第四章 功和能

第四章功和能第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日一、教學(xué)基本要求

掌握功的概念，能計(jì)算直線運(yùn)動(dòng)情況下變力的功。理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算重力、彈性力和萬有引力的勢(shì)能。掌握質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，并能用它分析簡(jiǎn)單問題，掌握機(jī)械能守恒定律，掌握運(yùn)用守恒定律分析問題的思想和方法。第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日功功率動(dòng)能保守力勢(shì)能機(jī)械能動(dòng)能定理功能原理機(jī)械能守恒定律二、基本概念功:力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功定義為力在位移方向上的分量與該位移大小的乘積。有：第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日瞬時(shí)功率：Δt→0時(shí)平均功率的極限值稱為t時(shí)刻的瞬時(shí)功率。平均功率和瞬時(shí)功率

平均功率：作功與完成這些功所用時(shí)間的比值

第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日動(dòng)能：物體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)而具有的能量，稱為動(dòng)能，記為：保守力：如果一對(duì)力的功與相對(duì)路徑的形狀無關(guān)，只決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末位置，這樣的一對(duì)力（簡(jiǎn)稱一個(gè)力）稱為保守力。（反之稱為非保守力）第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日勢(shì)能：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的相互作用力是保守力，則存在著一個(gè)由他們的位形（相對(duì)位置）決定的函數(shù)，相應(yīng)于某兩個(gè)位形的這一函數(shù)（勢(shì)函數(shù)）的差就給出質(zhì)點(diǎn)系從這一位形到另一位形時(shí)保守力作的功。這個(gè)位形決定的函數(shù)叫質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能函數(shù)，簡(jiǎn)稱為勢(shì)能，記為。（R為勢(shì)能參考點(diǎn)）機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和，記為：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，即：

第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日機(jī)械能守恒定律：如果系統(tǒng)內(nèi)只有保守力作功，其它內(nèi)力和一切外力都不作功，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)換，但機(jī)械能總值保持不變。功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力功的總和，即：第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日（C）只有（2）是正確的1、對(duì)功的概念有下列幾種說法正確的是（）（1）保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢(shì)能增加；（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以兩者作功的代數(shù)和必為零。三、例題分析（A）（1）（2）是正確的例題1（B）（2）（3）是正確的（D）只有（3）是正確的第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在幾個(gè)力作用下的位為其中一個(gè)力為恒力（SI），則此力在該位移過程中所作的功為__________。例題2解：第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日例題33、已知一質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，其F—x關(guān)系如圖所示，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)從0到10m過程中，求F所作的功；R510xF05第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日4、如圖所示，木塊m沿固定的光滑斜面（傾角為）下滑，當(dāng)下降h高度時(shí)，重力的瞬時(shí)功率（）例題4h解：（A）（B）（C）（D）第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日5、一顆速率為的子彈，打穿一塊木板后，速率降到。如果讓它繼續(xù)穿過厚度和阻力均與第一塊完全相同的第二塊木板，則子彈的速率將降為

。（空氣阻力忽略不計(jì)）例題5解：根據(jù)動(dòng)能定理，由題意，子彈穿越兩塊木板損失的動(dòng)能相等，所以：第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日6、一個(gè)質(zhì)量為的物體沿x軸無摩擦的運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，物體位于原點(diǎn)，速度為零，求物體在與位置有關(guān)的力作用下移到處時(shí)，它的速度和加速度為多少？例題6解：由動(dòng)能定理：第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日例題77、有一倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧豎直放置，下端懸一質(zhì)量為的小球，先使彈簧為原長(zhǎng)，而小球恰好與地面接觸，再將彈簧緩慢地提起，直到小球能脫離地面為止。在此過程中，外力作的功為多少？解：

脫離地面時(shí)：第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日建立坐標(biāo)如圖所示，在任意位置，水桶的總質(zhì)量為：

8、一人從10m深的井中提水。起始時(shí)桶中裝有8kg的水，桶的質(zhì)量為2kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水，求：1）水桶勻速的從井底提到井口，外力作功；2）將水桶以0.2m/s2

的加速度提升到井口，外力作功。例題8解：0101）勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足：第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2）加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足：則：功的定義：功的定義：第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日9、電梯由一個(gè)起重間與一個(gè)配重組成。它們分別系在一根繞過定滑輪的鋼纜的兩端，如圖所示。起重間（包括負(fù)載）的質(zhì)量，配重的質(zhì)量此電梯由和定滑輪同軸的電動(dòng)機(jī)所驅(qū)動(dòng)。假定起重間由低層從靜止開始加速上升，加速度。求：1）這時(shí)滑輪兩側(cè)鋼纜中的拉力各是多少？2）加速時(shí)間，在此時(shí)間內(nèi)電動(dòng)機(jī)所作功是多少？（忽略滑輪和鋼纜的質(zhì)量）3）在加速以后，起重機(jī)勻速上升。求再上升的過程中，電動(dòng)機(jī)又作了多功？例題9第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：mM1）根據(jù)牛頓第二定律：2）根據(jù)功能原理：電梯作勻加速運(yùn)動(dòng)，所以：解得：3）根據(jù)功能原理：h第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日ABo10、如圖一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為在半徑為的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對(duì)容器的正壓力數(shù)值為，則質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過程中摩擦力作功為多少？例題10B點(diǎn)：解：動(dòng)能定理：所以：第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日例題1111、某彈簧不遵守胡克定律，設(shè)施力，相應(yīng)伸長(zhǎng)為，彈力與伸長(zhǎng)的關(guān)系為。求：

