第四章 橫向荷載下樁的內(nèi)力

第四章橫向荷載下樁的內(nèi)力第一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第一節(jié)橫向荷載下樁的受力特性一、橫向荷載下樁的工作性能及其破壞性狀二、橫向荷載下樁的微分方程式第二節(jié)受橫向荷載樁的計算方法分類

1.極限地基反力法(極限平衡法)

2.彈性地基反力法

3.復(fù)合地基反力法(p—y曲線法)4．彈性理論法第三節(jié)線彈性地基反力法—“m”法解答第四節(jié)線彈性地基反力法的冪級數(shù)通解第五節(jié)彈性地基反力法的數(shù)值分析解第六節(jié)提高基樁水平承載力的措施第二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日計算理論發(fā)展概況

(1)《橋規(guī)》推薦的m法、C法都可使用。但是，根據(jù)國內(nèi)外對嵌巖樁的試驗，巖層對樁的水平抗力系數(shù)為常數(shù)。(2)所有的m法、C法、K法都是在文克爾彈性地基理論的基礎(chǔ)上得來的。

(3)推導(dǎo)了剛性樁、變截面樁、高樁承臺、低樁承臺計算的全部公式，使樁基水平力計算達(dá)到了高度的統(tǒng)一化、系統(tǒng)化和完善化。第三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第一節(jié)橫向荷載下樁的受力特性一、橫向荷載下樁的工作性能及其破壞性狀

在橫向荷載的作用下，樁側(cè)土體受到擠壓而產(chǎn)生抗力,樁的撓曲變形沿樁軸而變，導(dǎo)致樁側(cè)土體所發(fā)揮的橫向抗力也隨深度而變化。當(dāng)樁頂未受約束時，樁頭的橫向荷載首先由靠近地面處的土體承擔(dān)。荷載較小時，上部土體處于彈性壓縮階段，隨著荷載的增加，上部土體逐步產(chǎn)生塑性變形，并將所受橫向荷載傳遞到更大的深度。當(dāng)變形增大到樁身材料所不能容許的程度或樁側(cè)土失去穩(wěn)定時，樁土體系便趨于破壞。第四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日1．剛性短樁(ah<=2.5)的破壞當(dāng)橫向荷載達(dá)到一定值時，樁側(cè)土體開始屈服，隨著荷載增加，逐漸向下發(fā)展，直至剛性短樁因轉(zhuǎn)動而破壞。對于樁頂自由的剛性短樁，當(dāng)樁身抗剪強(qiáng)度滿足要求時，樁體本身一般不發(fā)生破壞，故其水平承載力主要由樁側(cè)土的強(qiáng)度控制。但樁徑較大時，尚需考慮樁底土偏心受壓時的承載能力。第五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

2．彈性樁(ah>2.5)的破壞在橫向荷載作用下樁將發(fā)生撓曲變形(水平位移和轉(zhuǎn)角)，在樁全長范圍的水平方向上地基土不會同時出現(xiàn)屈服，而是沿樁軸從地表向下逐漸地出現(xiàn)屈服，在樁體及連接構(gòu)件上產(chǎn)生的內(nèi)力隨著地基的逐漸屈服而增加。當(dāng)樁身某點彎矩超過其截面抵抗矩或樁側(cè)土體屈服失去穩(wěn)定時，彈性長樁便趨于破壞。其水平承載力由樁身材料的抗彎強(qiáng)度和側(cè)向土抗力所控制。

第七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日（ah≥4.0），樁下段的土抗力可視為無限大，亦即樁下段可視為嵌固于土中而不能轉(zhuǎn)動，如圖4-2a)所示樁體發(fā)生轉(zhuǎn)動或破壞之前，樁頂將產(chǎn)生一可觀的水平位移，而該水平位移往往使所支承結(jié)構(gòu)物的位移量超出容許范圍或使結(jié)構(gòu)不能正常使用。例如橋梁基礎(chǔ)的過大位移就可能使橋梁發(fā)生損壞，尤其是拱橋，將導(dǎo)致整拱塌陷。

第八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日二、橫向荷載下樁的微分方程式第九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

又故有

式中都是基樁單位長度的荷載強(qiáng)度

第十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日代入上式得

第十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第二節(jié)樁受橫向荷載計算方法分類

根據(jù)對地基反力的假定不同，橫向受力樁的分析方法亦不同，大致可分為以下四大類：1極限地基反力法(極限平衡法)2.彈性地基反力法

3.復(fù)合地基反力法(p—y曲線法)4.彈性理論法第十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日1.極限地基反力法(極限平衡法)

