第七章平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

第七章平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共82頁(yè)。第七章平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法當(dāng)前2頁(yè)，總共82頁(yè)。7.1概述

時(shí)間序列取自某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則稱：

一、平穩(wěn)時(shí)間序列過(guò)程是平穩(wěn)的——隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化而變化過(guò)程是非平穩(wěn)的——隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化而變化當(dāng)前3頁(yè)，總共82頁(yè)。

寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：設(shè)時(shí)間序列，對(duì)于任意的t,k和m，滿足：

則稱寬平穩(wěn)。

嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：

所有的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化當(dāng)前4頁(yè)，總共82頁(yè)。Box-Jenkins基本思想：用數(shù)學(xué)模型描述時(shí)間序列自身的相關(guān)性，并假定這種自相關(guān)性一直延續(xù)，用該模型預(yù)測(cè)未來(lái)的值。ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機(jī)序列的最常用的一種模型。Box-Jenkins方法提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，以及對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法。當(dāng)前5頁(yè)，總共82頁(yè)。ARMA模型的三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive）；移動(dòng)平均模型（MA：Moving-Average）；混合模型（ARMA：Auto-regressiveMoving-Average）。當(dāng)前6頁(yè)，總共82頁(yè)。

如果時(shí)間序列滿足其中是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且滿足：

則稱時(shí)間序列服從p階自回歸模型。

二、自回歸模型當(dāng)前7頁(yè)，總共82頁(yè)。滯后算子多項(xiàng)式

的根均在單位圓外，即

的根大于1。

自回歸模型的平穩(wěn)條件：當(dāng)前8頁(yè)，總共82頁(yè)。

例1AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對(duì)1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xt的方差由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有

||<1。

當(dāng)前9頁(yè)，總共82頁(yè)。

而AR(1)的特征方程的根為z=1/

AR(1)穩(wěn)定，即||<1，意味著特征根大于1。

對(duì)高階自回模型AR(p)來(lái)說(shuō)，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來(lái)檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性：

(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：

1+2++p<1

(2)由于i(i=1,2,p)可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是：

|1|+|2|++|p|<1

當(dāng)前10頁(yè)，總共82頁(yè)。

如果時(shí)間序列滿足則稱時(shí)間序列服從q階移動(dòng)平均模型。

或者記為。

三、移動(dòng)平均模型MA(q)

，平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。

當(dāng)前11頁(yè)，總共82頁(yè)。

對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)：

Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q

其中t是一個(gè)白噪聲，于是MA(q)模型的平穩(wěn)性

當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。

當(dāng)前12頁(yè)，總共82頁(yè)。通常希望AR過(guò)程與ＭＡ過(guò)程能相互表出，即過(guò)程可逆。如移動(dòng)平均模型MA(１)：可逆條件：

的根均在單位圓外可逆條件：

當(dāng)前13頁(yè)，總共82頁(yè)。

四、ARMA(p,q)模型如果時(shí)間序列

滿足則稱時(shí)間序列服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型。

或者記為：平穩(wěn)條件：的根均在單位圓外可逆條件：的根均在單位圓外當(dāng)前14頁(yè)，總共82頁(yè)。

將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（autoregressivemovingaverage）過(guò)程ARMA（

該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程生成，即該序列可以由其自身的過(guò)去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。當(dāng)前15頁(yè)，總共82頁(yè)。例題分析

設(shè)，其中A與B為兩個(gè)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量，方差為1；為一常數(shù)。試證明：寬平穩(wěn)。當(dāng)前16頁(yè)，總共82頁(yè)。證明：均值為0，只與t－s有關(guān)，所以寬平穩(wěn)。當(dāng)前17頁(yè)，總共82頁(yè)。

建立時(shí)間序列模型，首先應(yīng)判斷時(shí)間序列的特性，判斷是否滿足建模條件。Ｂ—Ｊ法建模主要解決兩個(gè)問(wèn)題：（１）分析時(shí)間序列的隨機(jī)性，平穩(wěn)性和季節(jié)性（２）找出生成它的合適的隨機(jī)過(guò)程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過(guò)程、還是遵循一純MA過(guò)程或ARMA過(guò)程。

所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF

）。7.2時(shí)間序列的自相關(guān)分析

當(dāng)前18頁(yè)，總共82頁(yè)。自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方法，它簡(jiǎn)單易行,較為直觀，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初步地識(shí)別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關(guān)分析法可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。一、自相關(guān)分析當(dāng)前19頁(yè)，總共82頁(yè)。（1）自相關(guān)函數(shù)的定義

滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為：

則自相關(guān)函數(shù)為：

其中：

當(dāng)前20頁(yè)，總共82頁(yè)。

當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫為：

（2）樣本自相關(guān)函數(shù)其中：

當(dāng)前21頁(yè)，總共82頁(yè)。

樣本自相關(guān)函數(shù)可以說(shuō)明不同時(shí)期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在－1到

1之間，值越接近于1，說(shuō)明時(shí)間序列的自相關(guān)程度越高。當(dāng)前22頁(yè)，總共82頁(yè)。（3）樣本的偏自相關(guān)函數(shù)在給定了的條件下，與滯后k期時(shí)間序列之間的條件相關(guān)。換句話說(shuō)：偏自相關(guān)是對(duì)之間未被所解釋的相關(guān)度量。

從ｙt中去掉ｙt-1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t，顯然它與ｙt-2無(wú)關(guān)，因此我們說(shuō)ｙt與ｙt-2的偏自相關(guān)系數(shù)為零。

在AR(1)中，

同樣地，在AR(p)過(guò)程中，對(duì)所有的k>p，Ｙt與Ｙt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。當(dāng)前23頁(yè)，總共82頁(yè)。樣本的偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算當(dāng)前24頁(yè)，總共82頁(yè)。其中：

當(dāng)前25頁(yè)，總共82頁(yè)。

1、時(shí)間序列的隨機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則：

若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入

置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性；若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外，

則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。時(shí)間序列特性分析注：在B-J方法中，測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性，多用于模型殘差，以評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣。當(dāng)前26頁(yè)，總共82頁(yè)。2、判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是：

若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時(shí)都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時(shí)間序列不具有平穩(wěn)性。當(dāng)前27頁(yè)，總共82頁(yè)。

注：在B-J方法中，只有平穩(wěn)的時(shí)間序列才能建立ARMA模型，否則必須經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚硎剐蛄袧M足平穩(wěn)性要求。例對(duì)某種趨勢(shì)的時(shí)間序列進(jìn)行差分處理。但很多序列不能通過(guò)差分達(dá)到平穩(wěn)，而且差分雖然消除了序列的趨勢(shì)易于建模，但也消除了序列的長(zhǎng)期特征，實(shí)際的經(jīng)濟(jì)序列差分一般不超過(guò)兩次。當(dāng)前28頁(yè)，總共82頁(yè)。

3、時(shí)間序列的季節(jié)性判定準(zhǔn)則：

月度數(shù)據(jù)，考察k=12,24,36,…時(shí)的自相關(guān)系數(shù)是否與0有顯著差異；季度數(shù)據(jù)，考察k=4,8,12,…時(shí)的自相關(guān)系數(shù)是否與0有顯著差異。注1：實(shí)際問(wèn)題中常遇到季節(jié)性和趨勢(shì)性同時(shí)存在的情況，應(yīng)先剔除序列趨勢(shì)性，在識(shí)別季節(jié)性。注2：包含季節(jié)性的時(shí)間序列也不能直接建模，應(yīng)先進(jìn)行季節(jié)差分消除，季節(jié)差分一般不超過(guò)一階。當(dāng)前29頁(yè)，總共82頁(yè)。三、ARMA模型的自相關(guān)分析

AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自相關(guān)函數(shù)拖尾；

MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾；

（可用以上兩個(gè)性質(zhì)來(lái)識(shí)別AR和MA模型的階數(shù)）

ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的。當(dāng)前30頁(yè)，總共82頁(yè)。

圖

ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式ACFPACF

模型1：

tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1當(dāng)前31頁(yè)，總共82頁(yè)。當(dāng)前32頁(yè)，總共82頁(yè)。當(dāng)前33頁(yè)，總共82頁(yè)。7.4ARMA模型的建模

一、模型階數(shù)的確定

（1）基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法

對(duì)于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)。如果樣本的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，模型為AR(p)；如果樣本的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，模型為MA(q)；

如果樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，模型為ARMA(p,q)。當(dāng)前34頁(yè)，總共82頁(yè)。（1）自相關(guān)函數(shù)的截尾性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：對(duì)于每一個(gè)q,計(jì)算

….（M取為或者），

對(duì)于MA(q)模型，當(dāng)k>q時(shí)，

考察其中滿足

的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%以上。

當(dāng)前35頁(yè)，總共82頁(yè)。（2）偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：對(duì)于每一個(gè)p,計(jì)算

（M取為或者），

對(duì)于AR(p)模型，當(dāng)k>p時(shí)，

考察其中滿足

的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%以上。

當(dāng)前36頁(yè)，總共82頁(yè)。

如果對(duì)于序列

和截尾，即不存在上述的

來(lái)說(shuō)，均不和判定平穩(wěn)時(shí)間序列

，則可以為ARMA模型。

當(dāng)前37頁(yè)，總共82頁(yè)。一般地，對(duì)ARMA模型

它們均值為0，可遞推得到殘量估計(jì)現(xiàn)作假設(shè)檢驗(yàn)：是來(lái)自白噪聲的樣本

令（3）殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)：（Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)）當(dāng)前38頁(yè)，總共82頁(yè)。其中取左右。

則當(dāng)成立時(shí)，服從的分布。

對(duì)給定的顯著性水平，若，則拒絕，即模型與原隨機(jī)序列之間擬合得不好，，則認(rèn)為模型與原隨機(jī)序列之間擬合需重新考慮得較好，模型檢驗(yàn)被通過(guò)。建模；若自由度為注：上機(jī)操作時(shí)，一般看Q統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的相伴概率當(dāng)前39頁(yè)，總共82頁(yè)。(1)用AR（1）擬合時(shí)間序列，考察其殘差樣本的自相關(guān)函數(shù)

是否q1步截尾，則模型為ARMA(1,q1),否則；(2)用AR（2）擬合時(shí)間序列，考察其殘差樣本的自相關(guān)函數(shù)是否q2步截尾，則模型為ARMA(1,q2)，否則；(3)繼續(xù)增大p，重復(fù)上述做法，直至殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)截尾為止（4）Tasy和TiaoARMA模型定階法當(dāng)前40頁(yè)，總共82頁(yè)。1950年-1998年北京城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例選擇合適的ARMA模型擬合可以考慮擬合模型為AR(1),ARMA(1,3)當(dāng)前41頁(yè)，總共82頁(yè)。連續(xù)讀取70個(gè)化學(xué)反應(yīng)數(shù)據(jù)可以嘗試使用AR(1)，MA(1)和ARMA(1,1)模型擬合該序列當(dāng)前42頁(yè)，總共82頁(yè)。（2）基于F

檢驗(yàn)確定階數(shù)（3）利用信息準(zhǔn)則法定階（AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則）此外，常用的方法還有：當(dāng)前43頁(yè)，總共82頁(yè)。1967年，瑞典控制論專家K.J.Astr?m教授將F檢驗(yàn)準(zhǔn)則用于對(duì)時(shí)間序列模型的定階。原理(模型階數(shù)簡(jiǎn)約原則parsimonyprinciple)：設(shè)yt(1≤t≤n)是零均值平穩(wěn)序列，用模型AR模型擬合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：結(jié)論若F>Fα，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為AR(p)合適；若F<Fα，則接受原假設(shè)，認(rèn)為AR(p-1)合適。AR(p)模型定階的F準(zhǔn)則當(dāng)前44頁(yè)，總共82頁(yè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：結(jié)論若F>Fα

