2022-2023學(xué)年山西省忻州市知源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省忻州市知源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.以為公比的等比數(shù)列中，，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件

B．充分而不必要條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略2.函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）

A.

B.0

C.－1

D.參考答案：A略3.設(shè)，，，則a，b，c三個(gè)數(shù)從大到小的排列順序?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由題意得．∵，∴．又，∴．∴．選B．

4.若集合則集合=（

）A．（-2，+∞） B．（-2，3） C．

D．R參考答案：C略5.已知M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，=+，則△ABM和△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的三角形法則．【分析】作出圖形，則兩三角形的面積比等于兩三角形高的比，轉(zhuǎn)化為．【解答】解：設(shè)，，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADME，延長(zhǎng)EM交BC與F，則EF∥AB，∴==．故選：A．6.設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合為A．

B．

C．

D．參考答案：

因?yàn)閳D中陰影部分表示的集合為，由題意可知，所以，故選7.為非零向量，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（

）

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略8.設(shè)全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，則A∩?UB=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{|x＞1}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【分析】由全集R及B，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，∴?UB={x|x≤1}，則A∩?UB={x|0＜x≤1}，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．9.設(shè)集合集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為

（

）

A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：答案：C10.已知,則的最小值為 A．12 B．24 C．36 D．48參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是兩曲線的公共點(diǎn)，若，則此橢圓的離心率為_(kāi)_____________．參考答案：略12.已知，且，則m等于__________。參考答案：13.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的體積是_________cm3.參考答案：54Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為：54.

14.已知，且為第二象限角，則的值為

.

參考答案：略15.如圖，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長(zhǎng)為10米，燈桿AB長(zhǎng)為1米，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直．若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條與地面的交點(diǎn)為E．則該路燈照在路面上的寬度OE的長(zhǎng)是

米．參考答案：16.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_參考答案：略17.已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線的斜率最大時(shí)的切線方程是______________

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由。參考答案：（1）解：設(shè)Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）

知

，

由于

即為中點(diǎn)．

故，

故橢圓的離心率

（3分）

（2）由⑴知得于是（，0）Q，

△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=所以，解得=2，∴c=1，b=，

所求橢圓方程為

（6分）

（3）由（Ⅱ）知

：

代入得

設(shè)，

則，

（8分）

由于菱形對(duì)角線垂直，則

故

則

（10分）

由已知條件知且

故存在滿足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是．

（12分）19.（本題滿分18分）本題共有3小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分．如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求圓的方程及曲線的方程；（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

參考答案：（1）由題意圓的半徑，故圓的方程為.

………………2分由得，，即，得（）為曲線的方程.（未寫(xiě)范圍不扣分）…4分（2）由得，，所以，同理.

………………6分由題意知，所以四邊形的面積.，∵，∴.

………………8分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.

………………10分（3）曲線的方程為（），它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱，下面證明：設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱.可以求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，.在上取點(diǎn).

下面證明曲線為橢圓：?。┰O(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則（因?yàn)椋?即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.ⅱ）若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過(guò)程略）.

故曲線是橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

………………18分第（3）問(wèn)說(shuō)明：1.?。?、ⅱ）兩種情形只需證明一種即可，得5分，2.直接寫(xiě)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)給3分，未寫(xiě)出理由不扣分.20.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且.直線是過(guò)點(diǎn)的任意一條直線．(1)求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的軌跡方程；(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(3)(理科)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)(點(diǎn)不同于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，求證：是定值．(文科)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求以的長(zhǎng)為直徑且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．參考答案：(1)依據(jù)題意，可得點(diǎn).

．

又，.

所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

(2)

若直線軸，則可求得，這與已知矛盾，因此滿足題意的直線不平行于軸．

設(shè)直線的斜率為，則．

由得．

設(shè)點(diǎn)，有且恒成立(因點(diǎn)在橢圓內(nèi)部)．

又，于是，，即，

解得．

所以，所求直線．

(理)證明(3)直線與線段交于點(diǎn)，且與點(diǎn)不重合，直線的斜率滿足：．

由(2)可得點(diǎn)，

可算得．

又直線．

設(shè)點(diǎn)，則由得(此等式右邊為正數(shù)).，且=．，解得.

為定值.

(文)

(3)當(dāng)直線軸時(shí)，，點(diǎn)到圓心的距離為1.即點(diǎn)在圓外，不滿足題意.

滿足題意的直線的斜率存在，設(shè)為，則.

設(shè)點(diǎn)，由(2)知，進(jìn)一步可求得

依據(jù)題意，有，

，

即，解得.

所求圓的半徑，

圓心為.

所求圓的方程為：.

21.已知曲線y=x3+x－2在點(diǎn)P0處的切線

平行直線4x－y－1=0，且點(diǎn)P0在第三象限,⑴求P0的坐標(biāo);⑵若直線

,且l也過(guò)切點(diǎn)P0,求直線l的方程.參考答案：解析：:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.