高等數(shù)學三重積分

高等數(shù)學三重積分第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“分割作近似，求和取極限！”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)然后，結(jié)合二重積分的方法即可轉(zhuǎn)化為三次積分。先假設(shè)連續(xù)函數(shù)最后,推廣到一般可積函數(shù)的定積分計算.這里只敘述三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的方法:第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日方法1.投影法(“先一后二”)則有：記作第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日方法2.截面法(“先二后一”)則有：記作第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日投影法三次積分的轉(zhuǎn)化方法：設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日當被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日其中

為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.計算三重積分解:

用“先二后一”第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日小結(jié):直角坐標下三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”注：“三次積分”的計算：第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.利用柱面坐標計算三重積分

就稱為點M的柱面坐標.直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:坐標面分別為圓柱面半平面平面第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日其中為例3.計算三重積分所解:在柱面坐標系下及平面由柱面圍成半圓柱體.第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日例4.

計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日3.利用球面坐標計算三重積分

就稱為點M的球面坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系坐標面分別為球面半平面錐面第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系變量可分離.圍成;第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習六個平面圍成,第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計算提示: