結(jié)構(gòu)的極限荷載

結(jié)構(gòu)的極限荷載第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)的彈性分析和設(shè)計：12.1概述基本假定：第一，結(jié)構(gòu)的材料服從虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比；

第二，結(jié)構(gòu)的變形和位移都是微小的。內(nèi)力計算和位移計算都可以應(yīng)用疊加原理彈性設(shè)計時的強度條件：結(jié)構(gòu)的塑性分析和設(shè)計：充分估計結(jié)構(gòu)在超越屈服極限以后的承載能力。塑性設(shè)計時的強度條件：極限狀態(tài)與極限荷載：結(jié)構(gòu)變形隨荷載增加而增大。當荷載達到某一臨界值時，不再增加荷載變形也會繼續(xù)增大，這時結(jié)構(gòu)喪失了進一步的承載能力，這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，此時的荷載稱為極限荷載，第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日計算假定：材料為理想彈塑性材料。

彈性階段：OA段應(yīng)力與應(yīng)變成正比，σ=Eε；

塑性階段：AB段，應(yīng)力達到屈服極限σy，應(yīng)變達εy=σy/E時；AB平行于ε軸，應(yīng)力σ=σy為常量而應(yīng)變ε可無限增長。

卸載規(guī)律：塑性階段的某一點C卸載，相應(yīng)的路徑如圖中平行于AO的虛線CD所示，即卸載的規(guī)律與彈性階段相同。

殘余應(yīng)變：當應(yīng)力減至零時，材料有殘余應(yīng)變，如圖中OD。本章采用比例加載的假定：所有的荷載均為單調(diào)增加，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象；

在加載過程中，所有的荷載均保持固定的比例，因而可以用同一個參數(shù)（荷載因子）的倍數(shù)來表示。12.1概述第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸極限彎矩

承受純彎曲作用的等截面梁，且截面有一根對稱軸，彎矩M作用在梁的對稱面內(nèi)。

實驗表明，在梁的變形過程中，無論彈性階段還是塑性階段，梁的任一橫截面始終保持為平面，即在塑性階段仍然可以沿用“平截面假定”。

隨著彎矩的增大，梁的各部分逐漸由彈性階段發(fā)展到塑性階段。第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸(1)彈性階段，如圖(b)所示：(2)彈塑性階段，如圖(c)、(d)、(e)所示：彎矩增加到屈服彎矩My后，上邊緣開始屈服；隨著M繼續(xù)增大，彈性區(qū)逐漸縮小，塑性區(qū)逐漸擴大；

在這一過程中，中性軸逐漸偏離形心軸而下移；中性軸與形心軸重合。極限彎矩第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸(3)極限狀態(tài)，如圖(f)所示：

彎矩增加的極限狀態(tài)是彈性區(qū)終于消失，上下兩個塑性區(qū)連成一片，整個截面上正應(yīng)力的絕對值都達到了屈服極限。極限狀態(tài)的彎矩是截面所能承受的最大彎矩，記作Mu，稱為極限彎矩。極限彎矩第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸設(shè)極限狀態(tài)截面受拉區(qū)和受壓區(qū)面積分別為A1和A2，由平衡條件可知

在極限狀態(tài)下，截面的受拉區(qū)面積和受壓區(qū)面積相等，中性軸重合于截面的等面積軸，可得極限彎矩：S1和S2分別為受拉區(qū)面積A1和受壓區(qū)面積A2對等面積軸的靜矩；WS稱為截面的塑性抵抗矩；極限彎矩極限彎矩第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸截面的形式系數(shù)反映截面在彈性階段之后抵抗更大彎矩的潛力對于寬度和高度各為b和h的矩形截面，矩形截面的極限彎矩為屈服彎矩的1.5倍對于圓形截面，α=1.70；對于常用的在腹板對稱面內(nèi)受彎的工字形截面，α可以統(tǒng)一地取為1.15。極限彎矩第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例：已知材料的屈服極限，求圖示截面的極限彎矩。100mm20mm解:A1形心距下端0.045m,A2形心距上端0.01167m,A1與A2的形心距為0.0633m.12.2極限彎矩和塑性鉸第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸12.2.2塑性鉸的概念塑性鉸普通鉸

