標(biāo)準(zhǔn)差和期望的關(guān)系公式

標(biāo)準(zhǔn)差和期望的關(guān)系公式投資風(fēng)險(xiǎn)的期望值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式是什么？標(biāo)準(zhǔn)差是概率里的內(nèi)容，反映數(shù)據(jù)的離散程度，可用于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量，標(biāo)準(zhǔn)差較大離散程度越高，風(fēng)險(xiǎn)越大。??先計(jì)算一個(gè)平均值（期望值）。??例如：假設(shè)結(jié)果A的預(yù)期收益為10元，出現(xiàn)的概率為20%，結(jié)果B的預(yù)期收益為20元，出現(xiàn)的概率為80%，那么:??期望值=10*20%+20*80%=18元??標(biāo)準(zhǔn)差=（（10-18）的平方*20%+（20-18）的平方*80%）的平方根=4??標(biāo)準(zhǔn)差率=標(biāo)準(zhǔn)差/期望值=4/18=22.22%??評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)時(shí)是按上面的算法,評(píng)估歷史數(shù)據(jù)時(shí)可能就是用平均值來(lái)替代上面所說(shuō)的期望值。??如果用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差就不用再單獨(dú)乘以各種結(jié)果出現(xiàn)的概率了,算法為:??平均值=（10+20）/2=15??標(biāo)準(zhǔn)差（（（10-15）的平方+（20-15）的平方）除以“數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)2”）的平方根=5概率中的期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差都代表什么？它們之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？是一個(gè)平均的問(wèn)題期望，意思就是這個(gè)事情的總的平均結(jié)果會(huì)是怎樣通俗的講，就是平均值，也可以說(shuō)是平均水平算法是概率*取值的總和，反映的是事情達(dá)成的總的預(yù)期水平值這就是期待值。方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方————————————————方差和標(biāo)準(zhǔn)差。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)算離散趨勢(shì)最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，它是測(cè)算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法。標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，用S表示。標(biāo)準(zhǔn)差相應(yīng)的計(jì)算公式為標(biāo)準(zhǔn)差是方差開(kāi)方后的結(jié)果(即方差的算術(shù)平方根)假設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均值是m方差公式s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+...+(xn-m)^2]假設(shè)方差是a。則標(biāo)準(zhǔn)差就是這個(gè)方差開(kāi)方標(biāo)準(zhǔn)差與方差不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差和變量的計(jì)算單位相同，比方差清楚，因此很多時(shí)候我們分析的時(shí)候更多的使用的是標(biāo)準(zhǔn)差。方差公式與期望的關(guān)系（方差公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式）方差公式與期望的關(guān)系概率可以得知某些事件發(fā)生的可能性大小，但概率并非萬(wàn)能，它無(wú)法指出所發(fā)生的這些事情的整體影響，也無(wú)法指出這種整體影響對(duì)人的具體影響。這個(gè)時(shí)候就需要使用到期望了，期望的作用在于利用概率預(yù)測(cè)長(zhǎng)期結(jié)果，以及量度這些預(yù)測(cè)結(jié)果的確定性。

什么是期望

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)離散性隨機(jī)變量的期望是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。換句話說(shuō)，期望是隨機(jī)試驗(yàn)在同樣的機(jī)會(huì)下重復(fù)多次的結(jié)果計(jì)算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望并不一定等同于常識(shí)中的“期望”。“期望”也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。

例子：擲一枚六面篩子，其點(diǎn)數(shù)的期望是3.5，計(jì)算方式如下：

期望的計(jì)算公式

期望和均值有些類(lèi)似，甚至計(jì)算方式也類(lèi)似，但它描述的概率分布。為了求出期望，需要將每個(gè)數(shù)值x乘以該數(shù)值的發(fā)生概率，然后將所有結(jié)果求和。

期望的計(jì)算公式

下圖是一張拉老虎機(jī)的結(jié)果概率圖，x表示贏錢(qián)的數(shù)量，P(X=x)表示概率：

E(X)=(-1*0.977)+(4*0.008)+(9*0.008)+(14*0.006)+(19*0.001)=-0.77

這個(gè)結(jié)果表示：你能夠期望在每一局賠掉0.77元。

期望指出一個(gè)變量的典型值或平均值，但并不提供有關(guān)數(shù)值分散性的任何信息，也就是說(shuō)期望并不能反映一個(gè)變量未來(lái)的變化情況。一個(gè)游戲者玩老虎機(jī)，并不是為了每一局游戲輸?shù)?.77元，他更希望的是能有好運(yùn)氣贏得更多的錢(qián)。這個(gè)時(shí)候方差就起作用了。

方差的計(jì)算公式

計(jì)算一批數(shù)字的方差方法如下：每個(gè)數(shù)字減去均值的差的平方，然后取所有結(jié)果的平均值。

類(lèi)似地，計(jì)算變量X的方差公式如下：

方差的計(jì)算公式

其中μ是期望的另外一種寫(xiě)法。

接著上面老虎機(jī)收益的例子，求出老虎機(jī)收益的方差如下：

Var(x)=E(x-μ)2

=(-1+0.77)2*0.977+(4+0.77)2*0.008+(9+0.77)2*0.008+(14+0.77)2*0.006)+(19+0.77)2*0.001

