平穩(wěn)地震地面運動改進金井清譜的相關(guān)函數(shù)模型

平穩(wěn)地震地面運動改進金井清譜的相關(guān)函數(shù)模型摘要：胡聿賢平穩(wěn)地震地面運動譜模型是對Kanai-Tajimi模型的一種改進。在本文中，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明胡聿賢譜是將基巖地震動模擬為過濾白譜過程，經(jīng)具有某種特性的線性單自由度土層濾波后而形成的，從而在物理上解釋了胡聿賢模型的合理性。研究了低頻截止頻率的作用，推導(dǎo)出胡聿賢模型的相關(guān)函數(shù)的表達式。本文的結(jié)果可為結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)時域分析提供基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：地震地面運動；隨機過程；Kanai-Tajimi譜；胡聿賢譜；相關(guān)函數(shù)Acorrelationfunctionmodeltoearthquake-inducedgroundmotionprocesswithamodifiedKanai-TajimispectrumAbstract:AmodifiedKanai-Tajimispectralmodel,calledHuspectralmodel,isanalyzedinthispaper.TheKanai-Tajimimodelismodifiedbythefrequencyparameteroverthelowfrequencyrange.Itisprovedthattheearthquake-inducedgroundmotionmodelwithHuspectralmodelisessentiallythefilteredcolornoiseprocess.Thismodelcanconsiderthecharacteristicsofbedrockandoverlayingsoilandcansolvetheconvergenceproblemofthedisplacementandvelocityvarianceofthegroundmotion.ThestudyshowsthatthemodifiedKanai-Tajimispectralmodelisdistinctinphysicalmeaningandpracticallyreasonable.Furthermore,thefrequencyparametertorestrainthelowfrequencycontentofearthquakegroundmotionisdiscussedandtheautocorrelationfunctionofmodifiedHuspectralmodelisdeducedbycorrelationtheoryandstatespacemethodintimedomaininthispaper.Theseresultsprovideabasisforrandomresponseanalysisandreliabilityassessmentoftheseismicstructures.Keywords:earthquake-inducedgroundmotions;stochasticprocess;Kanai-Tajimispectralmodel;Huspectralmodel;correlationfunction引言強地震往往造成巨大的經(jīng)濟損失和人員傷亡，主要原因是土木工程設(shè)施無法抵御強烈的地震地面運動，在地震過程中發(fā)生破壞甚至倒塌，從而形成非常嚴重的震害。所以如果要減輕地震災(zāi)害，最為有效的手段就是努力提高工程結(jié)構(gòu)的實際抗震能力，在經(jīng)濟許可的條件下優(yōu)化結(jié)構(gòu)的抗震性能。這就要求人們必須對結(jié)構(gòu)在地震作用下的反應(yīng)做出較為精確的分析，首先需要對地震地面運動進行估計并做出描述。由于地震的震源、傳播路徑和結(jié)構(gòu)場地中存在著不確定性，強地震引發(fā)的地面運動被認為是隨機過程。因此結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)也必然是隨機過程，采用概率方法分析結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)并評估結(jié)構(gòu)的抗震可靠度顯得更為合理。