2023年上海市嘉定二中等四校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．在中，已知三個(gè)內(nèi)角為，，滿足，則（）．A． B．C． D．3．在ΔABC中,若,則=（）A．6 B．4 C．-6 D．-44．若向量的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的最小正周期不可能是（）A． B． C． D．6．一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A． B．C． D．7．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C．1 D．28．一個(gè)幾何體的三視圖分別是一個(gè)正方形，一個(gè)矩形，一個(gè)半圓，尺寸大小如圖所示，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．9．一組數(shù)平均數(shù)是，方差是，則另一組數(shù)，的平均數(shù)和方差分別是（）A． B．C． D．10．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.12．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為__________.13．在等比數(shù)列中,若,則__________.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則__________．15．已知為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量，．若，且，則B=16．關(guān)于的不等式，對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，與共線，求實(shí)數(shù)的值.18．在中，分別是角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若的面積，，求的值.19．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（2）若對(duì)任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出異面直線AE與BF所成角的余弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為θ，則cosθ＝＝＝,∴異面直線AE與BF所成角的余弦值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理，以及，得，不妨取，則，又，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

向量的點(diǎn)乘，【詳解】,選C.【點(diǎn)睛】向量的點(diǎn)乘，需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值，本題如果直接計(jì)算的話，的夾角為∠BAC的補(bǔ)角4、B【解析】

結(jié)合數(shù)量積公式可求得、、的值，代入向量夾角公式即可求解．【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)榈膴A角為，且，，所以，，所以，又因?yàn)樗?，故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式，向量模、夾角的求法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，屬基礎(chǔ)題．5、D【解析】

利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，對(duì)稱性和周期性，求得函數(shù)的最小正周期為，由此得出結(jié)論．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，根據(jù)所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，即，．函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的最小正周期不可能是，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，對(duì)稱性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的三棱錐，其中平面平面，,且，，所以，與均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，所以，故該三棱錐的表面各為，故選B．考點(diǎn)：1．三視圖；2．多面體的表面積與體積．7、C【解析】

利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列出方程組，能求出首項(xiàng)．【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，解得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由給定的幾何體的三視圖得到該幾何體表示一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的半圓柱，結(jié)合圓柱的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖可得：該幾何體表示一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的半圓柱，所以該半圓柱的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.9、B【解析】

直接利用公式：平均值方差為，則的平均值和方差為：得到答案.【詳解】平均數(shù)是，方差是，的平均數(shù)為：方差為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算：平均數(shù)是，方差是，則的平均值和方差為：.10、B【解析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【詳解】集合，集合，則故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡(jiǎn)得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點(diǎn)睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.13、80【解析】

由即可求出【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以即故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡(jiǎn)單14、【解析】

先利用時(shí)，求出的值，再令，由得出，兩式相減可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再將的表達(dá)式代入，可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，則有，；當(dāng)時(shí)，由得出，上述兩式相減得，，得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，那么，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和，一般在涉及與的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，常用作差法來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

根據(jù)得，再利用正弦定理得，化簡(jiǎn)得出角的大小。再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得B.【詳解】根據(jù)題意,由正弦定理可得則所以答案為。【點(diǎn)睛】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。16、或【解析】

利用換元法令，則對(duì)任意的恒成立，再對(duì)分兩種情況討論，令求出函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】令，則對(duì)任意的恒成立，（1）當(dāng)，即時(shí)，上式顯然成立；（2）當(dāng)，即時(shí)，令①當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故不成立；②當(dāng)時(shí)，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意分段函數(shù)的最值求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解析】

（1）結(jié)合已知求得：，利用平面向量的模的坐標(biāo)表示公式計(jì)算得解.（2）求得：，利用與共線可列方程，解方程即可.【詳解】解：（1），所以.（2），因?yàn)榕c共線，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的模的坐標(biāo)公式及平面向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，考查方程思想及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)4；(2)【解析】

（1）利用兩角差的正弦和正弦定理將條件化成，再利用余弦定理代入，即可求得的值；（2）由可求得，的值，再由面積公式求得，結(jié)合余弦定理可得，解方程即可得答案.【詳解】(1)∵，∴，∴∴，解得：.(2)，，，，，∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.19、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}【解析】

（1）由已知，根據(jù)遞推公式可得，，……，，所有式子累加可得；（2）在（1）得出的基礎(chǔ)之上解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知，根據(jù)遞推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，由累加法得，當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，代入a1＝1得，n≥2時(shí)，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），又a1＝1也滿足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.因?yàn)?﹣2（）n﹣1＞0，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，所以3﹣2（）n﹣1最大值為4，最小值為1.對(duì)于任意的正整數(shù)n都有成立，所以1≤m.即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m}.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式知識(shí)和不等式的相關(guān)知識(shí)，式子繁瑣，易錯(cuò)，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得所求和．【詳解】解：（1）∵，即，，∴為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即；∵，即有