人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 運(yùn)用完全平方公式因式分解

14.3.2

公式法第十四章整式的乘法與因式分解第2課時(shí)運(yùn)用完全平方公式因式分解14.3

因式分解1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重點(diǎn)）2.靈活應(yīng)用各種方法分解因式，并能利用因式分解

進(jìn)行計(jì)算．（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的積的形式的過程.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-

b2=(a+b)(a-

b)ma+mb+mc=m(a+b+c)講授新課用完全平方公式分解因式一

你能把下面

4

個(gè)圖形拼成一個(gè)正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？拼出的圖形為：aabbabababa2b2ab這個(gè)大正方形的面積可以怎么求？a2

+2ab+b2(a+b)2=ababa2ababb2(a+b)2a2

+2ab+b2=將上面的等式逆過來(lái)看，能得到：a2

+2ab+b2a2

-

2ab+b2

我們把

a2+2ab+b2

和

a2

-

2ab+b2

這樣的式子叫做完全平方式.觀察這兩個(gè)式子：（1）每個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？（3）中間項(xiàng)和第一項(xiàng)，第三項(xiàng)有什么關(guān)系？（2）每個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng)這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方，并且是和的形式.是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍.完全平方式的特點(diǎn)：1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)；2.有兩個(gè)數(shù)或式的平方和；3.有兩底數(shù)之積的

±2倍.

完全平方式：簡(jiǎn)記口訣：

首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式，就是完全平方式，將它寫成完全平方的形式，便實(shí)現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a±b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.3.a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()2.2.m2-

6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()2；1.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2；x2x+2aa2ba+2b2b對(duì)照

a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm-

33x2m3下列各式是不是完全平方式？（1）a2-

4a+4；

（2）1+4a2；（3）4b2+4b-

1；

（4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.是（2）因?yàn)樗挥袃身?xiàng).不是（3）4b2與

-1的符號(hào)不統(tǒng)一.不是分析：不是是（4）因?yàn)?/p>

ab不是

a與

b的積的

2倍.例1

若

x2

-

6x+N是一個(gè)完全平方式，則

N=()A.11B.9C.-

11D.

-

9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項(xiàng)

-6x=-2×x×3，故可知

N=32=9.變式訓(xùn)練

如果

x2

-

mx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)

m的值為_______.解析：∵16=(±4)2，∴

-m=2×(±4)，即

m=±8.±8典例精析方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計(jì)算過程中，要注意積的

2

倍的符號(hào)可正可負(fù)，避免漏解．例2

分解因式：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-

4y2.分析：(1)

中，16x2=(4x)2，

9=32，24x=2×4x·3，

所以

16x2+24x+9是一個(gè)完全平方式，即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào)，一般先利用添括號(hào)法則，將其變形為

-(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2×4x·3+32(2)-x2+4xy-

4y2

=-(x2-

4xy+4y2)=-(x-

2y)2.例3

把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2；

(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式

3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式；(2)中將(a+b)

看成一個(gè)整體，也符合完全平方式的特征.(2)原式=(a+b)2

-2(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

因式分解：(1)

-3a2x2+24a2x

-

48a2；(2)(a2+4)2

-

16a2.針對(duì)訓(xùn)練＝(a2

+4

+4a)(a2

+4

-

4a)解：(1)原式＝-3a2(x2

-

8x

+16)＝-3a2(x

-

4)2.(2)原式＝(a2

+4)2

-

(4a)2＝(a

+2)2(a

-

2)2.有公因式要先提公因式要檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解例4

簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)1002

-

2×100×99

+992；(2)342

+

34×32

+

162.解：(1)原式

=(100

-

99)2

(2)原式

=(34

+

16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算=1.=2500.例5已知

x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求

x2y2＋2xy＋1的值.＝112＝121.解：由題意得

x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0，即

(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2幾個(gè)非負(fù)式的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)式都為0方法總結(jié)：此類問題一般情況是將原式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為非負(fù)式的和的形式，然后利用非負(fù)式的性質(zhì)求出未知數(shù)的值，再代值計(jì)算．例6已知

a，b，c分別是△ABC三邊的長(zhǎng)，且

a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由．∴△ABC是等邊三角形．解：由

a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即

(a－b)2＋(b－c)2＝0.∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝

b＝

c.當(dāng)堂練習(xí)1.下列四個(gè)多項(xiàng)式中，一定能因式分解的是()A．a(chǎn)2＋1B．a(chǎn)2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多項(xiàng)式4x2y－4xy2－x3分解因式的結(jié)果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若

m＝2n＋1，則

m2－4mn＋4n2的值是_____．BB14.若關(guān)于

x的多項(xiàng)式

x2－8x＋m2是完全平方式，則

m

的值為______．±45.把下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)

x2-

12x+36；

(2)

4(2a+b)2-

4(2a+b)+1；(3)y2+2y+1-

x2.解：(1)原式

=x2-

2·x·6+62=(x-

6)2.(3)原式=(y+1)2-

x2=(y+1+x)(y+1-

x).(2)原式=[2(2a+b)]2-

2×2(2a+b)·1+12=(4a+2b-

1)2.(2)原式6.計(jì)算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.7.

分解因式：(1)4x2

+4x

+1；(2)

小聰和小明的解答過程如下：他們做對(duì)了嗎？若不對(duì)，請(qǐng)你幫忙糾正過來(lái).x2

-

2x

+3.(2)原式＝

(x2

-

6x

+9)＝

(x

-

3)2.解：(1)原式＝(2x)2

+2×2x?1

+1＝(2x

+1)2.小聰:小明:××8.(1)已知

a－b＝3，求

a(a－2b)＋b2的值；

(2)已知

ab＝2，a＋b＝5，求

a3b＋2a2b2＋ab3的值.原式＝2×52＝50.解：(1)a(a－2b)