在極限狀態(tài)下，截面上各點的正應(yīng)力均達到了屈服極限，因此不能繼續(xù)增大。但是，在極限彎矩的作用下，截面各點的正應(yīng)變卻可以在符合平截面假定的條件下繼續(xù)增大，從而使得截面兩側(cè)的桿件繞著這個截面發(fā)生有限的相對轉(zhuǎn)動，類似于桿件在該處鉸接的情況，這時稱該截面處出現(xiàn)了一個塑性鉸。塑性鉸與普通鉸的區(qū)別：塑性鉸能傳遞彎矩，普通鉸不能；塑性鉸是單向鉸，截面兩側(cè)只能在極限彎矩方向上發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，普通鉸可以自由發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。塑性鉸在卸載時會消失，普通鉸不會；塑性鉸隨荷載分布而出現(xiàn)于不同截面，普通鉸的位置則是固定的。第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.2極限彎矩和塑性鉸12.2.2塑性鉸的概念破壞機構(gòu)結(jié)構(gòu)由于出現(xiàn)塑性鉸而形成的機構(gòu)稱為破壞機構(gòu)。破壞機構(gòu)可以是整體性的，也可能是局部的。第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.3靜定梁的極限荷載My=Wσy=bh2σy/6，Mu=WSσy=bh2σy/4

彈性階段：FP<FPy=4My/l彈塑性階段：FPy<FP<FPu塑性區(qū)從跨中向兩端擴展，從上、下邊緣向中性軸擴展，但上、下兩個塑性區(qū)尚未連成一片，彈性區(qū)仍是連續(xù)的。第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.3靜定梁的極限荷載塑性階段：FP=FPu=4Mu/l破壞機構(gòu)計算靜定梁極限荷載的步驟：確定塑性鉸的數(shù)量。靜定梁出現(xiàn)1個塑性鉸即形成破壞機構(gòu)；

確定塑性鉸的位置。靜定梁的塑性鉸總是出現(xiàn)在M/Mu取得最大值的截面；利用平衡條件求該截面的彎矩并令其等于極限彎矩，就可以求得極限荷載。第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日例12-1已知變截面簡支梁的極限彎矩為Mu(x)=Mu(1+0.5x/l)，梁受全跨均布荷載作用，求荷載集度的極限值qu。x2+4lx-2l2=0梁各截面的彎矩破壞機構(gòu)=12.3靜定梁的極限荷載第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.3靜定梁的極限荷載例：已知屈服應(yīng)力為。求極限荷載。Pl/2l/210020解：極限彎矩為梁中最大彎矩為令，得也可列虛功方程Pu/2Pu本例中，截面上有剪力，剪力會使極限彎矩值降低，但一般影響較小，可略去不計。第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載12.4.1單跨超靜定梁的極限荷載

梁端部的彎矩絕對值最大，因此最先達到屈服值My。矩形截面α=1.5，則極限荷載為屈服荷載的2倍，可見超靜定梁在彈性極限后的承載潛力很大。逐漸加載法（增量法）第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載12.4.1單跨超靜定梁的極限荷載如果僅僅要求計算極限荷載，則無須追蹤上述過程，而只要考慮極限狀態(tài)下的平衡條件。破壞機構(gòu)

靜力法。由問題的對稱性極易判斷破壞機構(gòu)中三個塑性鉸的位置，并畫出極限狀態(tài)下的彎矩圖，利用平衡條件便可求得極限荷載。虛功法（機動法）。與靜力法相同，首先判斷塑性鉸的位置，確定破壞機構(gòu)圖。然后假設(shè)虛位移狀態(tài)：虛功原理第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載12.4.1單跨超靜定梁的極限荷載梁中的塑性鉸總是出現(xiàn)在M/Mu取得最大值的截面，可能出現(xiàn)塑性鉸的位置有：固定支座或滑動支座；集中力的作用點；階梯型梁的截面改變處等。例12-2試求圖示變截面梁的極限荷載。破壞機構(gòu)1破壞機構(gòu)3破壞機構(gòu)2真實窮舉法第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載Pl/3l/3Pl/3例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為Mu。解：1.用窮舉法求解共有三種可能的破壞機構(gòu)：（1）A、B出現(xiàn)塑性鉸（2）A、C出現(xiàn)塑性鉸（3）B、C出現(xiàn)塑性鉸第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載12.4.2連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁極限荷載，補充兩條假定：