強地震動的發(fā)生屬于稀有事件，通過大量樣本建立它的統(tǒng)計特性是不可能實現(xiàn)的。比較現(xiàn)實的做法是給出結(jié)構(gòu)場地地震地面運動過程的隨機模型，通過強震觀測資料擬合出該模型在不同場地條件下的參數(shù)，并以此作為結(jié)構(gòu)隨機激勵的依據(jù)。地面運動隨機模型通常具有明確的物理概念，一般用功率譜密度函數(shù)描述。美國學(xué)者Housner首先將隨機過程模型用于描述地震地面運動[1]，采用的模型等價于白噪聲。后來在地震工程中獲得廣泛使用的隨機地震動模型是由日本學(xué)者Kanai和Tajimi發(fā)展的過濾高斯白噪聲模型[2][3]，稱為Kanai-Tajimi模型（金井清模型）。Kanai-Tajimi模型將基巖地震動模擬為白噪聲過程，覆蓋土層簡化為某種特性的單自由度線性濾波器，因而它具有明確的物理意義。但是Kanai-Tajimi譜也存在著明顯缺陷，主要是過分夸大了地震動的低頻成分，用于低頻結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析時可能得到不合理的結(jié)果。此外，Kanai-Tajimi譜在零頻處存在奇異點，不滿足連續(xù)兩次可積的條件，由它導(dǎo)出的地面速度和地面位移的方差無界。為了克服Kanai-Tajimi模型的不足之處，國內(nèi)外一些學(xué)者對Kanai-Tajimi模型進行了改進，提出了多種解決方案，如胡聿賢模型[4][5]、Clough-Penzien模型[6]、歐進萍模型[7]等。在這些模型的基礎(chǔ)上，國內(nèi)一些學(xué)者又做出了進一步的修正，如杜修力[8]、賴明[9]、李春祥[10]等人提出的修正方案。在眾多改進Kanai-Tajimi模型的方案中，由我國學(xué)者胡聿賢提出的改進模型在保持了Kanai-Tajimi模型優(yōu)點的情況下較好地克服了其不足之處，與強震觀測記錄統(tǒng)計的結(jié)果符合得比較好，數(shù)學(xué)表達上也比較簡潔，是描述地震地面運動過程隨機特性的一個較為理想的模型。本文試圖通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)解釋胡聿賢譜在物理上的意義，研究低頻截止頻率的作用，給出胡聿賢模型的相關(guān)函數(shù)表達式，為結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)時域分析提供方便。1改進的Kanai-Tajimi模型Kanai-Tajimi平穩(wěn)地震地面運動譜密度模型表示為(1)式中，和為覆蓋土層濾波器的參數(shù)；為基巖擾動白噪聲的強度。Kanai-Tajimi譜本質(zhì)上是經(jīng)過一次過濾的白噪聲過程，采用的濾波器方程為(2)(3)式中，為強度為的白噪聲過程。胡聿賢譜對Kanai-Tajimi譜的改進方案為(4)式中，為低頻截止頻率；參數(shù)n可取1、2或3，一般取n=3，因為只有這樣才能滿足連續(xù)兩次可積條件。與Kanai-Tajimi譜相比，胡聿賢譜僅修正了Kanai-Tajimi譜的低頻部分，基本上沒有改變其高頻部分。顯然，當n=3時由胡聿賢加速度功率譜模型導(dǎo)出的地面運動的速度和位移都是有限的。所以胡聿賢譜既保留了Kanai-Tajimi譜的優(yōu)點，又克服了它的不足。Kanai-Tajimi譜沒有反映基巖地震動的真實頻譜特性，因為它將基巖地震加速度模擬為白譜，顯然不符合地震的物理本質(zhì)。如果基巖地震加速度取為某種有色譜，例如其譜密度具有如下形式：(5)則可以證明：通過濾波器方程（2）和（3）求得的地震地面加速度過程的譜密度具有式（4）的胡聿賢譜的形式。這樣，胡聿賢譜可以理解為：具有式（5）譜密度形式的基巖地震動隨機過程，經(jīng)過覆蓋土層單自由度線性濾波器過濾后的地面加速度過程的譜密度即為胡聿賢譜。實際地震發(fā)生時，基巖加速度過程不可能為白譜，而只能是具有某種特征的色譜，所以胡聿賢譜比Kanai-Tajimi譜更符合地震的物理本質(zhì)。2低頻截止頻率的作用既然胡聿賢譜是有色譜（5）過濾后的結(jié)果，那么基巖地震加速度過程又具有什么特征呢？