第四章動(dòng)量守恒

第四章動(dòng)量守恒第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2

引言

動(dòng)力學(xué)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

力的瞬時(shí)效果力的位置函數(shù)牛頓定律適用質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系存在困難；引進(jìn)新概念和物理量該量新規(guī)律

？關(guān)系

三大定理與守恒定律（普遍定理）①動(dòng)力學(xué)普遍定理及守恒律（動(dòng)量定理、能量定理、角動(dòng)量定理）：建立了表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)特征的量（動(dòng)量、能量、角動(dòng)量）和表現(xiàn)力作用效果的量（沖量、功、沖量矩）之間的關(guān)系；②普遍定理及守恒律應(yīng)用：解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不僅運(yùn)算簡(jiǎn)單，而且各個(gè)量都具有明確的物理意義，便于深入研究范圍更廣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3§⒈動(dòng)量與動(dòng)量定理

動(dòng)量是描述一定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下物體“運(yùn)動(dòng)量”的概念，比速度更能全面、確切地反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為狀態(tài)量。牛頓第二定律作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。一、動(dòng)量定義動(dòng)量：

牛頓定律表明，力的瞬時(shí)效應(yīng)是受力物體獲得加速度，而任何運(yùn)動(dòng)必定經(jīng)歷空間和時(shí)間。因此，應(yīng)用牛頓定律于質(zhì)點(diǎn)組，研究力作用的時(shí)間累積效應(yīng)與空間累積效應(yīng)，從中尋求某些規(guī)律，便成為動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)一步向前發(fā)展的一個(gè)方向。第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日4二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理由動(dòng)量定理微分形式定義dJ=Fdt為力的元沖量，則沖量J為力對(duì)時(shí)間的積分動(dòng)量定理積分形式

動(dòng)量定理常用于碰撞過(guò)程,在碰撞、打擊瞬間用平均沖力概念第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日5三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理1.對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)(如圖)內(nèi)力：外力：12考慮牛頓笫三定律，(1)+(2)得:質(zhì)點(diǎn)1質(zhì)點(diǎn)2第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6

2.對(duì)多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理——作用于系統(tǒng)的合外力在一段時(shí)間內(nèi)的總沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。設(shè)質(zhì)點(diǎn)組由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理，有對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理表式求和，則有由于所有內(nèi)力的矢量和為零，即第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日7(2)系統(tǒng)內(nèi)力不改變系統(tǒng)總動(dòng)量，但可使系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化；

(1)只有外力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量的增量有貢獻(xiàn)；

說(shuō)明：⑶動(dòng)量定理與牛頓定律的關(guān)系：

①對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，牛頓定律表示的是力的瞬時(shí)效應(yīng)，而動(dòng)量定理表示的是力對(duì)時(shí)間的積累效果；②牛頓定律只適用于質(zhì)點(diǎn)，不能直接用于質(zhì)點(diǎn)系，而動(dòng)量定理可適用于質(zhì)點(diǎn)系；③牛頓定律和動(dòng)量定理都只適用于慣性系，要在非慣性系中應(yīng)用動(dòng)量定理，必須考慮慣性力的沖量。在無(wú)限小的時(shí)間間隔內(nèi)：

.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日8例題4.1、如圖，小球m自由落體h距離，能將重物M提升到多少高度?解：設(shè)繩子為柔軟鋼絲繩，全過(guò)程分為三段分析：⑴軟繩由松到緊，M不動(dòng)，小球自由下落，獲得末速度⑵軟繩被繃緊，在此瞬間m,M均受到繩子張力T的作用，達(dá)到同一末速度V。MmhmM第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日9解出：根據(jù)動(dòng)量定理有⑶m、M一同運(yùn)動(dòng)，位移H，應(yīng)用勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式以及第二定律，有第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日10分析：這是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量問(wèn)題，可用體系動(dòng)量定理求解。例題4.2、柔軟鏈條自桌上小孔自由下落，求下落速度與落下距離之間關(guān)系。根據(jù)Fex=dP/dt得yOy解：如圖，建立坐標(biāo)系,令線密度λ,則在某時(shí)刻第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日11兩端同乘以y：兩端積分：得：yOy第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日124.3、長(zhǎng)為l，線密度為ρ的柔軟繩索，原先兩端A、B并合一起，懸掛在支點(diǎn)上，現(xiàn)讓B端支點(diǎn)自由下落，求當(dāng)B端下落了x時(shí)，支點(diǎn)上所受的力？解：整條繩索作為體系，受到重力（向下）和支點(diǎn)的拉力（向上）兩個(gè)外力作用。在合力作用下，體系的動(dòng)量不斷變化。體系的動(dòng)量也就是右半部分繩索的動(dòng)量。由于右半部分（未成為左半部分）的運(yùn)動(dòng)不受左半部分影響，并作自由落體運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明：（1）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理可用來(lái)直接用于牛頓定律所不能解決的問(wèn)題；（2）后面再?gòu)牧硪唤嵌葋?lái)討論這個(gè)問(wèn)題。第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日13§2.

