第七章非線性系統分析

第七章非線性系統分析第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、典型非線性特性特征：當輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。輸入輸出放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。1、飽和特性飽和特性對系統性能的影響（1）使系統開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應的平穩(wěn)性有利。（2）使系統的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日飽和非線性對系統的影響：飽和非線性使系統在大信號作用下的等效增益下降，嚴重的可以使系統喪失閉環(huán)控制作用。

第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當輸入信號在零位附近變化時，系統沒有輸出。當輸入信號大于某一數值時才有輸出，且與輸入呈線性關。各類液壓閥的正重疊量；系統的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調節(jié)器和執(zhí)行機構的死區(qū)；彈簧預緊力；等等。死區(qū)特性對系統性能的影響：（1）增大了系統的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。（2）減小了系統的開環(huán)增益，提高了系統的平穩(wěn)性，減弱動態(tài)響應的振蕩傾向第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入4、繼電器特性理想繼電器

具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數學表達式第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日繼電器特性對系統性能的影響可利用繼電控制實現快速跟蹤。帶死區(qū)的繼電特性，將會增加系統的定位誤差，對其他動態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果.第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日6.2描述函數一、描述函數的定義

（1）描述函數的基本概念設非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號，其輸出一般為非周期正弦信號，可以展開為傅氏級數

若非線性環(huán)節(jié)輸入輸出的靜態(tài)特性曲線是奇對稱的，即，于是輸出中將不會出現直流分量，從而。式中：第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日若線性部分的具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近似認為閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，即隨著n的增大，諧波分量的頻率越高，其幅值、越小。可以近似認為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有基波分量，即式中：

（2）描述函數的定義類似線性系統中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復數之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數，用來表示。顯然，時，為復數。第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日（3）描述函數的應用條件①非線性系統的結構圖可以簡化為只有一個非線性環(huán)節(jié)N和一個線性環(huán)節(jié)串聯的閉環(huán)結構。②非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關系是奇對稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出中不包含直流分量。③系統的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。二、描述函數的求法描述函數求解的一般步驟是：①首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的數學表達式。②利用傅氏級數求出的基波分量。③將基波分量代入描述函數定義，即可求得相應的描述函數。第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數

1飽和非線性：飽和特性的描述函數為第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日2死區(qū)非線性死區(qū)特性的描述函數為：

第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日3滯環(huán)特性

滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的描述函數為

其中第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日4繼電特性

繼電特性的描述函數為

(1)．單值繼電特性單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日非繼電特性的描述函數為

(2)．非單值繼電特性非單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日典型非線性特性的描述函數理想繼電器特性的描述函數傅氏展開斜對稱、奇函數A0=An=0第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日非線性增益I非線性增益II第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、組合非線性特性的描述函數復雜非線性特性的描述函數求解，常?？梢苑纸鉃榛具B接形式的簡單描述函數，然后再按照連接方式，求出組合非線性特性的描述函數。同樣，簡單非線性基本連接形式有串聯、并聯。（1）非線性特性的并聯計算設輸入為，則兩個非線性環(huán)節(jié)的基波分量分別為輸入信號乘以各自的描述函數，即總的基波分量為

總的描述函數為第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日（2）非線性環(huán)節(jié)的串聯

兩個非線性環(huán)節(jié)相串聯，串聯后總的非線性特性的描述函數并不等于個串聯環(huán)節(jié)描述函數的乘積。而是應該先求出這兩個串聯非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個等效非線性特性的描述函數。[例1]如下圖兩個非線性特性相串聯由串聯后的等效非線性特性，對照表7-1的死區(qū)加飽和非線性特性，可見，第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日于是，等效非線性特性的描述函數為第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日6.3非線性系統的描述函數法

通過描述函數，一個非線性環(huán)節(jié)就可以看作是一個線性環(huán)節(jié)，而非線性系統就近似成了線性系統，于是就可進一步應用線性系統的頻率法對系統進行分析。這種利用描述函數對非線性系統分析的方法稱為描述函數法。但這種方法一般只能用于分析系統的穩(wěn)定性和自振蕩。

一、非線性系統的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統結構中，非線性部分N可以用描述函數表示，線性部分則用頻率特性表示。由閉環(huán)系統的結構圖，可得到系統的閉環(huán)頻率特性如下：第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日其閉環(huán)特征方程為

