2022-2023學(xué)年浙江省杭州市示范名校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．3．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．4．已知角A滿足，則的值為（）A． B． C． D．5．已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)6．在中，且，則等于()A． B． C． D．7．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．8．直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．9．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．12．已知一扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的圓心角大小為______.13．三階行列式中，元素4的代數(shù)余子式的值為________.14．若，則的值為_______.15．若三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.16．若圓弧長度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長，則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，，若恒成立，求的取值范圍.18．已知向量，，.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，，求的值．19．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期及值域；（2）求方程的解.20．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）對(duì)于，，定義．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

先求得集合的補(bǔ)集，然后求其與集合的交集，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)傾斜角為；當(dāng)時(shí)，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力.3、C【解析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型4、A【解析】

將等式兩邊平方，利用二倍角公式可得出的值．【詳解】，在該等式兩邊平方得，即，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查二倍角正弦公式的應(yīng)用，一般地，解三角函數(shù)有關(guān)問題時(shí)，遇到，常用平方法來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．5、A【解析】

因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，一次項(xiàng)系數(shù)為，所以與負(fù)相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項(xiàng)系數(shù)小于零，所以與負(fù)相關(guān)，故選A.6、A【解析】

在△ABC中，利用正弦定理與兩角和的正弦化簡已知可得，sin（A+C）＝sinB，結(jié)合a＞b，即可求得答案．【詳解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，考查了大角對(duì)大邊的性質(zhì)，屬于中檔題．7、C【解析】

根據(jù)題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧?，根?jù)正四棱柱的特點(diǎn)利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧虻酌嬲叫螌?duì)角線長為：外接球半徑外接球體積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正棱柱外接球體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正棱柱的特點(diǎn)確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.8、D【解析】

由直線方程可得直線恒過點(diǎn)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【詳解】直線恒過點(diǎn)則，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與線段有交點(diǎn)確定直線斜率取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點(diǎn)，從而找到直線與線段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).9、B【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，則∵扇形的面積為，半徑為1，

∴故選B10、B【解析】

利用直線的方程過點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.12、【解析】

利用扇形的弧長除以半徑可得出該扇形圓心角的弧度數(shù).【詳解】由扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關(guān)系可知，該扇形的圓心角大小為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查扇形圓心角的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、6【解析】

利用代數(shù)余子式的定義直接求解.【詳解】三階行列式中，元素4的代數(shù)余子式的值為：.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三階行列式中元素的代數(shù)余子式的求法，屬于中檔題.14、【解析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、1【解析】

根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的邊長得出弧長，利用弧長公式即可得到圓心角.【詳解】因?yàn)閳A的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑，所以圓弧長所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查弧長公式，根據(jù)弧長求圓心角的大小，關(guān)鍵在于熟記圓的內(nèi)接正六邊形的邊長.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）代入求得，根據(jù)與的關(guān)系可求得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；驗(yàn)證后可得最終結(jié)果；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消的方法求得，可知，從而得到的范圍.【詳解】（1）由題知：，……①令得：，解得：當(dāng)時(shí)，……②①-②得：∴，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列經(jīng)驗(yàn)證滿足（2）由（1）知：即【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、裂項(xiàng)相消法求和，關(guān)鍵是能夠利用與的關(guān)系證得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式，屬于常規(guī)題型.18、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或【解析】

（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和三角恒等變換的公式化簡可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（2）由（1），根據(jù)，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．【詳解】（1）由題意，向量，，所以，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）函數(shù)的解析式為，可得，解得，又由，根據(jù)正弦定理，可得，因?yàn)?，所以，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，可得，即，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角恒等變換的應(yīng)用，以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.19、(1)最小正周期為,值域?yàn)椋?2),或,【解析】

先用降冪公式,再用輔助角公式將化簡成的形式,再求最小正周期,值域與的解.【詳解】(1)故最小正周期為,又,故,所以值域?yàn)?故最小正周期為,值域?yàn)?(2)由(1),故得化簡得,所以或,.即,或,.故方程的解為：,或,【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)公式,一般方法是先將三角函數(shù)化簡為的形式,再根據(jù)題意求解相關(guān)內(nèi)容.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，通過基本不等式求得的最小值，則.【詳解】（1）或所求不等式解集為：（2）當(dāng)時(shí)，可化為：又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、恒成立問題的求解問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是通過