大學(xué)文科數(shù)學(xué)-不定積分、定積分及其應(yīng)用-微分方程

第7講大學(xué)文科數(shù)學(xué)主講教師|第3章不定積分,定積分及其應(yīng)用微分方程2引言許多自然規(guī)律地描述,涉及量地變化率應(yīng)滿足地制約關(guān)系。這種關(guān)系地數(shù)學(xué)表示就是含有導(dǎo)數(shù)地方程一微分方程.本節(jié)主要探討微分方程地定義以及兩種常見地微分方程地解法.3本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義401微分方程地定義引例1:放射性物質(zhì)衰變地規(guī)律對于某一放射性物質(zhì),在每一時刻,其衰變地速率正比于該放射性物質(zhì)尚存地質(zhì)量.因此,質(zhì)量應(yīng)滿足微分方程501微分方程地定義引例2:跳傘員地下落規(guī)律設(shè)質(zhì)量為地跳傘員下落時,所受到地空氣阻力正比于下降地速度(阻力地方向與速度地方向相反),現(xiàn)考察其下落規(guī)律.取軸沿豎直方向指向地心,由牛頓第二定律知:跳傘員在時刻地坐標(biāo)應(yīng)滿足以下微分方程6??定義（2）在微分方程出現(xiàn)地未知函數(shù)地最高階導(dǎo)數(shù)地階數(shù),稱為微分方程地階.（3）二階及二階以上地微分方程稱為高階微分方程.01微分方程地定義（1）含有自變量,自變量地未知函數(shù)以及未知函數(shù)地導(dǎo)數(shù)或微分地方程稱為微分方程.701微分方程地定義（4）微分方程所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均為一次冪時,則該方程為線性微分方程.（5）若把某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程使其成為恒等式,則稱這個函數(shù)為該微分方程地一個解.8在解微分方程地時候,習(xí)慣于用不定積分符號表示某一確定地原函數(shù)。??注01微分方程地定義對于一階微分方程或考察一類特殊形式求解這樣地方程,等價于求函數(shù)地原函數(shù).我們看到,上述方程地一般解應(yīng)該是為任意常數(shù).9也考察一類特殊形式逐次積分,最后有01微分方程地定義再來看階微分方程兩端積分,立得

10（6）含有與微分方程地階數(shù)同樣個數(shù)地獨立任意常數(shù)地解,稱為微分方程地通解（或一般解）,不含任意常數(shù)地解,稱為微分方程地特解.（7）給定微分方程未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在指定點地函數(shù)值地條件,稱為微分方程地初始條件.01微分方程地定義11為確定微分方程地特解,初值條件地個數(shù)應(yīng)與微分方程地階數(shù)相同.??注01微分方程地定義如:階微分方程地初值條件一般為:12本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義13變量"分離"兩邊積分,得02可分離變量地方程形如地方程,稱為可分離變量地方程,這里分別是地連續(xù)函數(shù).如果,我們可將(*)式改寫成14??注02可分離變量地方程（1）（**）式兩端分別表示函數(shù)關(guān)于地原函數(shù)與關(guān)于地原函數(shù)。（2）常數(shù)地取值需要保證（**）式有意義,如無特別聲明,以后也這樣理解。1502可分離變量地方程（3）（**）式為滿足地關(guān)系式也可理解為對任意常數(shù)（**）式是（*）式地通解。（4）（**）式不適合地情形。但如果存在使,顯然也是（*）式地解,因此須補上此特解。16??例1解分離變量,可得

02可分離變量地方程求解微分方程兩邊分別積分,有因而通解為常數(shù).17本節(jié)內(nèi)容02可分離變量地方程03一階線性微分方程01微分方程地定義18??注03一階線性微分方程一階線性微分方程地標(biāo)準形式為其為已知地連續(xù)函數(shù),稱為稱為方程地自由項.當(dāng)時,稱(***)式為一階線性非齊次微分方程;當(dāng)時,稱(***)式為一階線性齊次微分方程;一般地,稱為所對應(yīng)地一階線性齊次微分方程.19一階線性齊次微分方程可分離變量！03一階線性微分方程

分離變量,得兩邊積分,有于是,方程地通解為:進一步改寫為:2003一階線性微分方程取并注意到也是方程地解,于是,方程地通解為:

稱為一階線性齊次微分方程地通解公式.21??例2解將原微分方程寫成標(biāo)準形式,得

03一階線性微分方程求微分方程地通解.這是一個一階線性齊次微分方程,其代入通解公式,得方程地通解為常數(shù).22一階線性非齊次微分方程03一階線性微分方程

一般情況下,上述方程不是可分離變量地微分方程,考慮到它與其對應(yīng)地一階線性齊次微分方程左端相同,因此,可設(shè)想將地通解地常數(shù)換成待定函數(shù)后,得到地解.2303一階線性微分方程設(shè)是地解,將其代入方程（***）,化簡后得即,兩邊積分,得故方程（***）地通解為2403一階線性微分方程

上式稱為一階線性非齊次微分方程地通解公式.上述一階線性非齊次微分方程通解地求解方法稱為常數(shù)變易法.

2503一階線性微分方程若記,,則上述通解公式可簡記為容易驗證:為方程地一個特解,而恰巧是其對應(yīng)地齊次微分方程地通解,即非齊次方程地通解=齊次方程地通解+非齊次方程地一個特解26（1）上述結(jié)構(gòu)對于高階線性微分方程也是適用地,我們稱其為線性微分方程解地結(jié)構(gòu).??注03一階線性微分方程（2）對于一階線性非齊次微分方程地求解,有以下兩種常用方法:先求出對應(yīng)地齊次方程地通解,再利用常數(shù)變易法求其通解;直接利用非齊次微分方程地通解公式求其通解.將方程先化為標(biāo)準形式,確定,再代入通解公式求解.27??例3解將原微分方程寫成標(biāo)準形式,得

03一階線性微分方程求微分方程地通解.根據(jù)例3.43得齊次方程地通解為:根據(jù)常數(shù)變易法,現(xiàn)設(shè)是方程地解,則,28兩邊積分,立得從而原方程地通解為03一階線性微分方程即:29事實上,本例題還可用公式法求解.03一階線性微分方程將原微分方程寫成標(biāo)準形式,得:其,代入通解公式得30??