2005年全國入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二真題及答案

一、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置y1sinxx【答案】

解析：方法一：y1sinxxexln(1sinx)yexln(1sinx)[ln(1sinx)x

cosx]從

=y()dx

1sinlnyxln(1sinxx1yln(1sinx)y

xcos，1sin于是y1sinxx[ln(1sinxx

cos1sin

=y()dx3(1x)x曲線y xyx32k

3f(x)lim(1

xx

xblimf(x)kxx

(1x)2x

3yx

321x1 1x0(2x24xsint1 1

(2x(2x2)1x

2 0(22

t)=0

d1cos2

2

tx21t2xdxtdt11

0

1 (2x2)1 11t201t2arctan(2x2)1微分方程xy2yxlnx滿足y(1)1的解 9y

xlnx1 y2ylnxx

y

2dx

[lnx

dxC]

[x2lnxdx =1xlnx

xC1xy(11得C0y1xlnx11xarcsin1xarcsincosx0(x)kx2與(x) 3

是等價(jià)無窮小，則41xarcsinx cos1xarcsinx cosx0

=

xarcsinx1cos

=1kx2(1kx2(1xarcsinx cosx

xarcsinx1cosx 1cos

arcsin 32k 3k 4

)

(1)設(shè)1,2,3均為3維列向量，記A(1,2,3)

(1

3,12

93)如果A1，那么B 【答案】B(1

3,12

93=(1,

,

3B

A

3129B123,12243,132123,133,22[3]

====123,233,2123,2

[2]

====21,2A

1B2n1xn1x（C）

f(x在(,內(nèi)（（D）x1n

nn1xnnn1xnn1xn1n1

1x1f(x)nn

1nxn1xn2nxn1xn2x命n

xf(x)lim

3n1)nxxf(x)x3

xxf(x的不可導(dǎo)點(diǎn).x1f(x不可導(dǎo)，故應(yīng)選F(xf(x的一個(gè)原函數(shù)，MNMN則必有（F(x是偶函數(shù)

f(x)F(x是奇函數(shù)

f(x)

F(x是周期函數(shù)

f(x)

F(x是單調(diào)函數(shù)

f(x)解析：方法一：F(x)xf(t)dtCF(x)0F(xF(x)F(xF(x1)F(x

ff(x)

f(x)xf(x)f(xf(xf(x為奇函數(shù)，則x

f(t)dtxF(x)x

f(t)dtC為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng)方法二：

f(x)1則取F(x)x1排除(B)、

f(xx，則取F(x1x2排除(D);故應(yīng)選2xt2yy(x由參數(shù)方程yln(1

yy(xx3x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

ln23 8

ln238

8ln23

8ln23x3時(shí)，有t22t3，得t1t3（y無意義，于是yy(xx3處的切線斜率為12t1

t yln28(x3)1y=0x8

ln23故應(yīng)Dxyx2y24x0y0}f(xDa f f(x) f(f(x) f(D

d（（A）ab （B）ab （C）(ab) （D）ab f f(x) f(f(x) f(D f(x) f(x) f(f(x) f(2D

d f f(y) ff(y) f

f( f(y) ff(y) f=abdab122ab

應(yīng)選 x設(shè)函數(shù)u(xy)(xy(xyxy(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，x

x

.y

y

.x解析：因?yàn)閡(xy(xy(xy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy) (x

y)(x

y)(x

y)(x

y)2u(xy)(xy)

2u

y)可見有x y2，應(yīng)選x設(shè)函數(shù)f(x) x

則（ex11x0x1f(xx0x1f(xx0f(xx1f(xx0f(xx1f(xf(xx0x1且limf(x)x0limf(x)0limf(x)1x1為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選 12是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12線性無關(guān)的充分必要條件是（（A）10 （B）20 （C）10 （D）20解析：方法一：

k11k2A(120，k11k211k2220，因12，故1,2線性無關(guān)，于是有k1k21

(k1k21)1k2220kk 2

當(dāng)20k10k20，此時(shí)1A(12若1，A(1220（否則，1A(1211線性相關(guān)，由于[A(

][

，

1 2

2

2由12，知1,2線性無關(guān)，從而1A(12

0.故應(yīng)選An（n2）A12B,A*B*A,B的伴隨矩陣，則（（A）交換A*的第1列與第2列得B* （B）交換A*的第1行與第2行得B*（C）交換A*的第1列與第2列得B* （D）交換A*的第1行與第2行得B*解析：E12（n12行所得使

