2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)考前必背

考前必背

集合

集合中元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性

元素與集合

元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，分別用符號(hào)￡或陣表示

集合常用的

列舉法、描述法

表示方法

常用數(shù)集

自然數(shù)集N;正整數(shù)集N+或N*;整數(shù)集Z;有理數(shù)集Q;實(shí)數(shù)集R;正實(shí)數(shù)集R+

及其記法

子集:若對(duì)任意x￡A都有xWB,則AUB或B3A

集合的集合相等:若AWB,且BUA廁A=B

基本關(guān)系真子集:若AGB,且AWB,則A是B或B^A

結(jié)論:若有限集合A中有n(neN.)個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有(2。-1)個(gè)

交集:ACIB={x|x￡A,且xGB）

集合的

并集:AUB={x|x￡A,或xGB）

基本運(yùn)算

補(bǔ)集：[uA={x|x￡U,且x住A}

二、必要條件與充分條件

命題真假"若P，則q"是真命題"若P廁q"是假命題

推出關(guān)系p=qpo/q

P是q的充分條件,q是

條件關(guān)系P不是q的充分條件,q不是P的必要條件

P的必要條件

三、充要條件

一般地，如果p=q,且q=p,那么稱P是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱P是q的充要條件，記作P=q.

四、含有量方的命題的否定

命題的類型命題的符號(hào)表ZF命題否定的符號(hào)表示命題否定的類型

全稱量詞命題p：vxGM,x具有性質(zhì)p(x]rp3x￡M,x不具有性質(zhì)p(x)存在量詞命題

存在量詞命題P：3xGM,x具有性質(zhì)p(x]rp：VxGM,x不具有性質(zhì)p(x)全稱量詞命題

五、不等式的性質(zhì)

1.（傳遞性）a>b,b>c=a>c.

2.（可力口性）a>b=a+c>b+c.

3.（可乘性）a>b,c>0=>ac>bc;a>b,c<0=>ac<bc.

4.（同向可力口，性）a>b,c>d=a+c>b+d.

5.（可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd;a>b>0,c<d<0=>ac<bd.

6.（可乘方性與可開(kāi)方性）a>b>0=an>bn（nGN+,n>2];

a>b>0=>Va>Vb（nGN+,n>2）.

六、基本不等式及其應(yīng)用

1.基本不等式:竽2VHF(a20,bN0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2.利用基本不等式求最值：

已知x>0,y>0,則

Q2

(1)若x+y=s(s為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy取得最大值簡(jiǎn)記:和定積最大)

(2)若xy=p(p為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y取得最小值2G.(簡(jiǎn)記:積定和最小)

七、一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系

設(shè)y=ax2+bx+c(a>0),判別式A=b2-4ac

判別式△>0A=0A<0

方程y=X1,X2X1=X2

_b_沒(méi)有實(shí)數(shù)根

0的解(X1<X2)=-2a

\Ryk

函數(shù)\2

y=ax2+bx+

c(a>0)的

圖象

~~0X=XX

不b)

y>0{x|x<Xi,或X>X2)R

等

式

的

解y<0{X|X1<X<X2)00

集

八、函數(shù)的概念與表示

1.函數(shù)的三要素

函數(shù)的三要素意義

定義域在函數(shù)匕f因距A中，集合A＞為函數(shù)的定義域,x鄴為自變量

值域集合｛f(現(xiàn)＜￡A｝稱為函數(shù)的值域，與x值對(duì)應(yīng)的v值稱為函數(shù)值

對(duì)應(yīng)關(guān)系某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f(在定義域下求值域的運(yùn)算法則)

2.函數(shù)的表示法:解析法、列表法、圖象法.

九、函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)圖數(shù)y呸)的定義域是D,如果對(duì)于任意的咨￡D,當(dāng)飛＜2時(shí)，都有

定義f(Xi)＜f(X2),那么就稱函數(shù)

f(xi)＞f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

十、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A,如果對(duì)任意

奇函數(shù)的xWA,有-x￡A,且f(-x)=-f(x),那么稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A,如果對(duì)任意

偶函數(shù)的xWA,有-xWA,且f(-x)=f(x),那么稱函關(guān)于y軸對(duì)稱

數(shù)f(x)為偶函數(shù)

十二、指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)

1.實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(a>O,b>O,a*dR)

(l)aa-aP=aa+P;

(2)(aa]P=aaP;

(3)(ab)a=aaba.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

十三、對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念與運(yùn)算

一般地，如果a(a>0,且aWl)的b次幕等于N,即ab=N,那么數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b.其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)N叫作

概念

真數(shù)

對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=Nox=logaN(a>0,且aW1)

logal=OJogaa=l,a"°°aN=NjogaaN=N(a>0,且aWl)

若a>0,且a#l,M>O,N>O,b￡RjU!J

運(yùn)算(l)10ga(M-NJ=10gaM+10gaN；

M

(2)10ga—=10gaM-10gaN；

(3)10gaMb=bl0gaM

log_b

logab=(a>0,b>0,c>0,且aWl,cW1),

換底]oga

n

公式J^T&：log/7mN=^logbN,logbN=j^—^(N>O,b>O,m#O,SNWl,bWl)

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

在定義域(0,+8)上是增函數(shù).在定義域(0,+8)上是減函數(shù).

