高中數(shù)學(xué) 人教A版 選修一直線和圓的方程 第7課時(shí)

2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式合肥市第一中學(xué)洪雨沛內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容兩點(diǎn)間的距離公式2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)：本節(jié)內(nèi)容是在之前所學(xué)習(xí)的直線方程基礎(chǔ)之上，對(duì)直線進(jìn)行定量研究，例如求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，平面內(nèi)與點(diǎn)、直線有關(guān)的距離問(wèn)題等.在各種幾何量中，直線段的長(zhǎng)度是最基本的，所以，在解析幾何中，最基本的公式自然是用平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示這兩點(diǎn)間的距離.平面上兩點(diǎn)間的距離公式有著非常重要的基礎(chǔ)性地位，點(diǎn)到直線距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程的建立等，都是以此為基礎(chǔ)的.（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：本節(jié)內(nèi)容，通過(guò)特殊形式兩點(diǎn)間距離的探究，到一半的兩點(diǎn)間的距離，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題步驟的抽象，以及向量法解決平面幾何問(wèn)題步驟的回顧，體現(xiàn)了類(lèi)比的思想方法.（3）知識(shí)的上下位關(guān)系：本節(jié)內(nèi)容是在之前所學(xué)習(xí)的直線方程基礎(chǔ)之上，對(duì)直線進(jìn)行定量研究.在各種幾何量中，直線段的長(zhǎng)度是最基本的，所以，在解析幾何中，最基本的公式自然是用平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示這兩點(diǎn)間的距離.平面上兩點(diǎn)間的距離公式有著非常重要的基礎(chǔ)性地位，點(diǎn)到直線距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程的建立等，都是以此為基礎(chǔ)的.（4）育人價(jià)值：通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，讓學(xué)生更加深入的認(rèn)識(shí)到本單元的核心思想：利用坐標(biāo)解決幾何問(wèn)題.為此，需要將諸多的幾何量用坐標(biāo)表示，而本節(jié)課便是重要幾何量距離的研究開(kāi)端.（5）教學(xué)重點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)；利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的一般步驟.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）會(huì)求兩點(diǎn)間的距離.（2）掌握利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的一般步驟.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能夠根據(jù)公式正確計(jì)算兩點(diǎn)間的距離.（2）學(xué)生能夠熟練使用坐標(biāo)法證明一些與兩點(diǎn)間距離有關(guān)的幾何證明題.教學(xué)問(wèn)題診斷分析本節(jié)課的重心是公式推導(dǎo)與利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的一般步驟的梳理.公式推導(dǎo)方面讓學(xué)生比較勾股定理與向量?jī)煞N方法，明確向量的工具性地位，并能夠回憶起之前空間中兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo).問(wèn)題解決方面，用坐標(biāo)法解決問(wèn)題之前先要建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)不同同學(xué)呈現(xiàn)的不同方法的比較，讓學(xué)生更加明確“建立合適坐標(biāo)系”的意義，并在具體問(wèn)題中能夠較好的處理.本節(jié)課內(nèi)容不多，難度不大，但是重要性不言而喻，是后面諸多內(nèi)容的基礎(chǔ).因此，本節(jié)課在教學(xué)的時(shí)候一定要關(guān)注學(xué)生的課堂表現(xiàn)，讓學(xué)生能夠靜下心來(lái)把簡(jiǎn)單的東西學(xué)明白，學(xué)扎實(shí).教學(xué)支持條件分析為調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以借助微課、學(xué)案等形式，提前布置課前學(xué)習(xí)任務(wù)，課上由學(xué)生分享、呈現(xiàn)，教師引導(dǎo)補(bǔ)充.為了加強(qiáng)學(xué)生課堂上彼此之間的聯(lián)系，教師可采用拍照直播的形式開(kāi)展師生活動(dòng).教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)情境設(shè)置，激發(fā)興趣師生活動(dòng)：老師開(kāi)展尋寶游戲.老師今天早上在階梯教室里藏了一份精美的小禮品，大家來(lái)一起找找看吧！為了更加清晰的表述關(guān)于禮品位置的提示信息，老師將階梯教室里的座位抽象成網(wǎng)格格點(diǎn)的形式，如圖.下面給大家兩個(gè)提示信息：①禮品在第一排某個(gè)座位上；②A座位和B座位到禮品所在座位的距離相等.你能確定禮品的位置嗎？為了找到禮品，你會(huì)怎么做呢？圖SEQ圖\*ARABIC1提示信息示意圖學(xué)生反饋預(yù)設(shè)：①禮品的位置可以看成線段AB中垂線與虛線的交點(diǎn)，利用上一節(jié)課所學(xué)習(xí)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解；②建系通過(guò)將PA=PB條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)所滿足的方程進(jìn)行求解.銜接詞：在前一階段，我們學(xué)習(xí)了直線的相關(guān)知識(shí).我們從確定直線的要素出發(fā)，學(xué)習(xí)了直線的傾斜角與斜率.依據(jù)不同的確定直線的方式，學(xué)習(xí)了不同的直線方程.