該法早先常用于剛性短樁的計算，其認(rèn)為地基反力僅是深度z的函數(shù)，而與樁的撓度x無關(guān)，即極限地基反力法最初由雷滋(Rase.1936年)提出，岡都、Broms等均進(jìn)行了發(fā)展，其適用于埋入深度較小的剛性樁，不能用于彈性長樁和含有斜樁的樁結(jié)構(gòu)物的計算。

根據(jù)各種不同的土反力分布規(guī)律假定，如土反力的直線分布和任意分布等，又有多種不同的計算方法。第十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2.彈性地基反力法彈性地基反力法將土體假定為彈性體，用梁的彎曲理論求解樁的橫向抗力。其假定地基反力與樁的位移x的m次方成比例，即式中k是由土的彈性性質(zhì)所決定的系數(shù)，其與指數(shù)m、n(n≥0，1≥m>0)的取法有關(guān)，上式z與x的冪方形式也可表示成為與z的任意函數(shù)k(z)乘積的形式：根據(jù)指數(shù)m的取值不同，彈性地基反力法又可分為m=1時的線彈性地基反力法和m≠l時的非線性彈性地基反力法。第十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日1)線彈性地基反力法

在線彈性地基反力法中，地基系數(shù)k(z)表示單位面積土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時所需加的力，其值是通過對試樁在不同類別土質(zhì)及不同深度進(jìn)行實測x及q后反算得到的。大量的試驗表明，地基系數(shù)k(z)值不僅與土的類別及其性質(zhì)有關(guān)，而且也隨著深度而變化。k(z)隨深度的變化情況，長期以來一直成為國內(nèi)外學(xué)者們所爭論和研究的課題，直到現(xiàn)在仍在不斷探討中。為簡化計算，一般指定k(z)中的兩個參數(shù)成為單一參數(shù)，由于指定的參數(shù)不同，也就有了常用的張氏法、k法，m法和C法。為了使k(z)值能較準(zhǔn)確地反映實際情況，我國學(xué)者吳恒立還提出了綜合剛度原理和雙參數(shù)法，完成了解析解，并進(jìn)行了數(shù)值計算。線彈性地基反力法假定地基為服從虎克定律的彈性體，地基反力q與樁上任一點的位移x成正比，即符合文克爾(E·Winkler)假定。第十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(該假定沒有考慮地基土的連續(xù)性，對于某些土質(zhì)，如剪切剛度較大的巖石地基，其假定則不能成立，此外，土的物理性質(zhì)是很復(fù)雜的，不可能用這種簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系來正確表達(dá)).文克爾假定與很多能更真實表現(xiàn)土的實際狀態(tài)的復(fù)雜分析方法相比，它比任何一種方法的數(shù)學(xué)處理都簡單.在工程中極為有用，因此，我國目前各類規(guī)范仍采用該法計算。當(dāng)樁的撓曲變形較小時，土體基本能滿足虎克定律，所以，對橋臺、橋墩等樁基，其容許位移較小，該法是可以適用的。第十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(1)張氏法如用(圖4-4a)所示，假定樁側(cè)土地基系數(shù)沿深度為一常數(shù)，即n=0。第十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日該法由我國張有齡先生于30年代提出(1937年)，曾在日本流行了相當(dāng)長的時期。根據(jù)這種假定，由于地面處樁身側(cè)移最大，得出地面處土的側(cè)向抗力為最大的結(jié)論，試驗證明對于非粘性土和正常固結(jié)粘性土，地面處土體實際側(cè)向抗力很小，因此與實際情況相矛盾。只有在堅硬的巖石中才可能水平方向地基系數(shù)沿深度不變。第十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(2)k法如圖4-4c)所示，假定樁側(cè)土地基系數(shù)在第一彈性零點t至地面間隨深度增加(呈凹形拋物線)，而達(dá)t后保持為常數(shù)，但實際上，t點以上地基系數(shù)的變化規(guī)律并沒有明確給出，在公式推導(dǎo)時假定該段土體的抗力呈拋物線變化，而土體抗力與位移x有關(guān)，x假定為高次曲線，顯然推導(dǎo)與原假定不一致。該法由前蘇聯(lián)安蓋爾斯基于1937年提出，曾在我國采用。用該法所得樁身最大彎矩值大于實測值，偏于安全。但由于推導(dǎo)、假定存在一定的問題，我國現(xiàn)行《地基規(guī)范》已將其取消。第二十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(3)m法該法始見于1939年N·B·ypdH用它來計算樁墻的平面問題，1962年由K·G西林引入我國。不少學(xué)者通過試驗和理論分析，認(rèn)為非粘性土和正常固結(jié)粘性土的地基系數(shù)通常均可認(rèn)為隨深度呈線性增加：我國目前以該法用得最多，如鐵路、公路橋梁樁基以及現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(GBJ7-89)均推薦使用該法。但該法也存在一定的缺點，比如假定地基系數(shù)隨深度無限地增長，與實際情況不符。第二十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(4)C法