=2.6971

標(biāo)準(zhǔn)差是取方差的平方根，計(jì)算公式如下：

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式

變化的期望和方差

如果上面拉老虎機(jī)的規(guī)則變化了，賭資增加了，變化后的結(jié)果概率圖如下：

計(jì)算可得出：

E(Y)=-0.85,Var(Y)=67.4275

通過(guò)前后兩次期望、方差的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)它們之間的如下關(guān)系：

E(Y)=5*E(X)+3,

Var(Y)=5*5*Var(X)

新舊期望、方差如果基礎(chǔ)概率保持不變，那么它們之間必定存在以下關(guān)系：

這就是所謂的線性變化，因?yàn)閄發(fā)生的是線性變化，即基礎(chǔ)概率保持不變，但數(shù)值變?yōu)樾轮担湫问綖椋篴X+b。

獨(dú)立觀測(cè)值

如果老虎機(jī)的游戲規(guī)則保持不變，但游戲者同時(shí)玩多個(gè)老虎機(jī)，并且每個(gè)老虎機(jī)的期望、方差都分別為E(x)、Var(x)。這時(shí)每個(gè)老虎機(jī)的隨機(jī)變量值都是一個(gè)隨機(jī)變量值，表示為x1,x2,...xn。這時(shí)，期望、方差存在以下關(guān)系：方差公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式方差是在概率論和統(tǒng)計(jì)方差衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時(shí)離散程度的度量，用來(lái)度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。Excel2016中有兩個(gè)計(jì)算方差的函數(shù)，分別是VAR.P函數(shù)和VAR.S函數(shù)。VAR.P函數(shù)計(jì)算基于整個(gè)樣本總體的方差，基本語(yǔ)法如下。number1為必需參數(shù)，對(duì)應(yīng)于總體的第一個(gè)數(shù)值參數(shù)。number2,…為可選參數(shù)，對(duì)應(yīng)于總體的2~254個(gè)數(shù)值參數(shù)。VAR.P的計(jì)算公式如下。VAR.S函數(shù)估算基于樣本的方差，基本語(yǔ)法如下。number1為必需參數(shù)，對(duì)應(yīng)于樣本的第一個(gè)數(shù)值參數(shù)。number2,…為可選參數(shù)，對(duì)應(yīng)于樣本的2~254個(gè)數(shù)值參數(shù)。VAR.S的計(jì)算公式如下。公式中的為樣本平均值，n為樣本大小。示例15-43產(chǎn)品包裝質(zhì)量比較有甲、乙、丙3個(gè)車(chē)間包裝產(chǎn)品，要求每個(gè)產(chǎn)品重量為100g/袋?，F(xiàn)在對(duì)3個(gè)車(chē)間隨機(jī)各抽取10袋產(chǎn)品進(jìn)行稱(chēng)重，稱(chēng)重?cái)?shù)據(jù)如圖15-49所示。在G2單元格中輸入以下公式，并向右復(fù)制到I2單元格，計(jì)算各車(chē)間包裝產(chǎn)品的平均重量。=AVERAGE(B2:B11)在G3單元格中輸入以下公式，并向右復(fù)制到I3單元格，計(jì)算各車(chē)間包裝產(chǎn)品的偏離程度。=VAR.P(B2:B11)通過(guò)對(duì)比可以看出，甲、乙車(chē)間平均質(zhì)量均為100g，丙車(chē)間超出100g，所以丙車(chē)間包裝質(zhì)量較差。甲車(chē)間方差為10.6，乙車(chē)間方差為68.2，二者相比，甲車(chē)間的方差較小，說(shuō)明包裝質(zhì)量更加穩(wěn)定。使用STDEV.P函數(shù)和STDEV.S函數(shù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差在概率統(tǒng)計(jì)中常做統(tǒng)計(jì)分布程度上的測(cè)量，反映組內(nèi)個(gè)體之間的離散程度，平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。Excel2016中有兩個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)，分別是STDEV.P函數(shù)和STDEV.S函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，二者關(guān)系如下。STDEV.P函數(shù)計(jì)算基于以參數(shù)形式給出的整個(gè)樣本總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差，基本語(yǔ)法如下。number1為必需參數(shù)，對(duì)應(yīng)于總體的第一個(gè)數(shù)值參數(shù)。number2,…為可選參數(shù)，對(duì)應(yīng)于總體的2~254個(gè)數(shù)值參數(shù)。STDEV.P的計(jì)算公式如下。STDEV.S函數(shù)基于樣本估算標(biāo)準(zhǔn)偏差，基本語(yǔ)法如下。number1為必需參數(shù)，對(duì)應(yīng)于樣本的第一個(gè)數(shù)值參數(shù)。number2,…為可選參數(shù)，對(duì)應(yīng)于樣本的2~254個(gè)數(shù)值參數(shù)。STDEV.S的計(jì)算公式如下。公式中的為樣本平均值，n為樣本大小。示例15-44某班學(xué)生身高分布在圖15-50中，