質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律一、質(zhì)心質(zhì)心位置及其求法：

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系而言存在一個(gè)特殊點(diǎn)c，滿足是該特殊點(diǎn)的加速度，c稱為質(zhì)心①兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的體系從總體反映質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的宏觀特點(diǎn)，需要引入質(zhì)心概念,并討論質(zhì)心運(yùn)動(dòng)具有的若干獨(dú)特的規(guī)律。第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日14

可見(jiàn)質(zhì)心位矢是質(zhì)點(diǎn)位矢的帶權(quán)平均值，這個(gè)“權(quán)”與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分布位置有關(guān)。由此得②n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)分量形式第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日15對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體，其質(zhì)心位矢由上式推廣得分量形式為③若一個(gè)物體由A、B兩部分組成，依質(zhì)心xyz方向表達(dá)式分別改寫(xiě)為第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日16同樣Y、Z方向質(zhì)心位置分別為質(zhì)心的性質(zhì)只有在體系的運(yùn)動(dòng)與外力的關(guān)系中才體現(xiàn)出來(lái)。因此，質(zhì)心并不是一個(gè)幾何學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念，而是一個(gè)動(dòng)力學(xué)概念。第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日17例題4.3

求半徑為a的均質(zhì)半圓球的質(zhì)心.解：如圖，以球心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.將半球體劃分為若干半徑為r厚為dz的薄圓平板狀體積元dV.而xzO設(shè)，則第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日18例題4.4

如圖，在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板，大小圓板相切，求余下部分的質(zhì)心。解：選擇如圖坐標(biāo)系，考慮對(duì)稱性，余下部分質(zhì)心的y坐標(biāo)為零，僅需求x坐標(biāo)大圓板質(zhì)量為，質(zhì)心坐標(biāo)為xc=0小圓板質(zhì)量為，質(zhì)心坐標(biāo)為x1c=R/2余下的質(zhì)量為，質(zhì)心坐標(biāo)用x2c

表示，則Oxy第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日19二、體系動(dòng)量定理與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理引入質(zhì)心概念，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量則可表示為體系動(dòng)量定理可寫(xiě)成上述結(jié)論亦稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，其微分形式第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日20

(3)不論體系如何復(fù)雜，體系質(zhì)心的行為與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相同。從這個(gè)意義上說(shuō)，牛頓定律所描繪的不是體系中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。而質(zhì)心的存在，正是任意物體在一定條件下可以看成質(zhì)點(diǎn)的物理基礎(chǔ)；幾點(diǎn)說(shuō)明:

(2)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明牛頓定律具有一種獨(dú)特的性質(zhì)，即如果它在某一小尺度范圍內(nèi)是正確的，那么在大尺度范圍內(nèi)也將是正確的；(1)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理實(shí)際上是矢量方程，可以寫(xiě)成三個(gè)分量方程，運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性同樣成立；(4)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和牛頓三定律的適用范圍相同。第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日21

②物體相對(duì)固定參照系的運(yùn)動(dòng)可分解為它相對(duì)質(zhì)心系的運(yùn)動(dòng)與質(zhì)心系相對(duì)固定參照系的運(yùn)動(dòng)；③質(zhì)心坐標(biāo)系在討論質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問(wèn)題中十分有用。說(shuō)明：①對(duì)于孤立體系或所受外力的矢量和為零的體系：其質(zhì)心坐標(biāo)系為慣性系.對(duì)于受外力作用的體系，則是非慣性系；三、質(zhì)心坐標(biāo)系？質(zhì)心坐標(biāo)系：把原點(diǎn)取在質(zhì)心上，坐標(biāo)軸的方向始終與某固定參照系（慣性系）的坐標(biāo)軸保持平行的平動(dòng)坐標(biāo)系。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日22例4.5

