穩(wěn)定性分析-勞斯判據(jù)4-1課件

第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1

第一節(jié)穩(wěn)定性的基本概念一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果一個(gè)線性定常系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后，能夠恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是收斂的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有等幅震蕩或發(fā)散性質(zhì)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2例：

穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)定義表明：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無(wú)關(guān)。設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零，輸入為單位脈沖函數(shù)，即R（S）=1。當(dāng)t>0時(shí)，=0，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原平衡工作點(diǎn)的問(wèn)題。若時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)

即輸出增量收斂于原平衡工作點(diǎn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定。3上式表明：1。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部（和均小于零），即特征根的位置分布在S平面的左半部時(shí)，才能成立，此時(shí)系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2。若特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，即根的位置分布在S平面的右半部，則，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；

3。若特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上實(shí)部的根為零（虛根），即根的位置正好分布在S平面的虛軸上，而其余的根均位于S平面的左半部，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輸出呈等幅振蕩，系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)消失后也不能恢復(fù)到原來(lái)的平衡位置，按照穩(wěn)定性定義，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。5結(jié)論：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均分布在平面的左半部。

6系統(tǒng)是否穩(wěn)定特征方程根的分布方程的系數(shù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)特征方程的系數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種判據(jù)，它避免了直接求特征方程根的繁瑣過(guò)程。勞斯穩(wěn)定判據(jù)一般簡(jiǎn)稱為勞斯判據(jù)。第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)71．勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性步驟：第一步：將特征方程式的系數(shù)按下列規(guī)則排成兩行，即第二步：建立勞斯表（又叫勞斯陣列）。例：五階系統(tǒng)，其特征方程：9第三步：根據(jù)勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

勞斯表中第一列各值為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表中第一列出現(xiàn)負(fù)值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且實(shí)部為正（即分布在平面右半部）的根的數(shù)目，等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。

10例：系統(tǒng)的特征方程：試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解：列出勞斯表勞斯表中第一列元素?zé)o符號(hào)變化，說(shuō)明該系統(tǒng)特征方程沒(méi)有正實(shí)部根，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

112．勞斯判據(jù)的兩種特殊情況（1）勞斯表中某一行第一項(xiàng)元素為零，其余項(xiàng)不為零或不全為零，此時(shí)，用一個(gè)任意小的正數(shù)代替這個(gè)零，然后按通常的規(guī)則繼續(xù)完成勞斯表中其余各項(xiàng)元素的計(jì)算。如果零（）上面這項(xiàng)系數(shù)符號(hào)與零（）下面這項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相反，表明這里有一個(gè)符號(hào)變化。例：特征方程如下：

試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解：列出勞斯表

13勞斯表中第一列元素符號(hào)的變化兩次，說(shuō)明特征方程有兩個(gè)正實(shí)部的根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。14（2）某一行元素全為零在勞斯表中，如果出現(xiàn)某一行元素全為零，說(shuō)明特征方程存在大小相等符號(hào)相反的實(shí)根和（或）共軛虛根，或者共軛復(fù)根。

此時(shí)，可用全零行上面一行的元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程，利用輔助方程對(duì)s的求導(dǎo)后得到的方程系數(shù)代替全零行的元素，然后再按通常的規(guī)則完成勞斯表中其余各項(xiàng)元素的計(jì)算。輔助方程的次數(shù)總是偶數(shù)，所有那些數(shù)值相同符號(hào)相異的根都可由輔助方程求得。

15求解輔助方程A(s)=0得到說(shuō)明此特征方程有一對(duì)共軛根分布在虛軸上系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3．勞斯判據(jù)的應(yīng)用

勞斯判據(jù)主要用來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。問(wèn)題：1。這種判據(jù)并不能指出如何使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。2。如果采用勞斯表判別出的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，它也不能表明系統(tǒng)一定具備滿意的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。即：勞斯判據(jù)不能表征特征方程在左半面的根相對(duì)于虛軸的距離。17例：確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。解:系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列元素的符號(hào)均應(yīng)大于零由此得：1。即：2。18則穩(wěn)定條件為：