，則拒絕原假設(shè)，模型階數(shù)仍有上升的可能；若F<Fα

，則接受原假設(shè)，認(rèn)為ARMA(p-1,q-1)合適。ARMA(p,q)模型定階的F準(zhǔn)則當(dāng)前45頁(yè)，總共82頁(yè)。另外一個(gè)遇到的問(wèn)題是，在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過(guò)識(shí)別檢驗(yàn)。顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低了自由度。因此，對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，存在著模型的“?jiǎn)潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。信息準(zhǔn)則法當(dāng)前46頁(yè)，總共82頁(yè)。AIC準(zhǔn)則背景：AIC準(zhǔn)則是日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家赤池Akaike于1973年提出的，全稱為最小信息量準(zhǔn)則，或AIC準(zhǔn)則(Akaikeinformationcriterion)。該準(zhǔn)則既考慮擬合模型對(duì)原始數(shù)據(jù)的接近程度，也考慮模型中所含待定參數(shù)的個(gè)數(shù)，適用于ARMA模型的檢驗(yàn)。當(dāng)前47頁(yè)，總共82頁(yè)。AIC準(zhǔn)則確定模型的階數(shù)AIC定階準(zhǔn)則：是模型的未知參數(shù)的總數(shù)是用某種方法得到的方差的估計(jì)為樣本大小，則定義AIC準(zhǔn)則函數(shù)

用AIC準(zhǔn)則定階是指在的一定變化范圍內(nèi)，尋求使得最小的點(diǎn)作為的估計(jì)。

AR（）模型：ARMA模型：當(dāng)前48頁(yè)，總共82頁(yè)。BIC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則是樣本容量N的線性函數(shù)，在N→∞時(shí)不收斂于真實(shí)模型，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)要多，是過(guò)相容的。為了彌補(bǔ)AIC準(zhǔn)則的不足，Akaike于1976年提出BIC準(zhǔn)則，而Schwartz在1978年根據(jù)Bayes理論也得出同樣的判別標(biāo)準(zhǔn)，稱為SBC準(zhǔn)則。理論上已證明，SBC準(zhǔn)則是最優(yōu)模型的真實(shí)階數(shù)的相合估計(jì)。當(dāng)前49頁(yè)，總共82頁(yè)。⒈AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)

在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到

利用k=-k，得到如下方程組：

此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，

二、模型的參數(shù)估計(jì)

AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計(jì)當(dāng)前50頁(yè)，總共82頁(yè)。特例：一階自回歸模型AR(1)：

二階自回歸模型AR(2)：

當(dāng)前51頁(yè)，總共82頁(yè)。MA(q)模型參數(shù)估計(jì)

特例：一階移動(dòng)平均模型MA(1)：二階移動(dòng)平均模型MA(2)：

可以用直接法或迭代法求解。

當(dāng)前52頁(yè)，總共82頁(yè)。

ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)

由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，參數(shù)估計(jì)比較困難，有幾種方法可以進(jìn)行。一般利用統(tǒng)計(jì)分析軟件包完成。

（2）精估計(jì)ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計(jì)，一般采用極大似然估計(jì)，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，無(wú)法直接給出參數(shù)的極大似然估計(jì)，只能通過(guò)迭代方法來(lái)完成，這時(shí)，迭代初值常常利用初估計(jì)得到的值。當(dāng)前53頁(yè)，總共82頁(yè)。用公式表示如下：

三、ARMA(p,q)序列預(yù)報(bào)

當(dāng)前54頁(yè)，總共82頁(yè)。當(dāng)前55頁(yè)，總共82頁(yè)。用條件期望進(jìn)行預(yù)測(cè)1.AR(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)yt適合如下AR(1)模型:(1)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式(L=1)當(dāng)前56頁(yè)，總共82頁(yè)。(2)向前二步預(yù)測(cè)公式(L=2)(3)向前L步預(yù)測(cè)公式(L≥2)當(dāng)前57頁(yè)，總共82頁(yè)。2、MA(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)(1)向前一步預(yù)測(cè)(L=1)(2)向前二步預(yù)測(cè)(L=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(L≥2)當(dāng)前58頁(yè)，總共82頁(yè)。3、ARMA(1,1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)(1)向前一步預(yù)測(cè)(L=1)(2)向前二步預(yù)測(cè)(L=2)當(dāng)前59頁(yè)，總共82頁(yè)。可見，當(dāng)L>1時(shí)，ARMA(1,1)預(yù)測(cè)值也是由如下差分方程決定的。(3)向前L步預(yù)測(cè)公式(L≥2)當(dāng)前60頁(yè)，總共82頁(yè)。

