概率論與數(shù)理統(tǒng)計剖析

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程論文淺談概率論的思想發(fā)展及應(yīng)用能源科學與工程學院于曉瀅1130240415哈爾濱工業(yè)大學摘要概率論是一門歷史悠久的學科，關(guān)于它的起源眾說紛紜，不過大家都承認的是，概率論是研究偶然、隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學理論,它擁有著自己獨立的研究問題和有代表性的思想方法，并在現(xiàn)代生活的多個方面發(fā)揮著作用，擁有著不可替代的地位。本文將總結(jié)概率論中所應(yīng)用的幾種典型思想方法及演變，并陳述概率論在當代生活中的幾種必要應(yīng)用，讓我們對這一學科有一個更深刻的了解。目錄TOC\o"1-3"\h\u14966摘要 I31295第1章概率論的誕生 1144691.1前言 1299701.2誕生與發(fā)展 128163第2章概率論的思想 2310642.1古典概型思想 2120452.2幾何概型思想 262082.3分析概率論 2187932.4分析研究的深入 332212.5公理化思想 310312第3章概率論思想的應(yīng)用 4107483.1前言 4228263.2與數(shù)學建模思想的融合 4221953.3臨床診斷的應(yīng)用 512903.4不等式的證明 527805結(jié)論 726575參考文獻 8第1章概率論的誕生1.1前言英國數(shù)學家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾經(jīng)說過:“任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開來,我確信,沒有哪一種科目比數(shù)學的損失更大?！泵恳环N理論的產(chǎn)生都有其歷史背景與歷史淵源，了解概率論的產(chǎn)生的歷史背景，有助于了解對該學科研究對象、研究方法的深入理解，有利于總結(jié)成功和失敗的經(jīng)驗教訓，為后人的研究奠定堅實的基礎(chǔ)，方便對這一學科做出更大的貢獻。1.2誕生與發(fā)展人們對偶然現(xiàn)象的規(guī)律性探求，經(jīng)歷了很長的時期，但因受到生產(chǎn)力水平和科技水平的限制，研究很難繼續(xù)進行下去，速度緩慢，以至人們一直認為偶然現(xiàn)象的規(guī)律性是“神秘且難以捉摸”的，直到唯物辯證法產(chǎn)生,人們才開始從研究偶然性與必然性這一對矛盾的對立統(tǒng)一中加深了認識。在文藝復(fù)興時期，工業(yè)革命逐步蔓延，隨著工業(yè)、航海等事業(yè)的不斷發(fā)展，各類問題隨之出現(xiàn)，急需一門分析研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學學科，這時概率論應(yīng)時應(yīng)景地出現(xiàn)了。對于起源，很多人說是源于賭博其實這并不全面，以研究賭博問題著稱的惠更斯在他1657年出版的《論賭博中的計算》集子中有一段很深刻的話:“在任何場合我認為如果讀者仔細研究對象,當可注意到你所處理的不只是賭博而已,其中實際上包含著很有趣很深刻的理論的基礎(chǔ)?！睆氖呤兰o開始到現(xiàn)在，概率論一步步地發(fā)展：有貝努利在大數(shù)定律的證明及對獨立重復(fù)試驗的研究；德莫哇佛爾在正態(tài)分布概型和中心極限定理方面的貢獻；法國博物學家蒲豐對于探討概率的統(tǒng)計定義和概率的幾何定義所作出的貢獻。