該法于1964年由日本久保浩一提出。我國陜西省交通科學(xué)研究所在分析了若干樁基的實測結(jié)果以后，認(rèn)為地基系數(shù)隨深度按0.1～0.6次方增大，因此提出采用C法，我國《公橋基規(guī)》在推薦m法的同時，也推薦了該法。第二十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日上述四種方法均為按文克爾假定的彈性地基梁法，只是各自假定的地基系數(shù)隨深度分布規(guī)律不同，其計算結(jié)果也不同。實用時，可根據(jù)土類和樁變位等情況，考慮以何種圖式較為適宜。一般說來，m法和C法適用于一般粘性土和砂性土，張氏法對于超固結(jié)粘性土、地表有硬層的粘性土和地表密實的砂土等情況較為適用。實際上，地基系數(shù)的分布圖式遠(yuǎn)不止上述情況，如日本竹下淳就曾提出不同情況下n應(yīng)為0、0.5、1.0或2.0，此外尚有人主張n值由設(shè)計者自行選定，因此，宜對上述各假定情況提出一個適用的通解。第二十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

2)非線性彈性地基反力

在非線性彈性地基反力法中，最有代表性的是里法特所提出的m=0.5的港灣研究所方法。根據(jù)地基的特性，港研法又分為n=l的久保法和n=0的林一宮島法。由于非線性微分方程很難用解析法或近似法求解，因此港研法采用由標(biāo)準(zhǔn)樁得到的標(biāo)準(zhǔn)曲線和相似法則來計算實際樁的受力狀態(tài)。第二十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

3.復(fù)合地基反力法(p—y曲線法)

長樁樁頂受到水平力后，樁附近的土體從地表面開始屈服，由于是進(jìn)行式破壞，塑性區(qū)逐漸向下擴(kuò)展。復(fù)合地基反力法在塑性區(qū)采用極限地基反力法，在彈性區(qū)采用彈性地基反力法，根據(jù)彈性區(qū)與塑性區(qū)邊界上的連續(xù)條件求解樁的橫向抗力。因塑性區(qū)和彈性區(qū)的確定需根據(jù)土的最終位移來判斷，所以廣義上也可稱為p—y曲線法。第二十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日p—y曲線法計算方法有：在塑性區(qū)里按土壓力理論假定地基反力相當(dāng)于被動土壓力，在彈性區(qū)里假定地基反力呈線性分布；復(fù)合地基反力法能如實的把地基的非彈性性質(zhì)，及由地表面開始的進(jìn)行性破壞現(xiàn)象反映到樁的計算中去。

但為了能實現(xiàn)計算，必須對地基的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬化，這里數(shù)學(xué)模擬化是否合適，及必須利用計算機(jī)進(jìn)行反復(fù)收斂計算，這兩點是此法所存在的問題。對承受反復(fù)荷載，在地基中產(chǎn)生較大應(yīng)變時(如海洋結(jié)構(gòu)物樁基)，應(yīng)采用p—y曲線法。第二十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第三十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日4．彈性理論法該法假定樁埋置于各向同性半無限彈性體中并假定土的彈性系數(shù)(楊氏模量Es和泊松比)或為常數(shù)或隨深度按某種規(guī)律變化。計算時將直徑為d，長度為L的樁分為若干微段，根據(jù)半無限體中承受水平力并發(fā)生位移的明特林方程估算微段中心處的樁周土位移，另據(jù)細(xì)長桿(樁)的撓曲方程求得樁的位移，并用有限差分式表達(dá)。通過每一微段處未知位移的足夠多的方程來求解。第三十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日波勒斯按此原理獲得了樁頭位移ρ和轉(zhuǎn)角θ的計算公式.

