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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:“一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈多少?”現(xiàn)有類似問(wèn)題:一座5層塔共掛了363盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍,則塔的底層共有燈A.81盞 B.112盞 C.162盞 D.243盞2.若,則下列不等式恒成立的是A. B. C. D.3.已知函數(shù)的最大值為,最小值為,則的值為()A. B. C. D.4.已知變量滿足約束條件,則的最大值為()A.8 B.7 C.6 D.45.圓x-12+y-3A.1 B.2 C.2 D.36.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則在方向上的投影為()A.1 B.2 C.3 D.47.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是()A. B. C. D.8.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于的概率是()A. B. C. D.9.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖,則由圖形中的數(shù)據(jù),可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A.12.5;12.5 B.13;13 C.13;12.5 D.12.5;1310.某數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組有3名男同學(xué)和2名女同學(xué),現(xiàn)從這5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).則選出的2人中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11._______________。12.若數(shù)列滿足,且,則___________.13.已知角滿足,則_____14.若一個(gè)圓錐的高和底面直徑相等且它的體積為,則此圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____.15.設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且滿足.則______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊過(guò)點(diǎn),則_______;_______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知是夾角為的單位向量,且,.(1)求;(2)求與的夾角.18.已知數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知向量,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若向量與垂直,求的值.20.已知函數(shù)(,)為奇函數(shù),且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.21.如圖,在正中,,.(1)試用,表示;(2)若,,求.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構(gòu)成一個(gè)公比為3的等比數(shù)列,其和為1.由等比數(shù)列的知識(shí)可得.【詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為a1,a2,a3故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問(wèn)題.2、D【解析】∵∴設(shè)代入可知均不正確對(duì)于,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D3、B【解析】由解得為函數(shù)的定義域.令,消去得,圖像為橢圓的一部分,如下圖所示.,即直線,由圖可知,截距在點(diǎn)處取得最小值,在與橢圓相切的點(diǎn)處取得最大值.而,故最小值為.聯(lián)立,消去得,其判別式為零,即,解得(負(fù)根舍去),即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)怎樣求最大值和最小值.先用換元法,將原函數(shù)改寫(xiě)成為一次函數(shù)的形式.然后利用和的關(guān)系,得到的可行域,本題中可行域?yàn)闄E圓在第一象限的部分.然后利用,用截距的最大值和最小值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.4、B【解析】
先畫(huà)出滿足約束條件的平面區(qū)域,然后求出目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解點(diǎn)的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)即可求出答案.【詳解】滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示:作直線把直線向上平移可得過(guò)點(diǎn)時(shí)最小當(dāng),時(shí),取最大值1,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,其中畫(huà)出滿足約束條件的平面區(qū)域,找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.5、C【解析】
先計(jì)算圓心到y(tǒng)軸的距離,再利用勾股定理得到弦長(zhǎng).【詳解】x-12+y-32=2圓心到y(tǒng)軸的距離d=1弦長(zhǎng)l=2r故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的弦長(zhǎng)公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、A【解析】
根據(jù)正弦定理,將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn),結(jié)合兩角和差的正弦公式可求,根據(jù)在方向上的投影為,代入數(shù)值,即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,即,即,因?yàn)?,所以,所以,所以在方向上的投影為:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應(yīng)用,根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、D【解析】
首先計(jì)算出,根據(jù)三角函數(shù)定義可求得正弦值和余弦值,從而得到結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)定義知:,,則:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的求解問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
記事件,基本事件是線段的長(zhǎng)度,如下圖所示,作于,作于,根據(jù)三角形的面積關(guān)系得,再由三角形的相似性得,可得事件的幾何度量為線段的長(zhǎng)度,可求得其概率.【詳解】記事件,基本事件是線段的長(zhǎng)度,如下圖所示,作于,作于,因?yàn)?,則有;化簡(jiǎn)得:,因?yàn)?,則由三角形的相似性得,所以,事件的幾何度量為線段的長(zhǎng)度,因?yàn)?,所以的面積大于的概率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型,屬于基礎(chǔ)題.常有以下一些方面需考慮幾何概型,求解時(shí)需注意一些要點(diǎn).(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí),應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時(shí),關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。(3)幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn):一是無(wú)限性,二是等可能性.基本事件可以抽象為點(diǎn),盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用"比例解法求解幾何概型的概率.9、D【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計(jì)算方法,即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解:由題意,頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù),所以中間一個(gè)矩形最該,故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為,而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo),第一個(gè)矩形的面積為,第二個(gè)矩形的面積為,故將第二個(gè)矩形分成即可,所以中位數(shù)是,故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解,其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對(duì)應(yīng)的概率,且各個(gè)小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.10、A【解析】
把5名學(xué)生編號(hào),然后寫(xiě)出任取2人的所有可能,按要求計(jì)數(shù)后可得概率.【詳解】3名男生編號(hào)為,兩名女生編號(hào)為,任選2人的所有情形為:,,共10種,其中恰有1名男生1名女生的有共6種,所以所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,方法是列舉法.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
本題首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)得出,然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得出,最后根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果。【詳解】,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,考查到的公式有、、以及,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。12、【解析】
對(duì)已知等式左右取倒數(shù)可整理得到,進(jìn)而得到為等差數(shù)列;利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得,進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式,從而求得結(jié)果.【詳解】,即數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題,關(guān)鍵是明確對(duì)于形式的遞推關(guān)系式,采用倒數(shù)法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).13、【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角公式,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】解:角滿足,可得
則.
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角公式,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
先由圓錐的體積公式求出圓錐的底面半徑,再結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】解:設(shè)圓錐的底面半徑為,則圓錐的高為,母線長(zhǎng)為,由圓錐的體積為,則,即,則此圓錐的側(cè)面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積公式,重點(diǎn)考查了圓錐的側(cè)面積公式,屬基礎(chǔ)題.15、4【解析】
解法1有題設(shè)及余弦定理得.故.解法2如圖4,過(guò)點(diǎn)作,垂足為.則,.由題設(shè)得.又,聯(lián)立解得,.故.解法3由射影定理得.又,與上式聯(lián)立解得,.故.16、【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求得的值,即可得答案.【詳解】∵角終邊過(guò)點(diǎn),,∴,,,∴.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)題知,由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算即可,注意,在去括號(hào)的向量運(yùn)算過(guò)程中可采用多項(xiàng)式的運(yùn)算方法;(2)根據(jù)向量數(shù)量積公式,可先求出的值,又,從而可求出的值.試題解析:(1)==(2)18、(1);(2)【解析】
(1)按等比數(shù)列的概念直接求解即可;(2)先求出的表達(dá)式,再利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得:(2)由(1)可得:【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題及利用裂項(xiàng)相消法求和的問(wèn)題,屬常規(guī)考題.19、(Ⅰ)-1;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算;(Ⅱ)由垂直關(guān)系,得到坐標(biāo)間的等式關(guān)系,然后計(jì)算出參數(shù)的值.【詳解】解:(Ⅰ)因向量,∴,∴(Ⅱ),∵向量與垂直,∴∴,∴【點(diǎn)睛】已知,若,則有;已知,若,則有.20、(1),](2)值域?yàn)閇,].【解析】
(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式,根據(jù)條件,可求出周期和,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),求出,再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間;(2)利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,求出的解析式,再利用正弦函數(shù)定義域,即可求出時(shí)的值域.【詳解】解:(1)由題意得,因?yàn)橄噜弮蓪?duì)稱軸之間距離為,所以,又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,∴,因?yàn)椋怨屎瘮?shù)令.得.令得,因?yàn)?,所以函?shù)的單調(diào)遞減
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