第四章復變函數(shù)的級數(shù)表示

第四章復變函數(shù)的級數(shù)表示1第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日1、復數(shù)列的極限§1復數(shù)項級數(shù)定義1不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.2第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日定理1證明3第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日4第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、復數(shù)項級數(shù)級數(shù)前n項的和---級數(shù)的部分和---無窮級數(shù)定義2設復數(shù)列定義35第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日根據(jù)復數(shù)項級數(shù)收斂的定義，我們有定理2由定理2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題.6第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日常見實級數(shù)斂散性判別法：1）比較法；2）比值法；3）根值法；4）交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法.注意：定理3的逆命題不成立！定理3注意經(jīng)常應用定理3的逆否命題！性質(zhì)7第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日定理4證明定理5由不等式*，我們得到8第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日定義49第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日解例210第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日11第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日§2冪級數(shù)1、函數(shù)項級數(shù)定義1設復變函數(shù)列：-----稱為復變函數(shù)項級數(shù)；級數(shù)前n項的和-----級數(shù)的部分和；12第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、冪級數(shù)定義2的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).13第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日關于冪級數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：定理1(----Abel定理）.,,)0(000級數(shù)必絕對收斂的

則對滿足收斂在⑴若級數(shù)zzzzzzcnnn<1=?￥=.,,00級數(shù)必發(fā)散的則對滿足發(fā)散⑵若級數(shù)在zzzzz>=14第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日級數(shù)皆收斂且絕對收斂.級數(shù)皆發(fā)散.z0收斂點0.xyz0發(fā)散點0.yx15第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日證明16第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日(2)用反證法，對于冪級數(shù)（1），請寫出相應的阿貝爾定理.17第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、冪級數(shù)的收斂圓與收斂半徑由Abel定理，冪級數(shù)（3）的收斂情況不外乎下述三種情況：(1)對所有的z，級數(shù)(3)都收斂.(2

)僅在z=0處級數(shù)(3)收斂.

這時，級數(shù)(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散.18第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日顯然，<.否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散.:定理，在圓周由.)3(:)3(發(fā)散數(shù)外，級在圓周收斂；內(nèi)，級數(shù)baba==zczcAbel19第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日故20第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散.請分析冪級數(shù)(2)的收斂范圍.如何求冪級數(shù)的收斂半徑呢?我們先討論下面的一個定理:21第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日22第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日23第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例1解所以24第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

綜上思考題:提示:本題不能直接利用定理3（為什么？）.25第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑：解(1)26第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日27第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日4、冪級數(shù)的性質(zhì)

定理4---冪級數(shù)的逐項求導運算

實際上，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項求導至任意階導數(shù).28第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日---冪級數(shù)的逐項積分運算注：定理4為今后將函數(shù)展開成冪級數(shù)提供了極大的方便.29第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日5、冪級數(shù)的運算與實冪級數(shù)一樣，復冪級數(shù)也可以進行代數(shù)運算.

---冪級數(shù)的加、減運算則30第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日---冪級數(shù)的乘法運算（即用第一個冪級數(shù)的每一項乘第二個級數(shù)，然后合并同次冪系數(shù).）注：上面的運算在兩個級數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立.但這并不意味著運算后級數(shù)的收斂半徑就是上面兩個級數(shù)中的較小一個收斂半徑.31第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日---冪級數(shù)的代換(復合)運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解：注意到32第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日所以代換展開還原33第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日本講小結1、級數(shù)收斂的定義和性質(zhì)2、Abel定理3、冪級數(shù)的收斂半徑4、冪級數(shù)的性質(zhì)34第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日§3泰勒級數(shù)

我們知道一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問題：一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？1、泰勒展開定理對實函數(shù)而言，一個關鍵性條件是：應在展開點處具有任意階導數(shù).對于復變函數(shù)來說，由于解析函數(shù)具有任意階的導數(shù)，所以這一條件是滿足的.下面給出關于這一問題的結論.35第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日定理1（Taylor定理）Dk證明：36第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日Dkz把上面的式子代入(2),并把它改寫成下面的形式37第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日而(3)又可以寫為38第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日39第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日40第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):由此可見，解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是它的Taylor級數(shù)，因而是唯一的.41第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日42第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日(1)直接法----利用公式;(2)間接法----由已知函數(shù)的展開式，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算等方法來展開.函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：例如43第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、幾個初等函數(shù)的泰勒展開式例1解:思考題:44第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日45第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解46第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日(2)因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,所以它的展開式的收斂范圍為z<1.注：以上幾個展式顯然與相應的實函數(shù)展式一致.（逐項積分、求導，收斂半徑不變）47第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日例3解48第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日若f(z)在z0解析，則f(z)可以在z0的某鄰域

內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).一個自然的問題是:如果在環(huán)域r<z-z0<R內(nèi)解析，

f(z)能否用級數(shù)表示呢？§4洛朗(Laurent)級數(shù)

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法.它是后面研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎.49第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日1、雙邊冪級數(shù)---含有正負冪項的級數(shù)定義具有如下形式的級數(shù)稱為雙邊冪級數(shù)，正冪項(包括常數(shù)項)部分：負冪項部分：50第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設收斂半徑為R

，則當z-z0<R時，級數(shù)收斂;當z-z0>R時，級數(shù)發(fā)散.

51第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日z0rRz0Rr52第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

現(xiàn)在我們考慮相反的問題：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能否展開成一個雙邊冪級數(shù)呢？這也是本節(jié)開始提出的問題.關于這個問題的答案是肯定的，這就是下面要討論的洛朗定理.53第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理)5()()(,:)(00則內(nèi)解析在設.0的任何一條簡單閉曲線內(nèi)繞是zDczzczfRzzrDzfnnn-=<-<?￥-￥=54第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

(2)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點z0的去心鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開.級數(shù)（5）中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.55第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法.在大多數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式.例1解：56第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2解：例357第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日例4xyo12xyo12xyo1258第五十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日解:59第五十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日60第六十頁，共六十四頁，2022年，8月28日61