雖然期間也存在著許多波折，但在如切比雪夫，馬爾科夫，李雅普諾夫等多名優(yōu)秀科學家所做的不懈研究中，概率論朝著越來越好的方向發(fā)展，直至目前，作為數(shù)學的分支,概率論的高度抽象性、廣泛應(yīng)用性、嚴謹性的特點愈來愈明顯地顯示出來，并在不同方面、不同領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用為人們的生產(chǎn)生活做出了巨大貢獻。第2章概率論的思想2.1古典概型思想從賭博問題開始討論的初級概率論，主要是研究有限個基本事件且每個事件出現(xiàn)的概率相等，但是通?？紤]的是一個事件反復(fù)出現(xiàn)的情況，當N非常大的時候并不便于計算，不過大家發(fā)現(xiàn)大量重復(fù)進行實驗時，某一事件出現(xiàn)的頻率趨近于某一固定值，體現(xiàn)了“大數(shù)定律”的思想，該種思想由貝努利證明。繼貝努利后，棣莫弗也有了重大貢獻，如定義了獨立事件的乘法定理，給出了二項分布，斯特林公式等等。2.2幾何概型思想現(xiàn)實生活中人們必須把等可能思想應(yīng)用到含無窮多個事件的情況，就產(chǎn)生了幾何概率。其中較著名的就是“蒲豐投針試驗”。關(guān)于這個問題不得不提到的就是“貝葉斯定理”假定A1，A2，...，Ak是兩兩不相容事件，且對一切i有P(Ai)>0，則對任意事件B，有:此時P(Ai)叫做先驗概率，而P(Ai|B)是后驗概率。他的方法是，在計算一個事件的概率時，使用了人們對這個事件概率的一個估計，即先驗概率。2.3分析概率論自牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分以來,18世紀的數(shù)學家對這一領(lǐng)域進行了深入的研究，從而形成了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特征的數(shù)學領(lǐng)域?？梢哉f分析是統(tǒng)治18世紀數(shù)學的特殊領(lǐng)域。在這其中，最有代表性的拉普拉斯，他極大地發(fā)展了概率論,在研究概率論時他運用了微分方程,特征函數(shù)，積分等分析工具。1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理論》，開創(chuàng)了概率論發(fā)展的新階段,實現(xiàn)了概率論研究由組合技巧向分析方法的過渡?！陡怕实姆治隼碚摗访鞔_地給出了概率的古典定義(事件的概率等于有利于事件的結(jié)果數(shù)與所有可能的結(jié)果數(shù)之比);獨立事件的加法、乘法法則，推廣了伯努利在大數(shù)定律方面的工作,導出了二項分布漸近于正態(tài)分布的中心極限定理。2.4分析研究的深入法國的數(shù)學家,尤其是拉普拉斯和泊松,他們對概率論的研究很快被人們了解,而且在俄國取得了進一步的發(fā)展。保險業(yè),人口統(tǒng)計,對觀測的數(shù)學處理以及數(shù)學發(fā)展內(nèi)在邏輯的需要,這些都促進了概率論在俄國的發(fā)展。從雅各布·伯努利到切比雪夫以及馬爾可夫等數(shù)學家,他們對大數(shù)定律的研究實質(zhì)上是對大數(shù)定律條件的推廣,即擴大了滿足大數(shù)定律的隨機變量序列的范圍,其科學價值在于發(fā)現(xiàn)了大數(shù)定律的一般條件,而這揭示了平均值的統(tǒng)計穩(wěn)定性,即隨機的規(guī)律性。2.5公理化思想最早對概率論進行公理化嘗試的是俄國數(shù)學家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學家米澤斯。1927年伯恩斯坦發(fā)表了一篇“論概率論的公理化基礎(chǔ)”的文章，同年的《概率論》第一版出版。該書給出了一個詳細的概率論公理體系。