第四章靜態(tài)場(chǎng)中的邊值問(wèn)題

第四章靜態(tài)場(chǎng)中的邊值問(wèn)題第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解邊界值問(wèn)題的方法：

1、理論計(jì)算方法◆解析法◆近似計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法圖解法

2、場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究方法：◆直接測(cè)量法◆電模擬法第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.1問(wèn)題的分類一、分布型問(wèn)題(1)已知場(chǎng)源分布，求解電場(chǎng)或磁場(chǎng)。(2)已知電場(chǎng)（或電位）、磁場(chǎng)分布，反推場(chǎng)源。二、邊值型問(wèn)題邊值型問(wèn)題究竟是什么？邊值型問(wèn)題都有哪些類型？怎樣保證邊值型問(wèn)題有且僅有惟一解？（惟一性定理）第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日靜態(tài)場(chǎng)邊值型問(wèn)題：已知場(chǎng)量（或其位函數(shù)）在場(chǎng)域邊界上的值（含法向?qū)?shù)），求解場(chǎng)域內(nèi)部任一點(diǎn)的場(chǎng)量。定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。銜接條件：在場(chǎng)域內(nèi)，媒質(zhì)參數(shù)必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質(zhì)的分界面）或漸變（是空間坐標(biāo)的函數(shù)）。在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場(chǎng)量（或其位函數(shù)）應(yīng)滿足邊值關(guān)系，在偏微分方程定解問(wèn)題中常被稱為銜接條件。第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題解滿足3個(gè)條件：(1)

對(duì)于場(chǎng)域的內(nèi)點(diǎn)（既非邊界點(diǎn)又不在媒質(zhì)分界面上的點(diǎn)）泛定方程成立；(2)

在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場(chǎng)量（或位函數(shù)）邊值關(guān)系（銜接條件）成立；(3)

對(duì)于場(chǎng)域的邊界點(diǎn)，場(chǎng)量（或其位函數(shù)）符合給定的邊界條件。第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

邊值型問(wèn)題的分類方法（以電位函數(shù)的泊松方程為例）第一類邊值問(wèn)題的特征：已知全部邊界上任一點(diǎn)的電位。為狄里赫利問(wèn)題（Dirichlet）。第二類邊值問(wèn)題的特征：已知全部邊界上任一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為諾埃曼問(wèn)題(Neumann)。第三類邊值問(wèn)題的特征是：已知部分邊界上任一點(diǎn)的電位和另一部分邊界上任一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為混合邊值問(wèn)題(Robbin)。

第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.2惟一性定理惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一

【反證法】

假如存在兩個(gè)滿足相同邊界條件的不同解和令在場(chǎng)域內(nèi)，u滿足拉普拉斯方程在邊界上，要么（第一類邊值問(wèn)題），要么（第二類邊值問(wèn)題）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

因?yàn)椋⑶襲（或u的法向?qū)?shù)）沿處處等于0，上式簡(jiǎn)化為即u梯度等于0。故在場(chǎng)域內(nèi)，u=常數(shù)。對(duì)于第一類邊值型問(wèn)題，電位不可躍變，故在場(chǎng)域內(nèi)，u=0，從而。故對(duì)于第一類邊值問(wèn)題，電位的解惟一對(duì)于第二類邊值型問(wèn)題，u未必是0，可以是任一常數(shù)，但對(duì)于電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量來(lái)說(shuō)，解仍然是惟一的，因?yàn)槌?shù)的梯度恒等于0。第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：①第一、二、三類邊值問(wèn)題是適定的因?yàn)樗鼈儗?duì)邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。求解時(shí)先判斷問(wèn)題的邊界條件是否足夠，當(dāng)滿足必要條件時(shí)，則可斷定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等價(jià)的。②定理說(shuō)明：只要能夠找一個(gè)滿足邊界條件的位函數(shù)，且這個(gè)位函數(shù)又滿足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.2直角坐標(biāo)中的分離變量法◆分離變量法：通過(guò)偏微分方程求解邊值問(wèn)題?！艋舅枷耄?/p>

1.要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少分段地與坐標(biāo)面相合；

2.在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中的每個(gè)函數(shù)分別僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。

3.通過(guò)分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解。第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日◆二維問(wèn)題的分離變量過(guò)程：若邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)表示，則在直角坐標(biāo)系中求解，以二維的拉普拉斯方程為例，求解電位函數(shù)，設(shè)，電位函數(shù)滿足（4-1）待求的電位函數(shù)用二個(gè)函數(shù)的乘積表示為 （4-2）將式（4-2）代入式（4-1），得第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日用除上式，得