梁的各跨均為等截面桿（不同跨的桿件截面可以不同）；

梁所受的荷載方向都相同。

工程中的連續(xù)梁大部分都滿足這兩條假定。單跨獨立破壞相鄰跨聯(lián)合破壞在各跨等截面、荷載方向相同條件下，破壞機構(gòu)只能在各跨內(nèi)獨立形成。可能的破壞機構(gòu)第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例12-3試求圖示連續(xù)梁極限荷載(q為荷載因子)，各跨截面極限彎矩從左到右依次為1.5Mu、Mu、2Mu。12.4超靜定梁的極限荷載12.4.2連續(xù)梁的極限荷載作各跨獨立破壞時的彎矩圖，圖中的三個矩形給出了各截面正負彎矩的界限。所作的彎矩圖既不能越出這一界限，又必須在足夠多的點上達到這一界限，以保證形成破壞機構(gòu)。在支座截面，極限彎矩應(yīng)取左右兩個值中的較小者。第三跨彎矩圖中，如截面E彎矩達到極限值，截面F的彎矩必然超出極限值，這是不允許的第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.4超靜定梁的極限荷載12.4.2連續(xù)梁的極限荷載其次，利用平衡條件反求各跨的破壞荷載。第一跨：第二跨：第三跨：例12-3試求圖示連續(xù)梁極限荷載(q為荷載因子)，各跨截面極限彎矩從左到右依次為1.5Mu、Mu、2Mu。第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日例：求圖示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別是等截面的,AB、BC跨的極限彎矩為Mu，CD跨的極限彎矩為3Mu。解：先分別求出各跨獨自破壞時的可破壞荷載.（1）AB跨破壞時0.8PPPq=P/aaaaaa2a0.8PPPq=P/a（2）BC跨破壞時0.8PPPq=P/a（3）CD跨破壞時有三種情況：第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日例：求圖示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別是等截面的,AB、BC跨的極限彎矩為Mu，CD跨的極限彎矩為3Mu。0.8PPPq=P/aaaaaa2a0.8PPPq=P/a解：先分別求出各跨獨自破壞時的可破壞荷載.（1）AB跨破壞時（2）BC跨破壞時（3）CD跨破壞時0.8PPPq=P/a0.8PPPq=P/a第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.5比例加載的一般定理及其應(yīng)用12.5.1可接受荷載和可破壞荷載單向機構(gòu)條件：結(jié)構(gòu)的整體或部分出現(xiàn)了數(shù)量足夠的塑性鉸，形成了破壞機構(gòu)，能在荷載作用下發(fā)生單向運動，荷載通過其運動作正功。

平衡條件：結(jié)構(gòu)整體或任一局部均滿足靜力平衡條件。

彎矩極限條件：結(jié)構(gòu)任一截面的彎矩的絕對值均不大于該截面的極限彎矩（設(shè)截面受正負彎矩時的極限彎矩相等）。極限狀態(tài)必須滿足的三個條件：可破壞荷載可接受荷載第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.5比例加載的一般定理及其應(yīng)用12.5.2一般定理定理1：極小定理(上限定理)極限荷載是所有可破壞荷載中的最小值極限荷載是所有可接受荷載中的最大值極限荷載值只有一個確定值。定理2：極大定理(下限定理)定理3：惟一性定理12.5.3定理的應(yīng)用確定極限荷載的上下限。求極限荷載的近似值。求極限荷載的精確值。

窮舉法：列出所有破壞機構(gòu)，對這些機構(gòu)求相應(yīng)的可破壞荷載，根據(jù)極小定理，其中最小的就是極限荷載試算法：選擇最有可能的破壞機構(gòu)，依據(jù)惟一性定理，如該荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載即為極限荷載第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.5比例加載的一般定理及其應(yīng)用12.5.3定理的應(yīng)用求極限荷載的精確值。

窮舉法：列出所有破壞機構(gòu)，對這些機構(gòu)求相應(yīng)的可破壞荷載，根據(jù)極小定理，其中最小的就是極限荷載試算法：選擇最有可能的破壞機構(gòu)，依據(jù)惟一性定理，如該荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載即為極限荷載

以例12-2為例。如果在對機構(gòu)1求得FP1=7.5Mu/l后，作相應(yīng)彎矩圖，可發(fā)現(xiàn)它滿足彎矩極限條件，這樣就可肯定FPu=FP1，而不必再考慮其他破壞機構(gòu)了。另一方面，容易判斷相應(yīng)于機構(gòu)2和3的彎矩圖都不滿足彎矩極限條件。第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.5比例加載的一般定理及其應(yīng)用12.5.3定理的應(yīng)用例12-4對圖示超靜定梁：（1）考慮圖示破壞機構(gòu)，求極限荷載的近似值。（2）求極限荷載的精確值。解：(1)作圖12.13b所示破壞機構(gòu)的彎矩圖可破壞荷載由平衡條件還可求得彎矩最大值為將荷載q+和彎矩圖均按比例縮減可接受荷載極限荷載的近似值誤差只有0.8%第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日12.5比例加載的一般定理及其應(yīng)用12.5.3定理的應(yīng)用例12-4對圖示超靜定梁：（1）考慮圖示破壞機構(gòu)