樁頭自由時：樁頭嵌固時：第三十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

式中：分別為作用于樁頭的橫向荷載和力矩；、分別為樁頭自由時樁僅受橫向荷載和僅受力矩作用時的地面處位移的影響系數(shù)；分別為樁頭自由時樁僅受橫向荷載和僅受力矩作用時的地面處轉(zhuǎn)角的影響系數(shù)；樁頭嵌固時樁受橫向荷載作用時的地面處位移的影響系數(shù)。、、、和等因數(shù)同樁的柔度因數(shù)及長徑比L／d的關(guān)系有專門的圖以供查用，供單樁、群樁計算用。第三十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日據(jù)分析，0.1相當(dāng)于剛性樁，10-4相當(dāng)于彈性樁，且得知彈性理論法求得的位移或轉(zhuǎn)角的影響系數(shù)值一般比地基反力系數(shù)法求得的相應(yīng)值小，如圖4-5所示。第三十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

彈性理論法的最大缺點是不能計算得出樁在地面以下位移、轉(zhuǎn)角以及彎矩、土壓力等，其次是Es值的確定也比較困難。但是本法能夠考慮在橫向荷載作用下的樁土間出現(xiàn)的脫離和土的局部屈服等，有助于對樁土性狀的進(jìn)一步探索。在作橫向荷載樁的深入詳盡的計算之前，用彈性理論法的已有的參數(shù)解作初步的分析設(shè)計，可由參數(shù)解較方便地查得樁尺寸、樁剛度和土的壓縮性等因素對橫向承載樁性狀的影響。第三十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第三節(jié)線彈性地基反力法m法解答

線彈性地基反力法基本慨念明確，計算較為簡單，且已積累有大量計算用表，當(dāng)基樁撓曲變形較小時，其假定與實際也比較符合，因此，國內(nèi)各規(guī)范手冊等均采用該法。如前所述，根據(jù)地基系數(shù)隨深度變化的假定不同，該法亦可分為多種方法。本節(jié)主要介紹目前國內(nèi)各類規(guī)范推薦使用的m法。第三十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日一、基本概念1.單樁、單排樁與多排樁樁基分為單樁、單排樁和多排樁。2．樁的計算寬度當(dāng)時K=1.0當(dāng)時

第三十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日3.m值的確定

地基土比例系數(shù)m值隨著樁在地面處的水平位移增大而減少。一般應(yīng)通過水平荷載試驗確定，它與土的類別及其性質(zhì)、樁的水平位移大小、荷載作用方式及荷載水平等因素有關(guān)。

二、m法解答(一)樁的撓曲微分方程求解

采用m法時，地基系數(shù)為：故基樁的撓曲微分方程式為：第三十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日為討論方便起見，先假定z0=0，則上式變?yōu)椋?/p>

令上式為四階線性變系數(shù)齊次常微分方程，可以用冪級數(shù)法、差分法、反力積分法、量綱分析法等求解。第三十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日冪級數(shù)法第四十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第四十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日樁端支承于非巖石類土或基巖上(即非嵌巖樁)時：

當(dāng)樁底支承于非巖石類土中且≥2.5或當(dāng)樁底支承于基巖且≥3.5時，

第四十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

大量計算表明，當(dāng)≥4.0時，樁端位移和轉(zhuǎn)角極微，其邊界已相當(dāng)于嵌固，故此時嵌巖樁與非嵌巖樁的邊界條件一致，其計算公式可以通用。第四十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(二)無量綱計算法

(三)求樁身最大彎矩位置及最大彎矩一般有以下兩種方法：1.各深度z處的M值求出后繪制z—Mz圖，直接從圖中讀出。第四十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2．根據(jù)樁身最大彎矩截面其剪力為零，即Qz=0。由式可得：或

應(yīng)用時可先由查附表9得，再同表可得Km，則有，。第四十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(四)樁頂位移的計算

當(dāng)樁置于非巖石地基中時，已知樁露出地面長，樁頂自由，其上作用有水平力H及彎矩M，則樁頂位移可應(yīng)用疊加原理求得，。可得樁頂水平位移x1和轉(zhuǎn)角分別為：第四十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日無量綱化，并整理可得