三、預(yù)測(cè)誤差

當(dāng)前61頁(yè)，總共82頁(yè)。由于預(yù)測(cè)只能建立在到t時(shí)刻為止的可用信息的基礎(chǔ)上，因此，根據(jù)最小均方誤預(yù)測(cè)的第二個(gè)準(zhǔn)則，以及平穩(wěn)可逆序列可以表示成傳遞函數(shù)形式的論斷，可以將預(yù)測(cè)值表示成能夠估計(jì)的項(xiàng)εt，εt-1，……，的加權(quán)和的形式：當(dāng)前62頁(yè)，總共82頁(yè)。由上得以t為原點(diǎn)，向前L步的預(yù)測(cè)誤差為：由于εt是白噪聲，故有：當(dāng)前63頁(yè)，總共82頁(yè)。誤差方差為：當(dāng)前64頁(yè)，總共82頁(yè)。注：預(yù)測(cè)誤差的估算是Ф1，…Фp算和Θ1，…Θq估計(jì)都為正確的假設(shè)，實(shí)際中參數(shù)通過(guò)估計(jì)得到的，且估計(jì)量是隨機(jī)變量，有均值和方差，因而實(shí)際誤差大于理論估計(jì)誤差。當(dāng)前65頁(yè)，總共82頁(yè)。五、預(yù)測(cè)誤差的置信區(qū)間對(duì)于正態(tài)過(guò)程，預(yù)測(cè)誤差的分布為：所以：對(duì)yt+l預(yù)測(cè)的95%的置信區(qū)間為：因此：當(dāng)前66頁(yè)，總共82頁(yè)。設(shè)為一AR(2)序列，其中求的自協(xié)方差函數(shù)。?例1解答：Yule-Walker方程為：且：聯(lián)合上面三個(gè)方程，解出：當(dāng)前67頁(yè)，總共82頁(yè)。?例2考慮如下AR(2)序列：若已知觀測(cè)值

（1）試預(yù)報(bào)（2）給出（1）預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間。,當(dāng)前68頁(yè)，總共82頁(yè)。解答：（1）（2）預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間分別為：當(dāng)前69頁(yè)，總共82頁(yè)。7.3單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)

一、平穩(wěn)性的檢驗(yàn)引言：前面我們討論的是平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)方法，即所討論的時(shí)間序列都是寬平穩(wěn)的。一個(gè)寬平穩(wěn)的時(shí)間序列的均值和方差都是常數(shù)，并且它的協(xié)方差有時(shí)間上的不變性。但是許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域產(chǎn)生的時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的。呈現(xiàn)出明顯得趨勢(shì)性和周期性，序列不平穩(wěn)，導(dǎo)致預(yù)測(cè)無(wú)效，產(chǎn)生謬誤回歸等問(wèn)題。當(dāng)前70頁(yè)，總共82頁(yè)。1、通過(guò)時(shí)間序列的趨勢(shì)圖來(lái)判斷這種方法通過(guò)觀察時(shí)間序列的趨勢(shì)圖來(lái)判斷時(shí)間序列是否存在趨勢(shì)性或周期性。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)便、直觀。對(duì)于那些明顯為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以采用這種方法。缺點(diǎn)：對(duì)于一般的時(shí)間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來(lái)。當(dāng)前71頁(yè)，總共82頁(yè)。2、通過(guò)自相關(guān)函數(shù)(ACF)判斷平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我們可以根據(jù)這個(gè)特性來(lái)判斷時(shí)間序列是否為平穩(wěn)序列。若時(shí)間序列具有上升或下降的趨勢(shì)，那么對(duì)于所有短時(shí)滯來(lái)說(shuō)，自相關(guān)系數(shù)大且為正，而且隨著時(shí)滯k的增加而緩慢地下降。當(dāng)前72頁(yè)，總共82頁(yè)。若序列無(wú)趨勢(shì)，但是具有季節(jié)性，那末對(duì)于按月采集的數(shù)據(jù)，時(shí)滯12，24，36……的自相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大