陳榮榮省一等獎《生活中的數(shù)學(xué)智慧》成績優(yōu)秀者，可參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日題目：四月是菠蘿上市的季節(jié)，大家都知道，吃菠蘿前要削皮去籽。削皮去籽的方法有多種，有些人從菠蘿上部削到下部，有些人從左往右一圈一圈地削，水果店的人一般是斜著削，削完后菠蘿上留下的是一條條螺線，這是一個很有藝術(shù)性的刨削過程。你認(rèn)為哪種削菠蘿的方法最好，能否從數(shù)學(xué)角度證明你的結(jié)論？請寫出你的結(jié)論，并盡量詳細(xì)地將自己的思考過程以及問題解答過程書寫下來。數(shù)學(xué)建模水平測試第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日各位同學(xué)，本次調(diào)查是匿名的，不作為課程成績的依據(jù)，下面各題沒有對錯之分，請你根據(jù)自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的真實情況，選擇合適的選項，謝謝你的配合。1．你認(rèn)為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)很重要嗎?（）A.非常重要B.比較重要C.一般D.學(xué)不學(xué)無所謂2．你認(rèn)為數(shù)學(xué)與你的日常生活聯(lián)系有多大?（）A．密切相關(guān)B．比較密切C．一般D.沒聯(lián)系3.你認(rèn)為數(shù)學(xué)與專業(yè)課有多大聯(lián)系?（）A．密切相關(guān)B.比較密切C.一般D.沒聯(lián)系4．你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是什么?（）A．探索知識，充實自己B．掌握專業(yè)知識，謀求就業(yè)發(fā)展C．將來繼續(xù)深造有用D．毫無目的,應(yīng)付考試而已數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況調(diào)查第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日5.我認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)對我來說：（）A.很有價值B．價值一般C．價值很小D．毫無價值6.你認(rèn)為可以用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識解決實際問題嗎?（）A.非常同意B.同意C.有點同意D.不同意7.你曾經(jīng)用過數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識解決實際問題嗎?（）A.經(jīng)常B.多次C.偶爾D.從沒有8.你覺得學(xué)了數(shù)學(xué)的收獲有多大?（）A.很大B.比較大C.有一點收獲D.沒收獲9．我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中成敗的經(jīng)驗情況（）A．成功多B．失敗多C．兩者差不多D．不知道10．我認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)方面的成敗主要取決于（）A．自身努力程度B．學(xué)習(xí)任務(wù)的難度C．學(xué)校教育質(zhì)量D．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日11．我認(rèn)為數(shù)學(xué)教材對我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的驅(qū)動作用A．顯然存在B.存在但不顯然C.不存在D．不確定12．我認(rèn)為促使我探究數(shù)學(xué)的主要原因是（）A．愛好B．興趣C.好奇D．與原有知識矛盾13．我的數(shù)學(xué)老師對學(xué)生：（）A．很關(guān)心，呵護B．比較關(guān)心C．一點點關(guān)心D．漠然14．我的數(shù)學(xué)老師主導(dǎo)情緒狀態(tài)是：（）A．熱情、投入B．平靜溫和C．冷漠不悅D．易怒生氣15．我對我的數(shù)學(xué)老師是：（）A．尊敬愛戴B．敬畏C．感情平平D．憎恨討厭第三十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日16．我在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一般情緒狀態(tài)為：（）A．快樂感興趣B