基巖地震動過程（5）具有兩個譜參數(shù)，分別為和，它們同譜幅值的關(guān)系示于圖1中。從圖1可以看出，基巖地震加速度過程的譜密度函數(shù)（5）同白譜相比，只是在低頻部分有所不同，而在中高頻部分是基本相同的。當頻率超過大約2倍時，它同白譜幾乎沒有差別。所以式（5）的基巖地震動功率譜模型相當于對白譜做出的修正，它削減了白譜的低頻含量，僅改變白譜在低頻范圍內(nèi)的能量分布情況，而譜參數(shù)則決定了對白譜進行修正的范圍，即大致在0~的范圍內(nèi)對白譜做出修正。FrequencyAmplitudeFrequencyAmplitudeS/S0E-39E-05E-45FrequencyAmplitudeS/S0圖1基巖地震動過濾白譜（n=3）圖2胡聿賢功率譜模型（n=3）下面證明式（5）的譜密度函數(shù)是一種過濾白譜過程。取n=3，考慮如下的濾波方程：(6)(7)式中，為強度為的白噪聲過程。令，。將和代入式（7），注意到，得傳遞函數(shù)為(8)所以的譜密度為(9)由于(10)可得(11)顯然，當n=3時式（11）與式（5）完全相同。所以基巖地震加速度可以被看作一種過濾白譜過程，而胡聿賢譜是過濾白譜再過濾一次的結(jié)果，即為兩次過濾白譜。在基巖地震動過濾白譜（5）中，表征基巖擾動加速度的強度，取決于地震釋放能量的大小，一般可由最大地震地面加速度均值確定；參數(shù)控制基巖地震動的低頻截止范圍，越大，地震低頻含量就越少，它在物理上應(yīng)該同震源機制存在關(guān)系。一般而言，地震發(fā)生時基巖地震動的高頻含量是比較豐富的，經(jīng)過土介質(zhì)過濾后，高頻含量被大量濾掉，而某些長周期的成分被放大了。從這個意義上講，基巖地震動模型（5）僅修正白譜的低頻部分而不改變其高頻部分不僅在數(shù)學(xué)上非常簡潔，在物理上也具有一定的合理性。因為被土介質(zhì)過濾后，基巖地震動傳播到場地后其高頻分量的影響已經(jīng)不是很大了。關(guān)于低頻截止頻率的取值，一些學(xué)者做過專門的研究。洪峰等[11]利用實際地震地面加速度記錄，采用最小二乘法擬合胡聿賢譜的譜參數(shù)，給出了兩種場地條件下參數(shù)的取值，結(jié)果見表1。王君杰等[13]基于臺灣SMART-1臺網(wǎng)三次地震記錄的N-S分量，計算了其加速度功率譜密度和位移功率譜密度的統(tǒng)計值，通過非線性擬合技術(shù)對這些統(tǒng)計值進行了擬合，得到了胡聿賢譜模型的參數(shù)取值，結(jié)果列于表2中。表1胡聿賢功率譜模型的參數(shù)（洪峰的結(jié)果，n=3）場地條件(rad/s)(rad/s)軟土場地1.57410.251.7421.006中等土場地1.07617.072.1080.7845表2胡聿賢功率譜模型的參數(shù)（王君杰的結(jié)果，n=3）地震編碼(×10-3)(rad/s)(rad/s)E-053.3016.772.650.63E-3955.006.973.600.40E-4514.0510.591.510.56王君杰根據(jù)三次實際地震擬合出的胡聿賢譜模型如圖2所示，從中可以看出對地面運動功率譜形狀的影響。3基巖地震動過程的時域特征式（4）的功率譜密度函數(shù)描述了胡聿賢譜的頻域特性，而時域特性主要通過相關(guān)函數(shù)體現(xiàn)。胡聿賢模型是對基巖地震加速度過濾白譜進行再次過濾的結(jié)果，而基巖地震加速度則可以通過式（6）和式（7）的過濾方程得到。引入狀態(tài)向量，將式（7）寫成狀態(tài)方程形式(12)式中，，，和都具有對稱性，式（12）所對應(yīng)的特征方程為(13)可解得特征值為，，(14)對應(yīng)的復(fù)振型為，，(15)可以證明，各復(fù)振型之間具有如下的加權(quán)正交性：時作復(fù)模態(tài)變換(16)將式（16）代入式（12），分別前乘，和，并利用復(fù)振型的正交性，可得到三個相互解耦的方程：(17)式中，。方程（17）的解為(18)復(fù)振型反應(yīng)、的相關(guān)函數(shù)為(19)式中“*”表示共軛復(fù)數(shù)。將式（18）代入式（19），交換期望與積分運算的次序，得(20)式中，，為白噪聲的相關(guān)函數(shù)。