靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理

靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理第一頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日唯一性定理邊界條件可將空間里電場(chǎng)的分布唯一地確定下來即給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場(chǎng)分布該定理對(duì)包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋至關(guān)重要理論證明在電動(dòng)力學(xué)中給出，p59

給出物理上的論證第二頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)引理引理一在無電荷的空間里電勢(shì)不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明第三頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日引理二若所有導(dǎo)體的電勢(shì)為0，則導(dǎo)體以外空間的電勢(shì)處處為0即意味著空間電勢(shì)有極大值，違背引理一證明（反證）在無電荷空間里電勢(shì)分布連續(xù)變化，若空間有電勢(shì)大于0（或小于0）的點(diǎn)，而邊界上電勢(shì)又處處等于零——必出現(xiàn)極大值或極小值推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等（設(shè)為U0），則空間電勢(shì)等于常量U0第四頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日引理三若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等證明（反證）若不相等，必有一個(gè)最高，如圖設(shè)U1>U2、U3，——導(dǎo)體1是電場(chǎng)線的起點(diǎn)——其表面只有正電荷——導(dǎo)體1上的總電量不為0——與前提矛盾引理二(＋)引理三推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢(shì)也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量第五頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日疊加原理在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對(duì)位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UⅠk（或總電量QⅠk）2：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UⅡk（或總電量QⅡk)設(shè)UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=a

UⅠ+bUⅡ必滿足條件3:3:給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)Uk=a

UⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）特例：取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足4：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為0

第六頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日唯一性定理給定每個(gè)導(dǎo)體電勢(shì)的情形第七頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日與電勢(shì)參考點(diǎn)有關(guān)給定每個(gè)導(dǎo)體上總電量的情形

第k個(gè)導(dǎo)體上的電量電量與場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)的關(guān)系第八頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實(shí)在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實(shí)在的電荷分布的迭加就是唯一的分布

第九頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日電像法——解靜電問題的一種特殊方法在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q求空間的電場(chǎng)分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解像電荷第十頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R)處有一點(diǎn)電荷Q,求空間各點(diǎn)電勢(shì)尋找像電荷對(duì)稱性分析，確定像電荷位置使球面上電勢(shì)＝0任取P點(diǎn)，利用疊加原理求出像電荷位置對(duì)所有都成立，即要求第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日求p點(diǎn)電勢(shì)討論：由Gaoss定理收斂于球面上的電通量為－Q’，Q’=球面上的總感應(yīng)電荷，它受電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)吸引從接地處傳至導(dǎo)體球上，|Q’|<Q,Q發(fā)出的電力線只有一部分收斂于導(dǎo)體球，剩下的伸展至無窮第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日電偶極層設(shè)想一厚度均勻的曲面薄殼，兩面帶有符號(hào)相反的面電荷——電偶極層，如圖，求P點(diǎn)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日面元dS在垂直于矢徑r方向的投影定義電偶極層強(qiáng)度：——單位面積上的電偶極矩

第十四頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

電偶極層的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)只與對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所張的立體角有關(guān)幾何上決定，電偶極層兩側(cè)立體角有的躍變負(fù)電荷一側(cè)：

曲面S對(duì)場(chǎng)點(diǎn)P所張的立體角正電荷一側(cè)：第十五頁(yè)，共十六頁(yè)，202