2023屆湖南省長沙雅禮中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．已知為銳角，角的終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別在線段上運(yùn)動，則的周長的最小值為()A． B． C． D．4．在中，，，，則B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不對5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是A． B． C． D．6．在中，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且，則的最大值是（）A． B． C． D．7．如圖，已知四面體為正四面體，分別是中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（）.A． B． C． D．8．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則.其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④9．在中，角的對邊分別是，若，則角的大小為（）A．或 B．或 C． D．10．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.若對任意，都有恒成立，則的取值范圍是_____12．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．13．用列舉法表示集合__________．14．在中，，則______．15．在中，若，，，則________．16．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則等于__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，，R，求的值．18．已知為常數(shù)且均不為零，數(shù)列的通項(xiàng)公式為并且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）設(shè)是數(shù)列前項(xiàng)的和，求使得不等式成立的最小正整數(shù).19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：．20．等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．某科研課題組通過一款手機(jī)APP軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表周跑量（km/周）人數(shù)100120130180220150603010（1）在答題卡上補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:注:請先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑（2）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本的平均數(shù)為，試求樣本的中位數(shù)（保留一位小數(shù)），并用平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征估計(jì)該市跑步愛好者周跑量的分布特點(diǎn)（3）根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價(jià)格不一樣，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價(jià)格（單位：元）250040004500根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)多少元?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

直接由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式.2、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得和，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用兩角差的余弦公式求得的值．【詳解】角的終邊過點(diǎn)，，又為銳角，由，可得故選B．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查兩角差的余弦，是基礎(chǔ)題．3、C【解析】

分別求出設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時(shí)，的周長取得最小值，為，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出答案.【詳解】過兩點(diǎn)的直線方程為設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則，解得即，同理可求關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時(shí)的周長取得最小值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性的簡單應(yīng)用，試題的技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題.4、C【解析】試題分析：由正弦定理得，得，結(jié)合得，故選C．考點(diǎn)：正弦定理.5、B【解析】

可先確定奇偶性，再確定單調(diào)性．【詳解】由題意A、B、C三個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除D，A中在上不單調(diào)，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題時(shí)可分別確定函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)．6、B【解析】

根據(jù)分析得出點(diǎn)的軌跡為線段，結(jié)合圖形即可得到的最大值.【詳解】如圖：取，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且，根據(jù)平行四邊形法則，點(diǎn)的軌跡為線段，則的最大值是，在中，，，，，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查利用向量方法解決平面幾何中的線段長度最值問題，數(shù)形結(jié)合處理可以避免純粹的計(jì)算，降低難度.7、A【解析】

通過補(bǔ)體，在正方體內(nèi)利用截面為平行四邊形,有，進(jìn)而利用基本不等式可得解.【詳解】補(bǔ)成正方體，如圖.∴截面為平行四邊形,可得，又且可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面的位置關(guān)系，截面問題，考查了空間想象力及基本不等式的應(yīng)用，屬于難題.8、B【解析】

利用空間中線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)即可作答.【詳解】垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行,故①對；平行于同一條直線的兩個(gè)平面相交或平行，故②錯(cuò)；若，，，則或與為異面直線或與為相交直線，故④錯(cuò)；若，則存在過直線的平面，平面交平面于直線，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，故③?故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中，直線與平面平行或垂直的判定與性質(zhì),以及平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

通過給定條件直接利用正弦定理分析，注意討論多解的情況.【詳解】由正弦定理可得：，，∵，∴為銳角或鈍角，∴或．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，難度較易.出現(xiàn)多解時(shí)常借助“大邊對大角，小邊對小角”來進(jìn)行取舍.10、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因?yàn)锳B＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因?yàn)镻A＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因?yàn)镻D為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

代入求得，利用遞推關(guān)系式可得，從而可證得和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得通項(xiàng)；根據(jù)恒成立不等式可得到不等式組：，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：由得：是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，恒成立，解得：即的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，從而分別求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)所需的單調(diào)性得到不等關(guān)系.12、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個(gè)扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求,∴P==.13、【解析】

先將的表示形式求解出來，然后根據(jù)范圍求出的可取值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，此時(shí)或，則可得集合：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求解給定區(qū)間中變量的值，難度較易.14、【解析】

由已知求得，進(jìn)一步求得，即可求出．【詳解】由，得，即，，則，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用兩角和的正切公式作三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值．15、2；【解析】

利用余弦定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：解得：或（舍）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.16、50【解析】由題意可得，=，填50.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)斜率為，則直線的方程為，利用圓的弦長公式，列出方程求得的值，即可得到直線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)向量的運(yùn)算，求得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及向量的運(yùn)算，求得，得到答案．【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為．.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，，因?yàn)?，，所以，，所以，，所以．?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為：，因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以．直線與圓交于點(diǎn)，，設(shè)，，由得，，所以，；因?yàn)?，，所以，，所以，，所以．綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記圓的弦長公式，以及聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．18、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據(jù)、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．，，，，，．聯(lián)立解得：，．（2）由（1）可得：，，由，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法、不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

(1)連接與與交于點(diǎn)，在利用中位線證明平行.(2)首先證明平面，由于平面，證明得到結(jié)論.【詳解】證明：（1）連接與交于點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為中點(diǎn)因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因?yàn)榈酌鏋榱庑危运?，，，平面，平面所以平面因?yàn)槠矫妫浴军c(diǎn)睛】本題考查直棱柱得概念和性質(zhì)，考查線面平行的判定定理，考查線面垂直的判定定理，考查了學(xué)生的邏輯能力和書寫能力，屬于簡單題20、（1）（2）【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.因?yàn)樗?解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝21、(1)見解析；(2)中位數(shù)為29.2，分布特點(diǎn)見解析；(3)3720元【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)和頻率之間的關(guān)系計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖利用中位數(shù)兩邊頻率相等，列方程求出中位數(shù)的值，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出休閑跑者，核心跑