2023屆山西省汾陽市第二高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果存在實(shí)數(shù)，使成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或2．若關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)總有4個(gè)解，則可以是（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足①數(shù)列{an}必為等比數(shù)列；②p=1時(shí)，S5=3132；③正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．44．把一個(gè)已知圓錐截成個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓錐，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為，母線長(zhǎng)為，則己知圓錐的母線長(zhǎng)為（）.A． B． C． D．5．設(shè)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），與垂直，則是（）A．2 B．1 C．－2 D．－17．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購(gòu)被稱為中國(guó)的“新四大發(fā)明”，為評(píng)估共享單車的使用情況，選了座城市作實(shí)驗(yàn)基地，這座城市共享單車的使用量（單位：人次/天）分別為，，…，，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是（）A．，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差 B．，，…，的平均數(shù)C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位數(shù)8．在直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是A． B． C． D．9．已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．12．在中，，，為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為______.13．下圖是2016年在巴西舉行的奧運(yùn)會(huì)上，七位評(píng)委為某體操運(yùn)動(dòng)員的單項(xiàng)比賽打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為__________．14．已知在中，角的大小依次成等差數(shù)列，最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程的兩實(shí)根，則__________．15．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是______．16．對(duì)于數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為記滿足條件的所有數(shù)列中，的最大值為，最小值為，則___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量，且（1）若是與共線的單位向量，求的坐標(biāo)；（2）若，且，設(shè)向量與的夾角為，求．18．如圖是我國(guó)2011年至2017年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖(年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份)（1）建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.001);（2）預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):,,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，點(diǎn)M，N分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，且MN∥BC，.若將矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如圖)．(1)求證:平面CND⊥平面AMND；(2)求直線MC與平面AMND所成角的正弦值.20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．如圖，中，，角的平分線長(zhǎng)為1．(1)求；(2)求邊的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)，可得，再根據(jù)基本不等式取等的條件可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，又（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的值域，考查了基本不等式取等的條件，屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對(duì)應(yīng)方程在時(shí)解的個(gè)數(shù)．【詳解】對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)恒有4個(gè)解，符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對(duì)綜合能力的要求較高．3、C【解析】

由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{an}為首項(xiàng)為p【詳解】Sn+an=2pn?2時(shí)，Sn-1+a相減可得2an-an-1=0，即有數(shù)列由①可得p=1時(shí)，S5|a|a5|+|由①可得am·a可得p=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．4、B【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為來求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)，計(jì)算得到答案.【詳解】，最大值為5，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)，即又因?yàn)椋傻?，?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、D【解析】

試題分析：，由與垂直可知考點(diǎn)：向量垂直與坐標(biāo)運(yùn)算7、A【解析】

利用方差或標(biāo)準(zhǔn)差表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度可得出選項(xiàng).【詳解】表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是方差或標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，需掌握住數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是用方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先根據(jù)直線的方程，求出它的斜率，可得它的傾斜角．【詳解】在直角坐標(biāo)系中，直線的斜率為，等于傾斜角的正切值，故直線的傾斜角是，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的求法．9、D【解析】∵，，⊥，∴，解得．∴．∴，又．設(shè)向量與的夾角為，則．又，∴．選D．10、B【解析】

利用角的關(guān)系，再利用兩角差的正切公式即可求出的值.【詳解】因?yàn)椋覟殇J角，則，所以，因?yàn)椋怨蔬xB.【點(diǎn)睛】主要考查了兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，屬于中檔題.對(duì)于給值求值問題，關(guān)鍵是尋找已知角（條件中的角）與未知角（問題中的角）的關(guān)系，用已知角表示未知角，從而將問題轉(zhuǎn)化為求已知角的三角函數(shù)值，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求出.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析：由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得解.詳解：由，得.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

在中，延長(zhǎng)交于，由重心的性質(zhì)，找到、和的關(guān)系，在和中利用余弦定理分別表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范圍求解即可.【詳解】畫出，連接，并延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑闹匦模詾橹悬c(diǎn)，因?yàn)椋?，由重心的性質(zhì)，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.13、【解析】由平均數(shù)公式可得，故所求數(shù)據(jù)的方差是，應(yīng)填答案。14、【解析】

本題首先可根據(jù)角的大小依次成等差數(shù)列計(jì)算出，然后根據(jù)最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程的兩實(shí)根得到以及，最后根據(jù)余弦定理即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榻浅傻炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)?，所?設(shè)方程的兩根分別為、，則，由余弦定理可知：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)余弦定理求三角形邊長(zhǎng)，考查等差中項(xiàng)以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，余弦定理公式為，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題．15、【解析】

先求出扇形的半徑，再求這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的半徑和面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、1【解析】

由，，，，，分別令，3，4，5，求得的前5項(xiàng)，觀察得到最小值，，計(jì)算即可得到的值．【詳解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．綜上可得的最大值，最小值為，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的和的最值，注意運(yùn)用元素與集合的關(guān)系，運(yùn)用列舉法，考查判斷能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】分析：（1）由與共線，可設(shè)，又由為單位向量，根據(jù)，列出方程即可求得向量的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量的夾角公式，即可求解向量與的夾角．詳解：與共線，又，則，為單位向量，，或，則的坐標(biāo)為或，，．點(diǎn)睛：對(duì)于平面向量的運(yùn)算問題，通常用到：1、平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；2、由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直等有關(guān)的問題；3、本題主要利用向量的模與向量運(yùn)算的靈活轉(zhuǎn)換，應(yīng)用平面向量的夾角公式，建立的方程.18、（1）（2）億噸【解析】

（1）由題意計(jì)算平均數(shù)與回歸系數(shù),寫出回歸方程,即可求得答案;（2）計(jì)算2020年對(duì)應(yīng)的值以及的值,即可求得答案.【詳解】（1）由折線圖可得:關(guān)于的回歸方程:.（2）年對(duì)應(yīng)的值為當(dāng)時(shí),預(yù)測(cè)年我國(guó)生活垃圾無害化處理量為億噸.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)據(jù)的回歸直線方程和根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè),解題關(guān)鍵是掌握回歸直線的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）轉(zhuǎn)化為證明MN⊥平面CND；（2）過點(diǎn)C作CH⊥ND與點(diǎn)H，則MH是MC在平面AMND內(nèi)的射影，所以∠CMH即直線MC與平面AMND所成的角.【詳解】（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，∴MN⊥ND，MN⊥NC，又∵ND，NC是平面CND內(nèi)的兩條相交直線，∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，∴平面CND⊥平面AMND.（2）由（1）知∠CND＝60°，又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，所以CN＝1，DN=2，由余弦定理得，所以∠DCN＝90°，過點(diǎn)C作CH⊥ND與點(diǎn)H，連接MH，則∠CMH即直線MC與平面AMND所成的角，又，所以故直線MC與平面AMND所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行證明和線面角.面面平行證明要轉(zhuǎn)化為線面平行證明；求線面角關(guān)鍵在于作出直線在平面內(nèi)的射影.20、（1），．（2）【解析】

（1）先求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)即得數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由題得.由題得.（2）由題得，所以數(shù)列的前