（4-3）上式成立的唯一條件是二項(xiàng)中每項(xiàng)都是常數(shù)，故有 （4-4） （4-5）為分離常數(shù)，是待定的常數(shù)，須滿足（4-6）第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日1.當(dāng)時(shí)方程（4-4）和(4-5)的解為方程（4-1）的解為

(4-7)2.當(dāng),時(shí),

方程（4-5）和(4-6)的解為

(4-8) (4-9a）或第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

所以

(4-10a)

或

(4-10b)3.當(dāng),時(shí)，同理可得（4-11a）（4-11b）綜上所述：

a：當(dāng)時(shí)，偏微分方程（4-1）的通解為

第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

(4-12a）或（4-12b）b.當(dāng)時(shí)，偏微分方程（4-1）的通解為

（4-13a）第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

或（4-13b）拉普拉斯方程的解：

然后根據(jù)所給定的邊界條件定出滿足所有邊界條件的具體問(wèn)題的解（包括待定常數(shù)和分離常數(shù)）。第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法對(duì)二維平面場(chǎng)，即與無(wú)關(guān)的情形，拉普拉斯方程變?yōu)椋?-25）

設(shè)解具有，代入上式化簡(jiǎn)（4-26）要上式對(duì)所有的r、值成立，須每項(xiàng)都等于常數(shù)。令第一項(xiàng)等于（），得第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

（4-27） （4-28）1.當(dāng)時(shí)，（4-27）的解為2.當(dāng)時(shí)，（4-27）的解為如果所討論的空間包含從0→2，因?yàn)楸仨毷菃沃档?，即，?-29）第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

（4-28）式變?yōu)椋?-30）即（4-31）式（4-31）為歐拉方程，場(chǎng)與無(wú)關(guān)。1.當(dāng)時(shí)，（4-31）式的解為

2.當(dāng)時(shí)，（4-31）式的解為（4-32）第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)中二維場(chǎng)的的通解

（4-33）由于（K為整數(shù)），所以（4-33）式中的第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法討論場(chǎng)問(wèn)題與坐標(biāo)無(wú)關(guān)時(shí)：與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的拉普拉斯方程為（4-47）令，代入上式得第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日得到關(guān)于和的常微分方程：（4-48）（4-49）引入一個(gè)新的自變量，有式（4-49）可變?yōu)椋?-50）

這是勒讓德方程。第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于x的變化范圍從1到-1的情況，勒讓德方程有一個(gè)有界解（4-51）稱為勒讓德多項(xiàng)式。方程（4-48）是歐拉方程，其解為方程（4-47）的通解為（4-52）該式的系數(shù)由問(wèn)題的邊界條件確定。第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日勒讓德多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：勒讓德多項(xiàng)式具有正交性第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.5鏡像法◆鏡像法的基本思想：

1.電場(chǎng)區(qū)域外某個(gè)位置上，有一假想鏡像電荷。

2.電荷的引入不改變所求電場(chǎng)區(qū)域的場(chǎng)方程，鏡像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)產(chǎn)生的電場(chǎng)等效。

3.鏡像電荷代替導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)后：

首先所求電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)方程不變，

其次給定的邊界條件仍滿足，第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

由靜電場(chǎng)的惟一性定理：用鏡像電荷代替后所解得的電場(chǎng)必是唯一正確的解?！翮R像法的實(shí)質(zhì)：

將靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)界空間中計(jì)算電荷分布的電場(chǎng)問(wèn)題。在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點(diǎn)電荷或線電荷（二維平面場(chǎng)情況）。鏡像法往往比分離變量法簡(jiǎn)單，容易寫(xiě)出所求問(wèn)題的解，但它只能用于一些特殊的邊界情況。第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵：

如何確定像電荷鏡像電荷的確定應(yīng)應(yīng)遵循以下兩條原則：

（根據(jù)唯一性定理）(1)所有的鏡像電荷必須位于所求的場(chǎng)域以外的空間中。(2)鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小由滿足場(chǎng)域邊界上的邊界條件來(lái)確定。第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

一、靜電場(chǎng)中的鏡像法1.平面邊界的鏡像法【例4-6】

設(shè)在無(wú)限大導(dǎo)體平面()附近有一點(diǎn)電荷，與平面距離為，導(dǎo)體平面是等位面，假設(shè)其電位為零，如圖4-6所示。求上半空間中的電場(chǎng)。