從而有上式稱為非線性特性的負倒描述函數。

對比在線性系統分析中，應用奈氏判據當滿足G(jω)＝-1時，系統是臨界穩(wěn)定的，即系統是等幅振蕩狀態(tài)。顯然-1/N(A)相當于線性系統的（-1，j0）點。區(qū)別在于，線性系統的臨界狀態(tài)是（-1，j0）點，而非線性系統的臨界狀態(tài)是-1/N(A)曲線。第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日非線性系統的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據)若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負倒描述函數（描述函數負倒特性)線性系統(-1,j0)?第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日利用奈氏判據判別非線性系統穩(wěn)定的方法：首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數N(A)，然后在極坐標圖上分別畫出線性部分的G(jω)和非線性部分的-1/N(A)曲線，并假設G(s)的極點均在s左半平面，則(1)若曲線G(jω)不包圍曲線-1/N(A)，則非線性系統是穩(wěn)定的；(2)若曲線G(jω)包圍曲線-1/N(A)，則非線性系統是不穩(wěn)定的；(3)若曲線G(jω)與曲線-1/N(A)相交，則在理論上產生等幅振蕩，或稱為自振蕩第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、自激振蕩的分析與計算

由上述分析可知，當線性部分的頻率特性與負倒描述函數曲線相交時，非線性系統產生自激振蕩。下面進一步分析自激振蕩的條件和自激振蕩的穩(wěn)定性。①自激振蕩條件設非線性部分的輸入函數為第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日由描述函數的定義可知，非線性環(huán)節(jié)的輸出信號基波分量為

而線性部分的輸出信號為若假設系統存在自激振蕩，此時應有，故結構圖應該變?yōu)榧从?/p>

于是這是自激振蕩的條件，把條件中幅值條件和相角條件綜合起來，就是第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日②自激振蕩的穩(wěn)定性自激振蕩的穩(wěn)定性指，當非線性系統受到擾動作用而偏離原來的周期運動狀態(tài)，當擾動消失后，系統能夠回到原來的等幅振蕩狀態(tài)的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。如右圖所示，線性部分的頻率特性與負倒描述函數曲線有兩個相交點、，這說明系統有兩個自激振蕩點。對于點，若受到擾動使幅值A增大，則工作點將由點移至a點。由于a點不被包圍，系統是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅A自動減小，工作點將沿曲線又回到點。反之亦然。所以點是穩(wěn)定的自激振蕩。同理，點是不穩(wěn)定的自激振蕩。

第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復平面自激振蕩附近，當按幅值A增大的方向沿曲線移動時，若系統從不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當按幅值A增大的方向沿曲線移動是從穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。③自激振蕩的計算對于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率是確定并且是可以測量的，具體的計算方法是：振幅可由曲線的自變量A來確定，振蕩頻率由曲線的自變量來確定。[例2]具有理想繼電器特性的非線性系統如下所示，其中線性部分的傳遞函數為，試確定自激振蕩的幅值和頻率。第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：繼電器非線性的描述函數為負倒描述函數為當時，，當時，，因此當時，曲線為整個負實軸。線性部分的頻率特性為畫出和曲線如下圖，由圖可知，兩曲線在負實軸上有一個交點，且該自激振蕩點是穩(wěn)定的。令，即求得自激振蕩頻率。將代入的實部，得到第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日由即有于是求得自激振蕩的幅值為自激振蕩頻率為第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日試求：①當K＝10時，該系統是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當K為何值時，系統處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數a=1、k=2非線性分析舉例2第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日相交于穩(wěn)定自振交點mA＝a時A∞時負倒描述函數軌跡為實軸上（-0.5，-∞)。第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日a/A=0.24A=4.38A=4.38非線性飽和特性參數a=1、k=2穩(wěn)定自振交點m:第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日臨界狀態(tài)下，軌跡在負實軸上的交點nK=3第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、非線性特性的應用非線性阻尼控制

非線性因素對線性系統的性能會帶來不利的影響，如有目的的引入非線性環(huán)節(jié)，可使系統性能大幅度提高，甚至達純到線性系統無法實現的效果第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日非線性阻尼下的階躍響應未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日①試分析系統穩(wěn)定性；②如果系統出現自持振蕩，如何消除之？K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。三、改善非線性系統性能舉例第三十九