伯恩斯坦在這里引進了三個公理:（1）概率的可比較性公理（2）不相容事件公理(3)事件組合公理，他們構(gòu)造了概率論的整個大廈。從20世紀20年代開始，通過對概率論基本概念—事件與概率的仔細分析，人們發(fā)現(xiàn)事件的運算與集合的運算完全類似概率與測度有相同的性質(zhì)。在這其中成就最卓越的是原蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫，他通過函數(shù)論的方法和概念，建立大數(shù)定律的充分必要條件。法國數(shù)學家萊維(1886-1971)，原蘇聯(lián)數(shù)學家辛欽，日本數(shù)學家伊藤清(1915-)等又在公理化基礎(chǔ)上取得了一系列理論突破。如，萊維從樣本函數(shù)角度研究隨機過程的思想，辛欽證明了重對數(shù)律，20世紀40年代伊藤清率先對布朗運動引進隨機積分由此建立了概率論的一個新分支—隨機分析學。簡言之，公理化就是將概率概念從具體頻率解釋抽象出來，然后再從公理化系統(tǒng)回到現(xiàn)實世界之中。這樣，概率論的應(yīng)用范圍大大拓寬了。第3章概率論思想的應(yīng)用3.1前言概率論現(xiàn)在是一門應(yīng)用相當廣泛的學科，其思想方法滲透到自然科學和社會科學等多個方面，因為它屬于數(shù)學的一門重要分支，所以與數(shù)學的相關(guān)知識聯(lián)系相當緊密，所以接下來將簡單介紹概率論在醫(yī)學，不等式證明，數(shù)學公式及定理的推導中的妙用。3.2與數(shù)學建模思想的融合數(shù)學建模是用數(shù)學符號表示出來的一個或一組數(shù)學表達式，以及圖表、圖像、圖示等，描述現(xiàn)實系統(tǒng)特征及其內(nèi)在聯(lián)系的一種抽象工具其中包括問題的簡化與假設(shè)，模型的建立與求解，模型的分析與評價及模型的檢驗與應(yīng)用。而在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐中，模型的應(yīng)用無處不在，而這些模型中有很多是概率模型，可以說，概率模型是來源于實踐又最快地應(yīng)用于實踐。概率論的出現(xiàn)主要與賭資分配有關(guān)，舉一個簡單的情形:甲、乙兩個人賭博，投擲一枚均勻硬幣，猜正反面.兩人各拿出100元，共200元，約定誰先勝3局，則甲贏得全部賭注200元.因為某種原因，在賭完3局之后，賭局被中斷，此時甲2勝1負，問這200元賭資該如何分配，才算公平.這個問題可以在第一次課時留給大家思考，而在學完等可能概型及全概率公式之后，給出兩種計算方法.對于等可能概型，甲、乙兩人只要賭完5局，一定有人可以贏得賭資.已賭3局，后2局有4種可能結(jié)果，這些結(jié)果中甲贏的有3種，乙贏只有1種，所以賭注的公平分配應(yīng)按3:1的比例，即甲得150元，乙得50元.對于全概率公式，若甲、乙進行第4局，甲勝和甲負構(gòu)成完備事件組，甲勝則贏得全部賭資，若負，甲在第5局勝的概率也為勝，所以甲贏得全部賭資的概率為，結(jié)果與使用等可能概型的方法一致.3.3臨床診斷的應(yīng)用問題：常用檢測手段用于人群普查時為什么失靈”對一些病人的診斷中，醫(yī)生根據(jù)病人的口述及表現(xiàn)，再加上臨床經(jīng)驗，作出大體的判斷，再進一步做化驗或檢查，依據(jù)結(jié)果，就能做出較準確的判斷。此時，化驗或檢查的準確率相當高。但是在人群普查時，這些化驗或檢查手段往往失靈”，增加患者心理負擔，也使人懷疑這些檢測手段是否可靠。事實上，由貝葉斯公式，這些問題都能得到圓滿解答。例：假如患肺結(jié)核的人通過胸透能被診斷出患肺結(jié)核病的概率是0.95，而沒有患肺結(jié)核的人通過胸透被誤診為患肺結(jié)核的概率是0.002。