本單元，我們將在直線方程的基礎(chǔ)之上，對(duì)直線進(jìn)行定量研究，例如求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，平面內(nèi)與點(diǎn)、直線有關(guān)的距離問(wèn)題等.上節(jié)課我們已經(jīng)探究了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).本節(jié)課我們將探究距離當(dāng)中最基本的，兩點(diǎn)間的距離.（二）問(wèn)題設(shè)置，探索新知問(wèn)題1：你能寫(xiě)出數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離嗎？師生活動(dòng)：教師給出數(shù)軸，及數(shù)軸上的兩點(diǎn)，讓學(xué)生口答.結(jié)合所給圖形預(yù)設(shè)學(xué)生回答.教師引導(dǎo)修正為.之后，教師強(qiáng)調(diào)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的特殊情況，即到原點(diǎn)的距離，揭示絕對(duì)值的幾何意義.設(shè)計(jì)意圖：先復(fù)習(xí)回顧數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，為后面學(xué)習(xí)平面上兩點(diǎn)間的距離做鋪墊.由一維數(shù)軸到二維平面、由特殊到一般，讓學(xué)生更加輕松的接受新知.問(wèn)題2：你能寫(xiě)出平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)之間的距離嗎？師：平面中怎樣的兩點(diǎn)，它們之間的距離最好表示呢？生（預(yù)設(shè)）：坐標(biāo)軸上的兩個(gè)點(diǎn).生（預(yù)設(shè)）：水平直線上的兩個(gè)點(diǎn).生（預(yù)設(shè)）：豎直直線上的兩個(gè)點(diǎn).師：非常好.如圖，老師在坐標(biāo)系中給你水平直線上的兩點(diǎn)，你能說(shuō)出它們之間的距離嗎？若在同一豎直線上，它們之間的距離又是多少呢？圖SEQ圖\*ARABIC2課堂用圖師生活動(dòng)：教師對(duì)剛剛的問(wèn)題串進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)問(wèn)題2進(jìn)行明確：“已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，求.”之后，讓學(xué)生根據(jù)剛剛的初步探究，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行回答.期待回答為：①若，則；②若，則.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究一般情況.師：我們剛剛用坐標(biāo)表示了和.若從走到點(diǎn)，可以先到，再到，此時(shí)的路程為，在布局規(guī)整的街區(qū)中，往往需要這樣行走.當(dāng)然，若中間沒(méi)有阻礙的話，最短距離為與兩點(diǎn)間的距離，你能求出嗎？生（預(yù)設(shè)）：勾股定理.師生活動(dòng)：重新在坐標(biāo)系中給出兩點(diǎn)，讓學(xué)生根據(jù)之前的經(jīng)驗(yàn)自己做輔助線（構(gòu)造直角三角形），利用勾股定理計(jì)算得出.據(jù)此將之前問(wèn)題2的回答繼續(xù)補(bǔ)充“③若且，則”.并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到①②兩個(gè)特殊情況，仍然滿足公式，故得到一般的平面上兩點(diǎn)間的距離公式.根據(jù)一般的公式，可以得到，則.設(shè)計(jì)意圖：有了問(wèn)題1一維數(shù)軸的鋪墊，學(xué)生能夠很輕松的得到①②兩種情況.進(jìn)而再借助①②與勾股定理，得到③.由特殊到一般，讓學(xué)生更加輕松的接受新知.最終①②③整合得到平面上兩點(diǎn)間的距離公式，并推出一個(gè)特殊公式：.該公式從形式上看，平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式很像，為后文利用向量法推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式做鋪墊.（三）例題講解，熟能生巧銜接詞：下面，我們用剛剛學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解決一些具體的問(wèn)題吧.例1、求下列兩點(diǎn)間的距離.（1）（2）（3）（4）解：（1）.（2）.（3）.（4）.師生活動(dòng)：教師帶學(xué)生完成（1）（2），教師黑板板演，（3）（4）由學(xué)生獨(dú)立完成.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生剛接觸兩點(diǎn)間的距離公式，對(duì)公式的記憶還不是很深刻，通過(guò)教師例題板演、學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，強(qiáng)化對(duì)公式的記憶與靈活運(yùn)用.（四）方法總結(jié)，提升思維問(wèn)題3：你還有其他辦法求出嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生將兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化成向量的模長(zhǎng)，應(yīng)用平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式得到兩點(diǎn)間的距離公式.思考1：你之前使用過(guò)向量法求過(guò)距離嗎？思考2：勾股定理與向量法這兩種方法比較，你有什么體會(huì)？設(shè)計(jì)意圖：勾股定理得到兩點(diǎn)間的距離公式不僅需要分類(lèi)討論，還需要增添輔助線構(gòu)造直角三角形，較為繁瑣.相比較而言，向量法更加的簡(jiǎn)潔.在此之前，學(xué)生是有這方面的經(jīng)驗(yàn)積累的，如在推導(dǎo)空間中兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)，采用的就是向量法.（五）例題講解，靈活運(yùn)用例2、用坐標(biāo)法證明：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.圖SEQ圖\*ARABIC3預(yù)設(shè)法一用圖 圖SEQ圖\*ARABIC4預(yù)設(shè)法二用圖解：（預(yù)設(shè)法一）以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為，則由得C坐標(biāo)為.由兩點(diǎn)之間的距離公式得，，，.所以，.