第四十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(五)配筋計算1．配筋設(shè)計

1)計算偏心距增大系數(shù)

2)假定一值，由《公路橋規(guī)》附錄三附表查得系數(shù)A、B、C、D，以下式計算配筋率和計算截面所能承受的軸力：

第四十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2．最大裂縫寬度驗算《公路橋規(guī)》建議，裂縫寬度按下式計算：第四十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日三、地面處抗力不為零(z0≠0)時的解答

第五十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日樁的彈性撓曲方程式

第五十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日四、樁基礎(chǔ)(多排樁)的內(nèi)力與位移計算

(一)高樁承臺

1．計算公式第i根樁樁頂引起的軸向力Pi、橫軸向力Qi及彎矩Mi值為：

1)的求解第五十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第五十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2)的計算典型方程如下：聯(lián)解上式,代人式(4-44)，即可求得各樁頂所受作用力Pi、Qi和Mi。

2．豎直對稱多排樁的計算作用于每—樁頂?shù)淖饔昧i、Qi、Mi為：

第五十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(二)低樁承臺

對于低樁承臺，應(yīng)考慮承臺側(cè)面土的水平抗力，與樁和樁側(cè)土共同作用抵抗和平衡橫向荷載的作用。第五十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

設(shè)承臺埋入地面或最大沖刷線的深度為hn，可得作用于承臺側(cè)面(寬b1)單位寬度上的水平抗力Ex，及其對x軸的彎矩MEx為：第五十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日若樁底嵌入巖層內(nèi)，且?guī)r層以上無覆蓋層時，可令h=0，hn=0，為承臺底面至巖面之間的樁長，并采用

取第五十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日(三)橋臺樁基礎(chǔ)的計算

對于橋臺樁基礎(chǔ)，應(yīng)考慮橋頭路堤填土直接作用于露出地面段樁身上的土壓力的影響，故計算時應(yīng)增加路堤填土土壓力及其引起的彎矩，即第五十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日根據(jù)樁頂與承臺的聯(lián)結(jié)條件及樁的變形連續(xù)條件可導(dǎo)得：聯(lián)解以上各式式可求得、，然后可按前述方法計算出作用于各樁頂?shù)腜i、Qi和Mi。第六十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第四節(jié)

線彈性地基反力法的冪級數(shù)通解

前面給出了我國各現(xiàn)行規(guī)范推薦使用的m法解答，即式(4-7)中n=l的情況。然而實測資料表明，式(4-7)中z的指數(shù)n一般約在0.1~0.6之間。此外，張氏法、k法、C法等亦多有其解答。為了便于應(yīng)用，橫山幸滿(1977年)和王伯惠(1978年)分別給出了橫向荷載下基樁撓曲微分方程式的通解，即n為任意數(shù)值的解。兩種解答雖推導(dǎo)時所利用的數(shù)學(xué)手段不同，但其結(jié)果一致，限于篇幅，下面僅給出王伯惠解答的基本思路及實用結(jié)果。第六十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

1．基本微分方程式的通解z0=0，則線彈性地基反力法樁的基本微分方程式變?yōu)椋涸O(shè)以上方程的解為：若將其展開為麥克一勞林級數(shù)，則第六十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日根據(jù)地面處樁頂邊界條件及材料力學(xué)知識可得：第六十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日根據(jù)以上兩式得:求解并歸納整理即可得微分方程式的解為：第六十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日A1、B1、C1和D1為無量綱系數(shù)。同前述m法解答，分次微分即可求得其他12個無量綱系數(shù)A2、B2、…、D4，并得到相應(yīng)的初參數(shù)方程：第六十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2．通解的實用計算方法

由上述王伯惠解答可見，16個無量綱系數(shù)均為無窮級數(shù)，其表達(dá)式復(fù)雜，對計算機(jī)編程處理極為不便。為此，可將上述16個系數(shù)重新歸納整理，可得其便于應(yīng)用的通式為：第六十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日j=0、1、2、3分別代表A、B、C、D即第六十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日=A2，=B2，=C2，=D2=A3，=B3，=C3，=D3=A4，=B4，=C4，=D4，第六十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第五節(jié)