又設(shè)某人群患肺結(jié)核的概率是0.001,現(xiàn)在對該人群進行普查，若有一人進行胸透檢查被診斷為患肺結(jié)核，試問他確實患肺結(jié)核的概率是多少?解:設(shè)事件D表示事實上確患肺結(jié)核”，事件T表示駒透檢查診斷他患肺結(jié)核”。依題意可知:用全概率公式得：用貝葉斯公式得:通過實驗表明，即使檢查手段的靈敏度和特異度都較高，檢測結(jié)果的準確率也只有32%。其實，許多有經(jīng)驗的醫(yī)師其實都是不自覺的概率統(tǒng)計學者。臨床醫(yī)學的特點決定了它與概率統(tǒng)計的關(guān)系。所以，如果一位青年醫(yī)務(wù)工作者或者醫(yī)學科學工作者能夠掌握概率統(tǒng)計的方法，并把它作為工具來分析實驗結(jié)果或臨床中遇到的一些問題，那么他一定可以在短時間內(nèi)成為較有經(jīng)驗的醫(yī)師或醫(yī)學科學家。3.4不等式的證明證明不等式是初等數(shù)學的難點，如果能靈活運用概率的概念、公式和性質(zhì)，恰當?shù)貥?gòu)造事件或者隨機變量，就可以證明一些不等式，達到意想不到的效果。下面舉一個實例來說明這個問題。利用概率論的思想方法證明等式、不等式等數(shù)學公式有一定的優(yōu)越性，其關(guān)鍵問題是根據(jù)式子的具體形式如何構(gòu)造出概率模型，再利用概率的有關(guān)概率分布、性質(zhì)、中心極限定律、大數(shù)定律等來解決問題，同時我們還發(fā)現(xiàn)，運用概率論思想來證明問題時其方法的簡捷、獨特，值得我們恰當利用概率思想分析以前的數(shù)學問題，尋求解法創(chuàng)新，有助于加深對概率知識的理解和掌握。結(jié)論概率論是數(shù)學學科的一門重要分支，憑借獨特的思想性和廣泛的應(yīng)用性越來越受到人們的青睞，隨著科技的發(fā)展和社會的進步，概率論不僅僅局限于數(shù)學方面的單一應(yīng)用，它的作用在更多的方面得到了發(fā)揮，如臨床診斷，統(tǒng)計學，大數(shù)據(jù)等，從數(shù)據(jù)中挖掘出更多值得利用的東西，更大的程度上給人們的生活帶來了更多方便。在日常教學中，概率論這門課一般在大學里開設(shè)，有了高等數(shù)學的工具，概率論的計算有了解決方法，而在這門課的學習中，最重要的是思想的理解與應(yīng)用，所以對于學生來說想學好這門課，重中之重是思想方法的掌握，這樣才算是找到進入概率論的最好捷徑，切記不要單純地背公式，最后根本沒有掌握概率論的核心，最后只是徒勞；因此對于老師來說較重要的也是將教學重點放在思想的傳授，在課堂教學中較重要的是所用定理的證明的“推導”在推導中讓學生更好地領(lǐng)會所用的思想方法，這樣才能使學生更好地理解。參考文獻[1]徐國君.例談概率論方法之應(yīng)用[J].中學數(shù)學研究,2010,02:23-25.[2]杜卓勛.概率論思想的發(fā)展歷程淺述[J].考試周刊,2011,63:64-65.[3]馬發(fā)強,李建,郭曉敏.概率論中的數(shù)學分析思想[J].才智,2008,19:215.[4]張宏廣.概率論思想的妙用[J].承德民族師專學報,2008,02:10-11.[5]余宏旺.概率論思想方法在代數(shù)中的應(yīng)用[J].安徽農(nóng)業(yè)技術(shù)師范學院學報,2001,01:54-56.[6]阮丹,徐賜文.概率論方法證明數(shù)學公式的若干實例[J].中央民族大學學報(自然科學版),2013,S1:94-97.[7]侯嫚丹.數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究[J].高師理科學刊,2013,03:76-79.[8]張艷娥,孫建平,曹艷霞.臨床診斷中的概率思想[J