上海北站中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

上海北站中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+…+a2010=2014，則a2011+a2012+…+a2020的值為（）A．2014?1010 B．2014?1011 C．2015?1010 D．2015?1011參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】lgan+1=1+lgan，可得=10，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，可得a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）．【解答】解：∵lgan+1=1+lgan，∴=1，∴=10，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∵a2001+a2002+…+a2010=2014，∴a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）=2014×1010．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知平面向量，，且，則=(

)A.–3

B.–1

C.1

D.3參考答案：C3.設(shè)點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,且,則這樣的點(diǎn)共有(

）個(gè)A．12

B．11

C.10

D．9參考答案：A畫出表示的可行域，由圖可知，滿足，得，共有，，共個(gè)，故選A.

4.設(shè)函數(shù)、的零點(diǎn)分別為，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S4+a25=5，則一定有(

) A．a(chǎn)6是常數(shù) B．S7是常數(shù) C．a(chǎn)13是常數(shù) D．S13是常數(shù)參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：將S4+a25=5有首項(xiàng)與公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)得到答案．解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵等差數(shù)列{an}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故選：D．點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于一道基礎(chǔ)題．6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題為真的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則參考答案：A試題分析：由線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理可得答案A是正確的,其余答案都是錯(cuò)誤的.故應(yīng)選A.考點(diǎn)：空間的線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的運(yùn)用.7.已知，，，夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線的長度為

(

)

A.

B.5

C.9

D.27參考答案：答案：A8.如圖，設(shè)是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域．向中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入中的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.若雙曲線y2=4(m>0)的焦距為8，則它的離心率為

A．

B．2

C．

D．參考答案：C略10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中N，P的坐標(biāo)分別為，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】解法一：根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的解析式，得出f（x）的遞減區(qū)間，再判定4個(gè)選項(xiàng)中是否為f（x）的單調(diào)減區(qū)間．解法二：求出函數(shù)f（x）的周期T=π，判定選項(xiàng)D區(qū)間長度是3T，f（x）不是單調(diào)減函數(shù)，由此得出結(jié)論．【解答】解：（法一）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的周期為T，則T=﹣=，解得T=π，∴ω=2；又x=，∴2×+φ=π+kπ，k∈Z；解得φ=﹣+kπ，k∈Z；，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=Acos（2x﹣）；令2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，A滿足題意；當(dāng)k=﹣1時(shí)，x∈[﹣，﹣]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，B滿足題意；當(dāng)k=2時(shí)，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，又[，]?[，]，∴C滿足題意；當(dāng)k=1時(shí)，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，又[，]?[，]，∴D不滿足題意．（法二）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的周期為T，則T=﹣=，解得T=π；又選項(xiàng)D中，區(qū)間長度為﹣=3π，∴f（x）在區(qū)間[，]上不是單調(diào)減函數(shù)．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k，從集合中人隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線不經(jīng)過第四象限的概率為------------.參考答案：略12.已知復(fù)數(shù)滿足，則參考答案：13.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線C1的方程

為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)檎?/p>

半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)

方程為(為參數(shù))．設(shè)點(diǎn)P為曲線C2上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C1的兩條切線，則這兩條切線所成角余弦的最小值是_______．參考答案：【知識點(diǎn)】參數(shù)方程

N3解析：曲線的一般方程為：即，圓心為半徑為1，曲線的一般方程為：點(diǎn)到直線的距離是：則這兩條切線所成角余弦的最小值是【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程可求出一般方程，再根據(jù)直線與圓的關(guān)系可求出結(jié)果.14.已知函數(shù)，則

；參考答案：15.一平面截一球得到直徑為cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2cm，則該球的體積是

.參考答案：16.如圖2,是函數(shù)(其中的部分圖像,則其解析式為 參考答案：17.對一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.參考答案：-----2分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是………………6分（Ⅱ）由于，顯然時(shí)，，此時(shí)對定義域內(nèi)的任意不是恒成立的，

----------------------------------9分當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時(shí)只要即可，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.-----------14分19.（本小題滿分12分）如圖1，，，過動點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。?/p>

第19題圖參考答案：（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．由，知，△為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），，，且，所以平面．又，所以．于是

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故當(dāng)，即時(shí),三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．

（Ⅱ）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．于是可得，，，，，，且．設(shè)，則.因?yàn)榈葍r(jià)于，即，故，.所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由

及，得

可?。O(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得，即．故與平面所成角的大小為

解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如圖c，延長至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，所以.取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，所以.因?yàn)槠矫妫置?，所?又，所以面.又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．

連接，，由計(jì)算得，所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，則平面．在平面中，過點(diǎn)作于，則平面．故是與平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即與平面所成角的大小為

20.（本小題滿分13分）某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時(shí)抽一包產(chǎn)品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)莖葉圖（如右）.（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品重量的均值與方差，并說明哪個(gè)車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定；（Ⅱ）若從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過2克的概率．參考答案：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品重量的均值分別為

、，方差分別為

、，

則，

……1分

，

……2分

，

……4分

，

……6分由于，所以甲車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定；……7分（Ⅱ）從乙車間６件樣品中隨機(jī)抽取兩件，結(jié)果共有15個(gè)：

．………………9分設(shè)所抽取兩件樣品重量之差不超過２克的事件為A，則事件A共有4個(gè)結(jié)果：．

………………11分所以．

………………13分21.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的軸的正半軸重合．直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為