一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，其下端剛與地面接觸。此時(shí)放開(kāi)繩子，從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始下落。已知繩子質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l，求下落到所剩長(zhǎng)度為z時(shí)，地面對(duì)這段繩子的作用力。解：解法一（質(zhì)心法）把繩子看作一質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)繩子下落到剩長(zhǎng)度為z時(shí)，所以其質(zhì)心高度和速度分別為

所謂完全柔軟的繩子,指的是繩子上端的下落速度v=dz/dt與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由下落的速度相同，即zOz第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日23由此可得質(zhì)心加速度為

設(shè)地板對(duì)上段繩子的作用力為F，對(duì)整根繩子應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，則有第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日24忽略二級(jí)小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長(zhǎng)度為-vdt，可得加上已經(jīng)落地的一段繩子所受到的支持力，總的作用力為

繩子上端的下落速度為，而緊靠地面的質(zhì)元dm與地面相碰時(shí)其動(dòng)量由vdm變?yōu)榱?。故若設(shè)該質(zhì)元受到的支持力為F1，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有解法二：（動(dòng)量法）第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日25§3.動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量守恒定律由體系動(dòng)量定理若Fex=

0,則幾點(diǎn)說(shuō)明：①內(nèi)力對(duì)體系的動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)，但內(nèi)力對(duì)體系動(dòng)量的具體分配有重要作用。當(dāng)體系所受外力矢量和為零時(shí),但由于內(nèi)力作用，可以有第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日26④動(dòng)量守恒定律雖可由牛頓定律導(dǎo)出，但它比牛頓定律的適用范圍更廣；尤其是微觀領(lǐng)域的某些過(guò)程中，牛頓定律也許不成立，但動(dòng)量守恒定律仍然成立。②動(dòng)量守恒是矢量式，它有三個(gè)分量，各分量可以分別守恒；

③在某些過(guò)程（如爆炸、碰撞）中，體系雖受外力，但外力有限，過(guò)程時(shí)間很短，外力沖量很?。欢溟g內(nèi)力很大，體系內(nèi)每一部分的動(dòng)量變化主要來(lái)自內(nèi)力的沖量，外力的沖量可忽略不計(jì)，故可以利用動(dòng)量守恒定律研究體系內(nèi)部各部分間的動(dòng)量再分配問(wèn)題。第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日27炮身反沖運(yùn)動(dòng)4.7、設(shè)炮車以仰角α發(fā)射炮彈，M（炮身），m（炮彈），炮彈在出口處相對(duì)炮身的速率為v’，試求炮身的反沖速度，設(shè)地面摩擦力可略。解：炮身和炮彈體系，在豎直方向受到重力和地面支承力的作用，在開(kāi)炮瞬間，兩者的大小并不相等（支承力可很大），但在水平方向（取為x）不受外力的作用，故水平方向體系的動(dòng)量守恒。由于炮彈的速度是相對(duì)炮身，須將利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式化為相對(duì)地面。ymxαMα討論：相對(duì)同一慣性系（相對(duì)地面或取反沖結(jié)束后炮身）。思考題：①試用反沖結(jié)束后炮身作為參考系來(lái)重解該題。是否可以在整個(gè)過(guò)程中均取炮身（而不是反沖結(jié)束后炮身）為參考系解題？為什么？②只要開(kāi)炮的時(shí)間很短，體系在豎直方向的動(dòng)量也應(yīng)守恒。你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日28例4.8質(zhì)量為M=500kg、長(zhǎng)為4m的木船浮在靜止水面上，一質(zhì)量為m=50kg的人站在船尾。此人以時(shí)快時(shí)慢的不規(guī)則速率從船尾走到船頭，問(wèn)船相對(duì)岸移動(dòng)了多少距離?設(shè)船與水之間的摩擦忽略。分析：由于體系原來(lái)靜止，沒(méi)有外力作用，質(zhì)心加速度為零，質(zhì)心在水平方向的位置保持不變,故宜用質(zhì)心概念求解。解：解法一（質(zhì)心法）取x軸沿水平方向，取原來(lái)船的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以人的行走方向?yàn)閤正方向。人在船尾時(shí)，體系質(zhì)心的坐標(biāo)xc為L(zhǎng)x0y第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日29

