2022年北京大辛莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年北京大辛莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5

B.

C.

D.參考答案：B2.已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為

(A)

(B)8

(C)9

(D)12參考答案：C略3.在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是（

）A.成績?cè)赱70,80]分的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000人C.考生競(jìng)賽成績的平均分約70.5分D.考生競(jìng)賽成績的中位數(shù)為75分參考答案：D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，成績?cè)诘念l率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；B選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，成績?cè)诘念l率為，因此，不及格的人數(shù)為，即B正確；C選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得：平均分等于，即C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)槌煽冊(cè)陬l率為，由的頻率為，所以中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會(huì)分析頻率分布直方圖即可，屬于?？碱}型.4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A． B．C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】先求出復(fù)數(shù)z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，則則|z|==，故選：B5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：試題分析：根據(jù)三視圖可知，該幾何體是三棱錐，如圖所示，其中面平面，面平面，在上的正射影恰是的中點(diǎn).由圖中給定數(shù)據(jù)，較長的棱是.計(jì)算得.連，則且,所以，故選.考點(diǎn)：1.空間的距離；2.幾何體的特征；3.三視圖.6.設(shè)函數(shù)，g(x)=+b+c,如果函數(shù)g(x)有5個(gè)不同的零點(diǎn),則(

)

A.b＜-2且c＞0

B.b＞-2且c＜0

C.b＜-2且c=0

D.b≥-2且c＞0參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷B9【答案解析】C解析：解：可得f（x）為偶函數(shù)，其圖象如圖所示：（含原點(diǎn)），令t=f（x）可知，當(dāng)t=0時(shí)，x=0，當(dāng)t＞2時(shí)，有4個(gè)不同的x值與之對(duì)應(yīng)，由于g（x）=t2+bt+c有5個(gè)不同零點(diǎn)，必有一個(gè)零點(diǎn)為t=0，即g（0）=c=0，解之可得c=0，另一個(gè)零點(diǎn)為t＞2，故由韋達(dá)定理可得﹣b=0+t＞2，解得b＜﹣2故選C【思路點(diǎn)撥】可得t=f（x）為偶函數(shù)，結(jié)合圖象可得g（x）關(guān)于t的二次函數(shù)有5個(gè)不同零點(diǎn)，必有一個(gè)零點(diǎn)為t=0，另一零點(diǎn)t＞2，吧t=0代入已知式子，由韋達(dá)定理可得﹣b＞2，解之可得c值和b的范圍．7.已知復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=25，則z=(

) A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：根據(jù)題意利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得z的值．解答： 解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=25，則z====3﹣4i，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為雙曲線的中心，P是雙曲線的右支上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓I與x軸相切于點(diǎn)A，過F2作直線PI的垂線，垂足為B，若e為雙曲線的離心率，則（

）A. B.C. D.與關(guān)系不確定參考答案：C試題分析：，內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是A，∵，由圓切線長定理有，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則，即，∴，即A為右頂點(diǎn)，在中，由條件有，在中，有，∴.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的運(yùn)算、圓切線長定理.9.已知圓,過點(diǎn)的直線,則 （）A．與相交 B．與相切C．與相離D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能參考答案：10.二項(xiàng)式（x2﹣）11的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A．第五項(xiàng) B．第六項(xiàng) C．第七項(xiàng) D．第六和第七項(xiàng)參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】二項(xiàng)式定理．【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，根據(jù)二項(xiàng)式的展式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x22﹣3r，可得系數(shù)最大的項(xiàng)．【解答】解：二項(xiàng)式（x2﹣）11的展式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x22﹣2r?（﹣1）r?x﹣r=?x22﹣3r，故當(dāng)r=6時(shí)，展開式的系數(shù)=最大，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=________.

參考答案：解析：由已知正視圖可以知道這個(gè)幾何體是睡著的直三棱柱，兩個(gè)底面是等腰的三角形，且底邊為2，等腰三角形的高位a，側(cè)棱長為3，結(jié)合面積公式可以得到

，解得a=12.若，則的最小值為_____________參考答案：13.設(shè)，則二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于

.參考答案：-160略14.若二項(xiàng)式的展開式的第五項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則此常數(shù)項(xiàng)為

參考答案：112015.設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：或16.對(duì)于函數(shù)定義域中任意有如下結(jié)論：①；②；

③；

④。上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是

參考答案：②③17.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線（為參數(shù)且）與曲線（為參數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)是

.Ks5u參考答案：（1,2）略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)滿足(1）求函數(shù)值域(2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為7，求的最大值參考答案：設(shè)

(1）在（0，+）上是減函數(shù)

所以值域?yàn)椋?，1）(2）

由所以在上是減函數(shù)或（不合題意舍去）當(dāng)時(shí)有最大值，即

19.（本小題滿分13分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．參考答案：（17）（本小題滿分13分）方法一：（Ⅰ）證明：如圖①，連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知BC1∥AD1.當(dāng)λ＝1時(shí)，P是DD1的中點(diǎn)，又F是AD的中點(diǎn)，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………5分圖①圖②（Ⅱ）如圖②，連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，從而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因?yàn)锽Q＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四邊形EFPQ也是等腰梯形．同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形．分別取EF，PQ，MN的中點(diǎn)為H，O，G，連接OH，OG，則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.連接EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN知四邊形EFNM是平行四邊形．連接GH，因?yàn)镠，G是EF，MN的中點(diǎn)，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．……13分方法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，λ)．

圖③(－2，0，2)，F(xiàn)P＝(－1，0，λ)，F(xiàn)E＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）證明：當(dāng)λ＝1時(shí)，F(xiàn)P＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一個(gè)法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．………13分

20.本小題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱DD1上的一點(diǎn)。（1）

求三棱錐A-MCC1的體積；（2）

當(dāng)A1M+MC取得最小值時(shí)，求證：B1M⊥平面MAC。

參考答案：21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知．設(shè)變換，對(duì)應(yīng)的矩陣分別為，，求對(duì)△ABC依次實(shí)施變換，后所得圖形的面積．參考答案：依題意，依次實(shí)施變換，所對(duì)應(yīng)的矩陣．

……5分

則，，．

所以分別變?yōu)辄c(diǎn)．

從而所得圖形的面積為．

……10分22.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱上異于的一點(diǎn)，.(I)

證明：為的中點(diǎn)；(II)求二面角的大?。畢⒖即鸢福航猓悍椒ㄒ唬?I)平面平面.

,平面