單調(diào)性當(dāng)X值趨近于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大;當(dāng)X值趨近當(dāng)x值趨近于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大;當(dāng)X值趨近

于0時(shí)，函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大于0時(shí)，函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大

函數(shù)值x￡(0,l)時(shí),y￡(-8,0);x￡(O,l)時(shí),yW(0,+8)；

特點(diǎn)xG[l,+oo)Hj-,ye[0,+ooJXG[1,+oo)0^,y￡(-oo,0]

函數(shù)y=logx的圖象與函數(shù)y=logix的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

對(duì)稱性a

a

設(shè)yi=logaX,y2=logbX,其中a>l,b>l,

補(bǔ)充性質(zhì)⑴當(dāng)x>l時(shí)，"底大圖低"，即若a>b,則yivyz；

(2)當(dāng)0<x<l時(shí)，"底大圖高"，即若a>b,則yi>y2

十四、函數(shù)的零點(diǎn)

概念使得f(xo］=O的數(shù)xo稱為方程f(x)=O的解，也稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

方程的根與函數(shù)

方程f(x)=O有實(shí)數(shù)根0函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)=函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

零點(diǎn)的關(guān)系

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)即f(a)-f(b)<0廁在開(kāi)區(qū)

零點(diǎn)存在定埋

間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間(a,b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)=O至少有一個(gè)解

十五、二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)近似值的步驟

1.確定零點(diǎn)X0的初始區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證f(a>f(b)<0,給定精確度s.

2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.

3.計(jì)算f(c),并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

⑴若f(c)=O(此時(shí)xo=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn);

(2)若f(a>f(c)<0(此時(shí)xoG(a,c)),則令b=c;

(3)若f(c)-f(b)<0(此時(shí)xoG(c,b)),則令a=c.

4.判斷是否達(dá)到精確度e:若|a-b|<e,則得到零點(diǎn)近似值(可以是［a,b］中的任意一個(gè)值)否則重復(fù)步驟2~4.

十六、抽樣

一般地，從N(N為正整數(shù))個(gè)不同個(gè)體構(gòu)成的總體中，逐個(gè)不放回地抽取n(lWn<N)個(gè)個(gè)體組成樣本，并且每次抽取時(shí)總體內(nèi)

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

的每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，這樣的抽樣方法通常叫作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

將總體按其屬性特征分成互不交叉的若干類型(有時(shí)稱作層工然后在每個(gè)類型中按照所占比例隨機(jī)抽取一定的個(gè)體，這種抽

分層隨機(jī)抽樣

樣方法通常叫作分層隨機(jī)抽樣

十七、頻率分布直方圖

在頻率分布直方圖中，縱軸表示嚀，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用小矩形的面積來(lái)表示，各小矩形的面積總和等于1.

組a巨

十八、用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征

1.樣本的數(shù)字特征

Xl,X2,...,Xn的平均數(shù)是又=L(Xl+X2+...+Xn)

平均數(shù)

眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順用非列后"中間"的那個(gè)數(shù)據(jù)

1--

方差S2=-[(X1-X]2+(X2-X)2+...+(Xn-X]2]

標(biāo)準(zhǔn)差S=J；[(X1聞2+&和+…+囪種

2.分層隨機(jī)抽樣的均值與方差

⑴分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù):設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為自拓，…,心相應(yīng)權(quán)重分別為W1,W2，…,W”則這個(gè)樣本的平

+

均數(shù)為W1元1+W2元2+…+WnKp為了簡(jiǎn)化表示，弓|進(jìn)求和符號(hào)，記作W1XX+W2X2—+WnXn=幺WiXj.

i=l

(2)分層隨機(jī)抽樣的方差:設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為五為，…,屁,方差分別為統(tǒng)田，…,s/相應(yīng)的權(quán)重分別為

W1,W2，…,Wn,則這個(gè)樣本的方差為s2=X郎］，其中元為這個(gè)樣本的平均數(shù).

1=1

3.百分位數(shù):一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p6(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn):總體數(shù)據(jù)中的任

意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.

十九、隨機(jī)事件的運(yùn)算

定義符號(hào)表示

交事件(積事件)由事件A與事件B都發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為事件A與事件B的交事件(或積事件)ACIB（或AB）

由事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生，或B