當(dāng)人走到船頭后，設(shè)船的中心坐標(biāo)為x，則體系質(zhì)心坐標(biāo)為

質(zhì)心水平位置不變，即xc’=xc，故0xLx0故船相對(duì)岸移動(dòng)了4/11m。第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日30再設(shè)u為人對(duì)船的速度，則

如圖，人在t0~t時(shí)間內(nèi)從船的一端走到另一端，距離為L(zhǎng),人和船對(duì)岸的移動(dòng)距離分別為x1、x2

，則可寫(xiě)出下面三個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式解法二（動(dòng)量守恒法）在水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，故

其中v1、v2分別為某時(shí)刻人和船對(duì)岸的速度。Lx第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日31由式（1）得v2，并代入式（2），得第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日32?變質(zhì)量:是指體系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷與外界交換質(zhì)量。對(duì)這樣體系的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析思路：①可分解為一系列元過(guò)程；②在元過(guò)程中，其組成是確定的，質(zhì)量是不變的，體系動(dòng)量變化服從體系動(dòng)量定理；③由此即可導(dǎo)出主體的運(yùn)動(dòng)方程。一、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)§4.變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻t+⊿t時(shí)刻第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日33這就是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)（即主體）運(yùn)動(dòng)方程。（變質(zhì)量動(dòng)量定理）令，則，上式取極限得

如圖，在t時(shí)刻，主體m與附體⊿m是分離的；經(jīng)過(guò)⊿t時(shí)間，附體并入主體。于是，由體系的動(dòng)量定理，有第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日34幾點(diǎn)說(shuō)明：⑴方程中外力，附體對(duì)主體的作用力為。當(dāng)u=v時(shí)，方程形式上與牛頓第二定律一樣，但注意m是變量。⑵當(dāng)u=0時(shí)，方程變?yōu)棰巧鲜绞窃诘那闆r下導(dǎo)出，但當(dāng)時(shí)，結(jié)論仍然正確。第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日35例4.9

試以變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)重新求解例4.3。解：因?yàn)橐笾c(diǎn)上的拉力Fr，取左半部分的繩索為主體較方便。以豎直向下為x正方向，在B端下落x的瞬時(shí)，主體速度為0。因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)右部分繩索下落u，其中只有一半充入左半部分，另一部分仍在右半部分（使右部分下端降低）。作用在體系上的外力為：

于是由主體運(yùn)動(dòng)方程：第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日36

二、火箭飛行原理M

設(shè)火箭噴出的氣體相對(duì)速度u-v沿火箭軌道切向，且為一常量vr；①火箭飛行中不受外力作用；②火箭起始質(zhì)量為M,燃料燒盡后質(zhì)量為m。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，有由于是一維運(yùn)動(dòng)，，且與v的方向相反，得第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日37注意：上式中dm<0,dv>0,積分得通常M/m≈6,vr≈2000-3000m.s-1,故vf至多可達(dá)4000-5000m.s-1。

要提高vf

,可用多級(jí)火箭。對(duì)于二級(jí)火箭vf可達(dá)

實(shí)際發(fā)射火箭還將克服地球引力的影響和空氣阻力的影響，情況要復(fù)雜得多。第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日38例4.10

雨滴開(kāi)始自由下落時(shí)質(zhì)量為m0,在下落的過(guò)程中,單位時(shí)間凝聚的水汽質(zhì)量為k,忽略空氣阻力,求雨滴經(jīng)時(shí)間t下落的距離。解：設(shè)水汽附著于水滴前的速度u=0，依題意可得：利用初始條件：t=0時(shí)，v=0

，由該方程可解得：對(duì)上式積分，并利用初始條件：t=0時(shí)，x=0，得：

附：由原方程可得：第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題1、有N個(gè)人站在鐵路上靜止的平板車上，每人的質(zhì)量為m，平板車的質(zhì)量為M。他們以相對(duì)于平板車的速度u跳離平板車的某端，平板車無(wú)摩擦地沿相反方向滑動(dòng)。則（A）若所有的人同時(shí)跳車，（B）若一個(gè)一個(gè)地跳離，平板車的最終速度是多少？2、第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日40本章基本要求⒈進(jìn)一步掌握動(dòng)量和沖量的概念及動(dòng)量定理，特別是它們的矢量性；⒉進(jìn)一步掌握動(dòng)量守恒定律解決問(wèn)題的思路和