2023屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，，則數(shù)列前9項(xiàng)的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．2973．已知直線平面，直線平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）．（）（）（）（）A．（）與（） B．（）與（） C．（）與（） D．（）與（）4．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知：，則（）A． B． C． D．6．的值為（）A． B． C． D．7．P是直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+28．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．39．如圖所示，等邊的邊長(zhǎng)為2、為的中點(diǎn)，且也是等邊三角形，若以點(diǎn)為中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后到達(dá)的位置，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的取值范圍是（)A． B． C． D．10．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，若A．45 B．54C．63 D．27二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則當(dāng)最大時(shí)，________.12．已知，則的最小值是_______.13．不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．在中，，是邊上一點(diǎn)，且滿足，若，則_________.15．一個(gè)扇形的圓心角是2弧度，半徑是4，則此扇形的面積是______.16．已知，則____________________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在△ABC中，cosC＝，角B的平分線BD交AC于點(diǎn)D，設(shè)∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的長(zhǎng)．18．已知：，，，，求的值.19．在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若為邊的中點(diǎn)，求證:;（2）若，求面積的最大值.20．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)、、，若成立，則稱、具有“性質(zhì)”.（1）試問(wèn)：①，0是否具有“性質(zhì)2”；②（），0是否具有“性質(zhì)4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)（）均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，且，使得、具有“性質(zhì)2018”，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】試題分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出，，的圖象，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．【方法點(diǎn)睛】一般一個(gè)方程中含有兩個(gè)以上的函數(shù)類型，就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解．2、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合條件可得，進(jìn)而求得.再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示出，即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，解得，因而，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

∵直線l⊥平面α，若α∥β，則直線l⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，即(1)正確；∵直線l⊥平面α，若α⊥β，則l與m可能平行、異面也可能相交，故(2)錯(cuò)誤；∵直線l⊥平面α，若l∥m，則m⊥平面α，∵直線m?平面β，∴α⊥β；故(3)正確；∵直線l⊥平面α，若l⊥m，則m∥α或m?α，則α與β平行或相交，故(4)錯(cuò)誤；故選D.4、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)式利用基本不等式求出的最小值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題以及一元二次不等式的解法，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為最值來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．5、A【解析】

觀察已知角與待求的角之間的特殊關(guān)系，運(yùn)用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解.【詳解】令，則，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于觀察出已知角與待求的角之間的特殊關(guān)系，屬于中檔題.6、B【解析】由誘導(dǎo)公式可得，故選B.7、D【解析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題目.8、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．9、D【解析】

設(shè)，，則，則，將其展開(kāi)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)得到，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍.【詳解】設(shè)，，則，則，由于，則，則．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.10、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1又由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得S9【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及利用等差數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)正切的和角公式，將用的函數(shù)表示出來(lái)，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【詳解】故可得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)有故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.12、3【解析】

根據(jù)，將所求等式化為，由基本不等式，當(dāng)a=b時(shí)取到最小，可得最小值?！驹斀狻恳?yàn)椋?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，并且要注意取最小值時(shí)等號(hào)能否成立。13、【解析】

由參變量分離法可得知，由二倍角的余弦公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，故只需.令，，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式有解的問(wèn)題，涉及二倍角余弦公式以及二次函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】

記,則,則可求出,設(shè),,得,,故結(jié)合余弦定理可得,解得的值,即可求,進(jìn)而求的值.【詳解】根據(jù)題意,不妨設(shè),,則,因,所以,設(shè),由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.15、16【解析】

利用公式直接計(jì)算即可.【詳解】扇形的面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，注意扇形的面積公式有兩個(gè)：，其中為扇形的半徑，為圓心角的弧度數(shù)，為扇形的弧長(zhǎng)，可根據(jù)題設(shè)條件合理選擇一個(gè)，本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

分子、分母同除以，將代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)二倍角公式及同角基本關(guān)系式，求出cos∠ABC，進(jìn)而可求出sinA；（2）根據(jù)正弦定理求出AC，BC的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【詳解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，則sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又?AC2?21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式、同角基本關(guān)系式和正弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力，是中檔題．18、【解析】

先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，，然后結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】解：由，，，，所以，，則.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，重點(diǎn)考查了兩角和的余弦公式，屬基礎(chǔ)題.19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）1.【解析】

（1）證法一：根據(jù)為邊的中點(diǎn)，可以得到向量等式，平方，再結(jié)合余弦定理，可以證明出等式；證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達(dá)式，利用，可以證明出等式；（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，利用已知，再結(jié)合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出來(lái)，結(jié)合重要不等式，再利用三角形面積公式可得，令設(shè)，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】（1）證法一：由題意得①由余弦定理得②將②代入①式并化簡(jiǎn)得，故；證法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∵，∴，則，故；（2）解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，又已知，則，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為1．解法二：設(shè)則由，故.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）①具有“性質(zhì)2”，②不具有“性質(zhì)4”；（2）；（3）存在.【解析】

（1）①根據(jù)題意需要判斷的真假即可②根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍，由存在性問(wèn)題成立轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.【詳解】（1）①因?yàn)?，成?所以，故，0具有“性質(zhì)2”②因?yàn)椋O(shè)，則設(shè)，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不成立，故（），0不具有“性質(zhì)4”.（2）因?yàn)椋?具有“性質(zhì)2”所以化簡(jiǎn)得解得或.因?yàn)榇嬖诩?，使得成立，所以存在及使即?令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需滿足即可，解得.（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2018”，則，即證明在任意2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足：.證明：由，令，由萬(wàn)能公式知，將等分成2018個(gè)小區(qū)間，則這2019個(gè)數(shù)必然有兩個(gè)數(shù)