所以，即平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.（預(yù)設(shè)法二）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，邊AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，設(shè)，則.由兩點(diǎn)之間的距離公式得，，，.所以，.所以，即平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成例題.教師根據(jù)學(xué)生的作答情況，請(qǐng)同學(xué)上黑板板演.分析學(xué)生的解答過(guò)程，提煉坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的步驟（三步走）.如果學(xué)生有不同的建系方式，請(qǐng)?jiān)撏瑢W(xué)上黑板板演，如果沒(méi)有，教師在黑板板演，并對(duì)不同的建系方式進(jìn)行評(píng)析.設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)兩種解法，主要讓學(xué)生理解什么叫“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”.通過(guò)該環(huán)節(jié)，提煉用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的基本步驟，讓學(xué)生掌握一般的解決問(wèn)題的方法與步驟.圖SEQ圖\*ARABIC5方法梳理圖示師生活動(dòng)：通過(guò)對(duì)學(xué)生解法的評(píng)析，提煉用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的基本步驟，讓學(xué)生掌握一般的解決問(wèn)題的方法與步驟.在此基礎(chǔ)之上，激發(fā)學(xué)生回憶用向量法解決平面幾何的基本步驟，并在步驟框架下，用向量法證明平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，類(lèi)比新知，方法總結(jié)，靈活運(yùn)用.（六）回到情境，解決問(wèn)題師生活動(dòng)：回到課堂最初的情境，利用本節(jié)課所學(xué)的兩點(diǎn)間的距離公式解決課堂開(kāi)始遺留下來(lái)的問(wèn)題，確定禮品的位置。設(shè)計(jì)意圖：從問(wèn)題開(kāi)始，再回到問(wèn)題，形成一個(gè)閉環(huán)，突出了本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值。該問(wèn)題是教材中例題的改編，將例題改編并附上情境，充分挖掘了教材的內(nèi)容，并增加了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的熱情與興趣.（七）課堂小結(jié)，總結(jié)提升問(wèn)題4：本節(jié)課，我們的研究思路是什么？問(wèn)題6：兩點(diǎn)間的距離公式是什么？用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的步驟是什么？問(wèn)題7：本節(jié)課你有哪些收獲？設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理基本知識(shí)，總結(jié)研究方法，深化對(duì)課堂內(nèi)容的理解.希望本節(jié)課從特殊到一般以及類(lèi)比的思想方法能夠給學(xué)生啟發(fā)，在今后的研究中起到幫助作用.結(jié)束語(yǔ)：本節(jié)內(nèi)容是在之前所學(xué)習(xí)的直線方程基礎(chǔ)之上，對(duì)直線進(jìn)行定量研究.在各種幾何量中，直線段的長(zhǎng)度是最基本的，所以，在解析幾何中，最基本的公式自然是用平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示這兩點(diǎn)間的距離.平面上兩點(diǎn)間的距離公式有著非常重要的基礎(chǔ)性地位，點(diǎn)到直線距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程的建立等，都是以此為基礎(chǔ)的.下一節(jié)課，我們將在本節(jié)課的基礎(chǔ)之上，去研究點(diǎn)到直線的距離公式.（八）作業(yè)布置，練習(xí)鞏固一、基礎(chǔ)性作業(yè) 教材第74頁(yè)練習(xí)第1,2題.二、提高性作業(yè) 教材第79頁(yè)習(xí)題2.3復(fù)習(xí)鞏固第3,4題.三、探究性作業(yè)教材第79頁(yè)綜合運(yùn)用第12題.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)A組：適用普通高中學(xué)生1.在中，已知、、，則邊的中線的長(zhǎng)是A． B． C． D．【解答】解：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：邊的中點(diǎn)，即．由兩點(diǎn)之間的距離公式可得．故選：．2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、．以線段，為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線中較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為A． B． C． D．【解答】解：，，則，，所以，，故較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為．故選：．3.設(shè)為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．【解答】解：為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為．故選：．設(shè)計(jì)意圖：題組設(shè)計(jì)主要圍繞兩點(diǎn)間距離公式的使用，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí).題目結(jié)構(gòu)較為單一，知識(shí)點(diǎn)考察聚焦本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.B組：適用重點(diǎn)高中學(xué)生4.唐代詩(shī)人李顧的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，即，故，由題意可得“將軍飲馬”的最短路徑為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．5.互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“