彈性地基反力法的數(shù)值分析解

前面介紹了線彈性地基反力法的冪級數(shù)通解，該解答理論精度較高，而且已有大量的計算圖表供查，但也存在一定的局限性，如果地基分層，比例系數(shù)變化或樁身抗彎剛度變化等，均無法直接應(yīng)用該解答。而數(shù)值計算則靈活方便，局限性小，適用于樁側(cè)土地基系數(shù)沿樁身按各種規(guī)律變化的情況，且計算精度可任意控制，不需查取任何圖表。

第七十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日一、紐瑪克(Newmark)法

紐瑪克法的基本概念把樁劃分為若干段，將沿每段樁側(cè)土體的橫向抗力變換為一等效的彈簧支承在該段.彈簧的剛度系數(shù)則根據(jù)該處樁側(cè)土的特性而定，從而所有問題都化為解算支承在一系列彈簧支座上的連續(xù)梁.用紐瑪克數(shù)值計算法求出梁的內(nèi)力及位移，其具體計算步驟及公式如下：第七十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第七十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日其具體計算步驟及公式如下1．由文克爾假定，將地基視為若干個支承彈簧，彈簧個數(shù)N=所劃分單元個數(shù)。2．求出各彈簧剛度系數(shù)Ki。

由于k(z)=m(z+z0)n，則i=1，2，…，N-1第七十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日3．假定樁尖橫向位移為1(嵌巖樁可假定樁尖剪力為1)，求出樁頂彎矩轉(zhuǎn)角，剪力及各彈簧支承點位移。4．假定樁尖處轉(zhuǎn)角為1，求出樁頂彎矩，轉(zhuǎn)角，剪力及各彈簧支承點位移。

5．根據(jù)樁頂邊界條件建立方程組(二元線性代數(shù)方程)。樁頂自由時(單排樁)：樁頂彈性嵌固時(多排樁)：求出相應(yīng)的比例系數(shù)和第七十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日6．計算各支承點實際位移xi，剪力Vi及彎矩Mi。

上述各式中i自N，N-1，…，0。其中各式的計算按以下順序進(jìn)行（j=1,2）。

，，，，，，第七十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日二、定點系數(shù)法亦稱為D法，其計算公式及步驟如下：

l．各單元相應(yīng)的柔度系數(shù)：2．計算支座j處作用一單位力矩時，在i支座處產(chǎn)生的角變位：3．假定樁頂(地面處)作用有單位水平力(H=1)或單位力矩(M=1)時，按定點法求得在單樁1支點處所產(chǎn)生的內(nèi)力矩：第七十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日4.計算其余點2，3，4，…，N-1各點處的內(nèi)力矩:5.根據(jù)疊加原理，計算外力H和M作用下樁身各支點彎矩：6.單樁各支點的地基反力：式中：——簡支梁支座反力。第七十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

三、有限差分法

有限差分法的基本原理是將樁身(假定樁身為等截面，當(dāng)不是等截面時推導(dǎo)稍作修改)劃分為若干單元。對各個單元的劃分點以差分式近似地代替樁身彈性曲線微分方程中的導(dǎo)數(shù)式。對于樁身所有劃分點將曲線微分方程轉(zhuǎn)變成一組代數(shù)差分方程，再聯(lián)解代數(shù)差分方程即可得所要求的解。

假定為一連續(xù)函數(shù)，各個單元的長度為a，則在i點處：第七十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第七十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日一階中心差分式為

一階向后差分式

第八十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日二階中心差分為

當(dāng)a很小時

第八十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日依次類推，可得四階中心差分為

將上述各差分式代入式可得基樁基本微分方程式的差分方程為

第八十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

將上式用于樁身第1、2、3、…、N、N+1點，即可得出N+1個方程。樁身共劃分為N個單元，N+1個點，再加上樁頂以上和樁底以下各兩個虛擬點，則需求解N+5個未知位移，因此還需根據(jù)樁頂和樁底處的邊界條件得出另外四個附加方程。第八十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

1．樁頂處

1)當(dāng)樁頂無約束時樁頂處的剪力：即

樁頂處的力矩：即

2)當(dāng)樁頂有約束時樁頂處轉(zhuǎn)角為：第八十四頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2.樁底處對于較長的摩擦樁和柱樁，樁底彎矩很小可忽略不計，即Mh=0，故有即對于任何長度的摩擦樁和較長的柱樁，可認(rèn)為樁底處剪力為零，則即即第八十五頁，共一百零七頁，2022年，8月28日