1）將彈簧從伸長(zhǎng)拉伸到伸長(zhǎng)時(shí)，彈簧彈力所做的功；

2）以彈簧的原長(zhǎng)為彈簧的勢(shì)能零點(diǎn)，求彈簧伸長(zhǎng)時(shí)具有的勢(shì)能。第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：

1）由功的定義：2）由勢(shì)能的定義：第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日12、有一人造地球衛(wèi)星，質(zhì)量為，在地球表面上空兩倍于地球半徑的高度沿圓型軌道運(yùn)行。地球質(zhì)量用表示，1）衛(wèi)星的動(dòng)能為多少？2）衛(wèi)星的勢(shì)能為多少？解：1）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，有：

例題122）根據(jù)萬有引力勢(shì)能公式第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日13、如圖所示，質(zhì)量為短試管，用長(zhǎng)為，質(zhì)量可忽略不計(jì)的硬直桿懸掛，管內(nèi)盛有乙醚液滴，管口用質(zhì)量為的軟木塞塞住。當(dāng)加熱試管時(shí)，軟木塞在乙醚蒸氣壓力下飛出，1）要試管繞懸點(diǎn)o在豎直平面內(nèi)作一完整的圓周運(yùn)動(dòng)，那么軟木塞飛出的最小速度是多少？2）若將硬桿換成細(xì)繩，結(jié)果如何？例題13o第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：

1）木塞飛出瞬間，動(dòng)量守恒：

（1）試管做圓周運(yùn)動(dòng)過程，機(jī)械能守恒，（2）由（1）,（2）解得：2）當(dāng)木棒換成細(xì)繩時(shí)，到最高點(diǎn)時(shí)滿足：（3）機(jī)械能守恒：（4）由（1）,（3）,（4）解得：第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日14、如圖所示，質(zhì)量為的隕石從距離地面高處由靜止開始向地面下落（忽略空氣阻力），求：1）隕石下落到地面過程中，萬有引力作功？

2）隕石落地時(shí)的速度大??？例題14第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：

1）法一：保守力作功：2）動(dòng)能定理：法二：功的定義F第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日15、人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心距離分別為和，設(shè)地球質(zhì)量為，萬有引力常數(shù)為G，求：1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處萬有引力勢(shì)能之差為多少？2）衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速度大小分別為多少？例題15第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：

1）解得：2）法一：角動(dòng)量守恒：機(jī)械能守恒：第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日法二：萬有引力提供向心力：近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑相等，即：解得：第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日16、一輕彈簧原長(zhǎng)，勁度系數(shù)為，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，先用手托住，使彈簧保持原長(zhǎng)，然后突然將物體釋放。求：1）物體達(dá)最低位置時(shí)彈簧最大伸長(zhǎng)和彈力是多少？2）物體經(jīng)過平衡位置時(shí)的速率是多大？例題16第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：ABC

1）如圖所示，圖C表示達(dá)到最低位置時(shí)刻機(jī)械能守恒：設(shè)彈簧原長(zhǎng)位置為勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧伸長(zhǎng)：彈簧彈力：第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2）圖B，表示達(dá)到平衡位置時(shí)，滿足機(jī)械能守恒，設(shè)彈簧原長(zhǎng)位置為勢(shì)能零點(diǎn)，解得：

BA第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日17、如圖所示，A、B兩塊板用一輕質(zhì)彈簧相連，他們的質(zhì)量分別為和，問在A板上需要加多大的壓力，方可使力停止作用后，恰好使A跳起來時(shí)B剛好被提起。（彈簧的勁度系數(shù)為）例題17AB第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：如圖所示，黑色表示題中給出A板初始位置，紅色分別表示：（B）受到壓力時(shí)的A板的位置，有：（1）（C）B稍微被提起時(shí)刻，A板的位置，有：（2）（A）彈簧原長(zhǎng)位置；（A）（B）（C）第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日根據(jù)機(jī)械能守恒，設(shè)彈簧原長(zhǎng)位置為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)，有：（3）由（1）、（2）、（3）式解得：根據(jù)題意，負(fù)舍，得：（A）（B）（C）第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日18、一質(zhì)量為的物體A與一輕彈簧相連放在平滑水平桌面上，彈簧的另一端固定在墻上，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，現(xiàn)在用力推A，從而彈簧被壓縮了。在彈簧的原長(zhǎng)處放有質(zhì)量的物體B，如圖所示。由靜止釋放物體A后，A將與靜止的物體B發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后A物體還能把彈簧壓縮多大距離？例題18原長(zhǎng)第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：A與B碰撞之前，機(jī)械能守恒：A、B碰撞過程中：A壓縮彈簧過程，機(jī)械能守恒：解得：原長(zhǎng)動(dòng)能守恒：動(dòng)量守恒：第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日19、如圖所示，質(zhì)量為、的物體靜止在水平面上，以勁度系數(shù)為的輕彈簧相連，彈簧處于自由伸展?fàn)顟B(tài)，一顆質(zhì)量為，速率為的子彈水平地入射到質(zhì)量為的物體內(nèi)，問彈簧最多被壓縮多長(zhǎng)？（不計(jì)一切摩擦）例題19第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：子彈打入過程，動(dòng)量守恒，有：當(dāng)和的速度相等時(shí)，彈簧壓縮最大，過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，解得：第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日20、如圖所示