（a）（b）圖4-6平面邊界的鏡像法第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

【解】

1.在的上半空間內(nèi)，除點(diǎn)電荷外，電位滿足拉普拉斯方程；

2.由于導(dǎo)體接地，所以在處，。

3.設(shè)導(dǎo)體平面不存在，在平面與點(diǎn)電荷對(duì)稱地放置一點(diǎn)電荷(相反電荷)，則平面仍為零電位面。

4.在的上半空間內(nèi)，圖4-6（a）和圖4-6（b）具有相同的電荷分布。根據(jù)唯一性定理，圖4-6（a）中上半空間的電位分布與圖4-6（b）的上半空間電位分布相同?？捎煤推湎耠姾?)構(gòu)成的系統(tǒng)來(lái)代替原來(lái)的邊值問(wèn)題。上半空間內(nèi)任意點(diǎn)的電位為第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

（4-66）由（4-66）式，可求出平面導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為（4-67）導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷為（4-68）可見(jiàn)：導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷恰好等于所設(shè)置的鏡像電荷。

第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

【例4-7】如圖4-7所示，為無(wú)限大接地的導(dǎo)電（平面（電壁），在處有一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的細(xì)直導(dǎo)線，導(dǎo)線與y軸平行且經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)（0，0，h）點(diǎn)，求上半空間（）場(chǎng)的電位函數(shù)。

圖4-7線電荷的平面鏡像第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

【解】電壁的作用可以等效為：鏡像位置處的鏡像線電荷（線電荷密度不變，但極性相反）。設(shè)細(xì)直導(dǎo)線的電荷密度為，則鏡像線電荷密度為。這時(shí)，帶電體系在空間的電位為式中不能選為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。同樣第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

式中，所以第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.角形區(qū)域的鏡像法圖4-9所示為相交成直角的兩個(gè)導(dǎo)體平面AOB附近的一個(gè)點(diǎn)電荷的情形，也可以用鏡像法求解。

圖4-9點(diǎn)電荷對(duì)角形區(qū)域的鏡像第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日q在OA面的鏡像為在點(diǎn)的-q，又q在OB面的鏡像為在點(diǎn)的-q，這樣并不能使OA和OB平面成為等位面。若在點(diǎn)處再設(shè)置一個(gè)電荷q，則一個(gè)原點(diǎn)電荷和三個(gè)像電荷共同的作用將OA和OB保持相等電位能滿足原來(lái)的邊界條件，故所求區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的電位函數(shù)不僅相交成直角的兩個(gè)導(dǎo)體平面間的場(chǎng)可用鏡像法求解，所有相互成的兩塊半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面間的場(chǎng)都可用鏡像法求解，像電荷個(gè)數(shù)為。例如，兩塊半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面角域內(nèi)點(diǎn)電荷的像電荷，如圖4-10所示。第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

圖4-10夾角為兩塊半無(wú)限大接地導(dǎo)板的鏡象第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日3.球面邊界的鏡像法基本思想：當(dāng)一個(gè)電荷位于導(dǎo)體球面附近時(shí)，導(dǎo)體球面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，球外任一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問(wèn)題仍用鏡像電荷來(lái)代替分界面的感應(yīng)電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)，出發(fā)點(diǎn)仍是在所求解區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足方程和邊界條件。第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

【例4-9】

設(shè)一點(diǎn)電荷與半徑為a的接地導(dǎo)體球心相距，如圖4-11所示。試推導(dǎo)球外的電位函數(shù)。

圖4-11點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

【解】:

接地后，球上只剩下同異號(hào)的感應(yīng)電荷。球面上感應(yīng)電荷分布在面對(duì)的一側(cè)密度較大，設(shè)想在點(diǎn)有一個(gè)鏡像電荷，點(diǎn)是在OP1線上偏離球心的一點(diǎn)，設(shè)與球心距離為。根據(jù)鏡像法，將原導(dǎo)體球移去，及像電荷在原球面上任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零。即在球面上取兩特殊點(diǎn)，上式轉(zhuǎn)化為第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日由以上兩個(gè)方程解得球外任意點(diǎn)的電位為式中，第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日這樣可求得電場(chǎng)的分量為時(shí)，球面上的感應(yīng)電荷密度為第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日球面上總感應(yīng)電量為

導(dǎo)體上總的感應(yīng)電荷量等于像電荷的電荷量。在上述問(wèn)題中，若導(dǎo)體球不接地，球面上除了分布有感應(yīng)負(fù)電荷外，還分布有感應(yīng)正電荷，且球面的凈電荷為零，此時(shí)導(dǎo)體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個(gè)鏡像電荷；且此必須放在球心處，如圖4-12所示。第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

圖4-12點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像這種情況下球外任意點(diǎn)的電位為此時(shí)球的電位等于在球面上產(chǎn)生的電位它等于球不存在時(shí)在O點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的電位。第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.柱面邊界的鏡像法

【例4-10】線電荷密度為的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為，如圖4-13所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。

圖4-13線電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的電場(chǎng)作用下，柱面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷。柱外空間任一點(diǎn)的電位等于線電荷和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位的迭加