AB，于是

B*

A)*

A*

1 ，即A B*可見應(yīng)選AE12E12行交換后得到的互換初等陣ABE12A

AA0B

(E12

A1EA1

A,B1ABBA BABBA

AEBA

（15（xxf(xf(0)0，求極限lim0(xtf(t)dtxx0xxt0x

x0f(xx則x

f(xt)dt

f(u)(du)

f(u)du xxlim0(xt)f(t)dtlimx0f(t)dt0tfxx

x0f(x

x0fx=limx

f(t)dtxf(x)xfx

x=limx

0f

0f(u)duxf

0

f(u)duxf1xf原式= x

1f(x) fx1 x

xf x

f(t)dtx1

洛limf(xf代入（2）得原式 22：F(xf(xxlim0f(t)dtlimF(x)-F(0)F(0)fx

1

x代入（2）得原式 2（16（C和Cy1(1exyex的圖象，過點(diǎn)（0,1） 曲線C3是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過C2上任一點(diǎn)M(x,y分別作垂直于xy軸的直線lx和ly.記C1C2與lx所圍圖形的面積為S1(x；C2C3與lyS2y如果總有S1(x)S2y，求曲線C3xy).C3在C1的左側(cè)，由題設(shè)S1(xS2yS(x)x[et1(1et)]dt1(exx1) y

S2(y)1(lnt(t))dt1(exx1)y(lnt(t))dt yex1ylny1)y(lnt2y

2

1)lny(y)yxy)lny

y1.2（17（如圖，曲線C的方程為y=f（x，點(diǎn)（3,2）是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線l1l2分別是曲線C在點(diǎn)（0,0）與（3,2）處的切線，其交點(diǎn)為（2,4）.設(shè)函f（x）具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分3(x2xf0l1的方程為y2xf(0)2.直線l2y2(xf(32,f(30.(因?yàn)辄c(diǎn)(32)yf(x的拐點(diǎn)3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f

33f(x)(2x =3(2x1)df(x)(2x1)f0=162[f(3)f(0)]

33020f33（18（xcost(0t化簡(jiǎn)微分方程(1x2yxyy0

2xcost(0tdxsinxydydt dyy

dtdy

sint[costdy

d2

]

1)

sin2t

dt

d2dt

y01x其特征方程為r211x

iyC1cost

sin

y

cost

sintC1x

2代入，有C2C1. （19（

y2x

1x2

1xf(x在[0，1]上連續(xù)，在（0,1）f(00,f(11（I）存在0,1),f(1（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn),0,1f(f(解析：（I）令F(x)f(x1xF(x)在[01]F(0)10F(110,于是由介值定理知，存在0,1),F(0f(1（II）在[0,和[,1上對(duì)f(x)0,),,1f(f(f(0)f(f(1f( 1于 f()f()f()1f()1 1 1（20（zf(xydz2xdx2ydyf(1,12.求f(xy2D{(x,y)x224

解析：由dz2xdx2ydy易知zf(xx2y2Cf(1,12知，C2zf(xx2y22 求z在x 1中的駐點(diǎn).4 x2x0，y2y2得駐點(diǎn)(00)zf(00)22zf(xy

2

2Dx2

y=1上的情況，有兩個(gè)方法.y24(1x2zzf(x)x2y22=5x22

1x

zx0x0y2

x0,y2還要考慮1x1x1y0z2z2z3

x1,y02minz2（x0y2maxz3（x0y22

2

2Dx2

F(x,y,)x

2

2x224

1F(x,y,)

f(x,y)(x2242

1)F

2x2(1)x

Ffy2y1y F

14z(0,2)2,z(0,2)2,z(1,0)3,z(1,0)再與z(0,0)2（21（x2y21dDxy0x1,0yDDx2y210為以O(shè)1D如圖為D1D2 (x,y)x2y21 1 (x,y)1x2y21d=(x2y21)dxdy(x2y2 (x2y21)dxdy (x2y21111111[(x21)(x20

111

(1-x2)2 1[(x22)2(1x2)2]dx1x2dx12dx21(1x2)2 2

0 323231342 2cos4tdt 3

(1x2y2)dxdy2d(1r2)rdr2

)d

=2d(r21)rdr(x2y21)dxdy(x2y2

+dx(x2y21)dy2d(r21)rdr (x2y21)d(x2y21)d(x2y2 因此x2y21d(1x2y2d(x2y2 (1x2y2)d+(x2y21)d(x2y2 2(1x2y2)d+(x2y2

(1x2y2)dxdy2d(1r2)rdr2

)d

1 而(xD

1)d0dy0(x

1)dx0[

(

1)x]01

0[3

1]dy0(

)dy

y] 所以xD

1d （22（11,1a)T,22a,4)T,32aa)T線性表示，但向量組123不能由向量組1,2,3線性表示.解析方法A(1,2,3),B(12,3)由于12,3不能由1,2,3線性表出，rA)3（若rA)3，則任何三維向量都可以由1,2,3線性表出 Aa

1(2

a 0(2a)(a

a 從而得a1a2a1時(shí)，

顯然

,

線性表出但2,1,4]T不能由

,線性表出，故 a1符合題意

a2時(shí)

A]A] 11111

0rA2r(B23.BX2無解，故2123這和題設(shè)，故a2不合題意.因此a1.方法2：對(duì)矩陣A(1231,2,3)作初等行變換，A(1,

,

1,

)=

1 1 a0 a a a 00 4 01 1

a

a

a，a1 0