因此當(dāng)樁頂無約束時，可得矩陣式：即樁身各點橫向側(cè)移的矩陣形式為：若在上述方法中略去樁頂和樁底處的剪力方程，則可消除掉-2點和N+3點處的未知位移，而只需求解N+3個方程，所得解答出入不會太大。求出樁身各點側(cè)移后，即可根據(jù)下面公式和前述差分公式用各點的位移求出樁身任一深度處的轉(zhuǎn)角彎矩Mi和剪力Qi即、第八十六頁，共一百零七頁，2022年，8月28日若樁身劃分的單元數(shù)越多，計算的精度就越高，但所需求解的方程也就越多，通常宜利用計算機(jī)求解，其矩陣形式為：各結(jié)點處的轉(zhuǎn)角：第八十七頁，共一百零七頁，2022年，8月28日各結(jié)點處截面內(nèi)的剪力其中、M、Q為列陣；T2、T3、T4為矩陣。各矩陣的具體形式可參見有關(guān)專著，此不贅述。各結(jié)點處截面內(nèi)的彎矩：第八十八頁，共一百零七頁，2022年，8月28日四、有限單元法

前面介紹的有限差分法還存在一定的缺點，比如考慮一般邊界條件比較麻煩；改正負(fù)撓度困難，即當(dāng)基礎(chǔ)趨于與地基分離時難以消除文克爾彈簧等，有限單元法可以消除這些缺點，它的基本原理是將連續(xù)的樁身劃分為具有若干單元的離散體，根據(jù)力的平衡和位移的協(xié)調(diào)建立方程，通過電子計算機(jī)進(jìn)行求解。有限單元法屬于物理上的近似(有限差分屬于數(shù)學(xué)上的近似).第八十九頁，共一百零七頁，2022年，8月28日有限單元劃分越多，所得結(jié)果也越精確。該法的主要優(yōu)點之一是可以不求解樁身彈性曲線微分方程，只要用簡單的力學(xué)概念，將樁身側(cè)向位移引起的側(cè)向土抗力視為位于各單元結(jié)點處的反力，該反力等于結(jié)點處樁身的側(cè)向位移值與該處土的地基系數(shù)(考慮土的計算寬度后)之乘積。有限單元法適用于地基系數(shù)隨深度變化的各種圖式，可以用于土抗力與樁身側(cè)移呈非線性的情況。第九十頁，共一百零七頁，2022年，8月28日1．有限單元法的基本公式

設(shè)Pi為樁身某結(jié)點i處的外力(包括力和力矩)，F(xiàn)i為結(jié)點i處樁身的內(nèi)力(包括土抗力和彎矩)。樁身各結(jié)點處的外力和內(nèi)力分別用矩陣P和矩陣F來表示，則它們之間的關(guān)系可用下式表示：

P=AF

(4-99)

A稱為靜力矩陣，同樣，用矩陣e表示樁身由于內(nèi)力引起該系列結(jié)點處的變位(稱內(nèi)部變位)；以X表示該系列結(jié)點在外力作用下軸線的變位，兩者用另一矩陣B聯(lián)系起來，即e=BX

(4-100)B稱為位移矩陣?？梢宰C明矩陣B為矩陣A的轉(zhuǎn)置(B=AT)。第九十一頁，共一百零七頁，2022年，8月28日若以內(nèi)部位移來描述內(nèi)力，則可寫成：F=Se

(4-101)

S稱為剛度矩陣。位移矩陣和剛度矩陣的建立是矩陣分析法的基本步驟。將式(4-100)代入式(4-101)及利用B=AT可得：

F=SATX

(4-102)將式(4-102)代入式(4-99)得：

P=ASATX

(4-103)從此式可看出，將方陣ASAT(為P×P矩陣)求逆，即可解出距陣X，即X=[ASAT]-1P

(4-104)求出X后，代入式(4-102)，可得到所要求的樁結(jié)點內(nèi)力。第九十二頁，共一百零七頁，2022年，8月28日第九十三頁，共一百零七頁，2022年，8月28日2．A矩陣的建立如圖所示，設(shè)樁長為h，劃分為5個相等長度的單元。以P1、P2、…、P6代表作用在各結(jié)點處的力矩，X1、X2、…、X6代表與P1、P2、…、P6相應(yīng)各結(jié)點對樁原來軸