由復(fù)振型變換（16）和復(fù)振型表達式（15），可知體系的反應(yīng)為(21)反應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為(22)將式（20）代入式（22），可得(23)考慮到，經(jīng)積分運算得到基巖過濾白譜的相關(guān)函數(shù)為(24)4胡聿賢模型的相關(guān)函數(shù)如果基巖地震加速度過程具有式（11）的功率譜密度和式（24）的相關(guān)函數(shù)，則將它作為輸入，把覆蓋土層視為單自由度體系，再經(jīng)過一次過濾即可得到胡聿賢模型，濾波方程為式（2）和式（3）。將濾波方程（2）和（3）改寫為如下的狀態(tài)方程形式：(25)式中，為具有式（24）的相關(guān)函數(shù)的過濾白噪聲過程；為狀態(tài)向量；、和為系數(shù)矩陣和向量，按下式計算：，，方程（25）的解向量可分解為各階復(fù)振型的反應(yīng)，即(26)式中，和分別為第j階復(fù)振型和復(fù)振型反應(yīng)。根據(jù)文獻[15]，地面加速度的相關(guān)函數(shù)為(27)其中(28)(29)式中，為復(fù)頻率，，。而復(fù)振型反應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為(30)將式（24）代入式（30），積分后得：(31)式中各系數(shù)由下列各式確定，，其中，對于有，，，，，將式（31）代入式（28）和式（29），利用Euler變換，整理后得(32)(33)式中各系數(shù)的計算公式分別為，，其中K=,L=,M=將式（32）代入式（33）和式（27），整理后得(34)式中，、、、、為系數(shù)，由下列各式確定，，式（34）即胡聿賢譜的相關(guān)函數(shù)，它與式（4）的譜密度函數(shù)（取n=3）構(gòu)成傅立葉變換對。5結(jié)論(1)胡聿賢對金井清譜的改進方案具有明確的物理意義，改進的金井清譜（胡聿賢譜）實質(zhì)上表述的是一種過濾有色噪聲過程。胡聿賢譜使得功率譜密度函數(shù)在零點不再有奇異點，保證了地面速度方差和位移方差的有界性，該模型更加符合地震動的實際情況。(2)胡聿賢功率譜中的頻率控制參數(shù)將金井清譜的低頻分量合理縮減，參數(shù)值越大，對地面運動的低頻含量的削弱就越強。這使得胡聿賢功率譜不僅可用于中高頻結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析，而且還可用于低頻結(jié)構(gòu)的反應(yīng)分析。(3)相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)過程重要的時域特征，通過相關(guān)函數(shù)可以非常方便的計算出隨機過程的均方等統(tǒng)計量。胡聿賢譜為兩次過濾白噪聲過程，其相關(guān)函數(shù)可以通過濾波方程在時域內(nèi)求解出來，物理概念比較清晰。可為結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)時域分析提供基礎(chǔ)。參考文獻：HousnerG.W.Characteristicsofstrongmotionofearthquakes.BSSA,1947,37(1):19-31KanaiK.Semi-empiricalformulafortheseismiccharacteristicsofthegroundmotion.BulletinoftheEarthquakeResearchInstitute,UniversityofTokyoTajimiH.Astatisticalmethodofdeterminingthemaximumresponseofabuildingstructureduringanearthquake.2ndWCEE,Tokyo,胡聿賢,周錫元.彈性體系在平穩(wěn)和平穩(wěn)化地面運動下的反應(yīng).中國科學(xué)院土木建筑研究所地震工程研究報告集第一集,北京:科學(xué)出版社,1962金家和,胡聿賢,周錫元.關(guān)于“彈性系統(tǒng)在平穩(wěn)和平穩(wěn)化地面運動下的反應(yīng)”一文的討論.中國科學(xué)院工程力學(xué)研究所地震工程研究報告集第二集,北京:科學(xué)出版社,1965CloughRW,PenzienJ.Dynamicsofstructures.2ndedition,NewYork,McGraw-Hill,