求點到平面距離地基本方法

（完整版）求點到平面距離地基本方法求點到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中閆小川求點到平面的距離是立體幾何中的一個基本問題，是高考的一個熱點，也是同學學習中的一個難點.本文通過對一道典型例題的多種解法的探討，概括出求點到平面的距離的幾種基本方法.例（2005年福建高考題）如圖1，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB,F為CE上的點，且BF1平面ACE。（I）求證：AE1平面BCE；（II）求二面角B—AC—E的大??；（川）求點D到平面ACE的距離。F.圖1（I）、（I）解略，（111）解如下:一1、直接法利用兩個平面垂直，直接作出點到平面的距離.如圖2,Aep,Pla,aP=l,AM11,則AMla。AM為點A到平面a的距離.文案大全圖2圖2（完整版）求點到平面距離地基本方法在RtA在RtAADG中，DH=A?DGAG<6 3解：如圖3,過點A作AG二5。，連結(jié)DG,CG，則平面ADG〃平面BCE,???平面BCEI平面ACE,???平面ADG±平面ACE,作DH1AG,垂足為H，則DH1平面ACE。???DH是點D到平面ACE的距離.二、平行線法如圖4,Ael,l〃a,B為l上任意一點，AM1a,BN1a,則AM=BN。點A到平面a的距離轉(zhuǎn)化為平行于平面a的直線l到平面a的距離，再轉(zhuǎn)化為直線l上任意一點B到平面a的距離.文案大全

（完整版）求點到平面距離地基本方法B圖4解：如圖5,過點D作DM至AE，連結(jié)CM，則DM〃平面ACE,點D到平面ACE的距離轉(zhuǎn)化為直線DM到平面ACE的距離，再轉(zhuǎn)化為點M到平面ACE的距離。作MN1CE,垂足為N,???平面CEM1平面ACE,???MN1平面ACE,二MN是點M到平面ACE的距離。在RACEM中，MN=%=子=孚圖5三、斜線法利用平面的斜線及三角形相似，轉(zhuǎn)化為求斜線上的點到平面的距離.如圖6、7,Ia=O,A,Bel,AM1a,BN1a,若A0=t,則AM=t?BN.點A到平面a的距離轉(zhuǎn)化為求直線i上的點BOB到平面a的距離。文案大全（完整版）求點到平面距離地基本方法圖6圖6圖7解:如圖8,BD與AC的交點為Q，即BD平面ACE=Q,???DQ=BQ,，點D到平面ACE的距離與點B到平面ACE的距離相等。???平面BCE±平面ACE,BF1平面ACE,???BF是點B到平面ACE的距離.在RtABCE中，BF=BCBE=2^2=空.CE 、：6 3圖8四、線面角法如圖9,OP為平面a的一條斜線，AeOP,OA=l,OP與a所成的角為0,A到平面a的距離為d，則由斜線和平面所成的角的定義可知，有d=lsin0。經(jīng)過OP與a垂直的平面與a相交，交線與OP所成的銳角就是OP與a所成的角0，這里并不強求要作出A在a上的射影B，連結(jié)OB得0.文案大全

（完整版）求點到平面距離地基本方法解：如圖10,丁BF1平面ACE,???平面BDF1平面ACE,/BQF為DQ與平面ACE所成的角為0，則點D到平面ACE的距離d=DQsin9.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值為立,得sin0=工6???D到平面ACE的距離d=<2*三6=空

3 3圖10五、二面角法如圖11,。P=/,a、p所成二面角的大小為0,A￡P(guān),AB11,AB=a,點A到平面a的距離AO=d,則有d=asin0。0也就是二面角的大小，而不強求作出經(jīng)過AB的二面角的平面角.文案大全（完整版）求點到平面距離地基本方法圖11解：如圖12,???平面ACDn平面ACE=AC,DQu平面ACD,DQ1AC,設(shè)二面角D—AC—E的大小為9，則點D到平面ACE的距離d=DQsin9.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值為名,得sin9=藥。3 3二D到平面ACE的距離d=<2義丑=2^-.3 3圖12六、體積法解：如圖13,過點E作EO1AB交AB于點O,OE=1.???二面角D—AB—E為直二面角，???EO，平面ABCD。設(shè)D到平面ACE的距離為h,^,VDACE=VEACD,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".??1s.h=1S ?EO.3AACE 3