一元二次方程知識點總結

21章一元二次方程知識點一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等號兩邊是整式，含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必須是一個整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2；（4）二次項系數不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個關于未知數x的二次三項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。注意：（1）二次項、二次項系數、一次項、一次項系數，常數項都包括它前面的符號。（2）要準確找出一個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項，必須把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當且僅當時是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，如：當時，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有兩個根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接開平方法:直接開平方法理論依據：平方根的定義。利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數根。三種類型：（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。2、配方法:配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有。（一）用配方法解二次項系數為1的一元二次方程用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的步驟：把一元二次方程化成一般形式在方程的左邊加上一次項系數絕對值的一半的平方，再減去這個數；把原方程變?yōu)榈男问?。若，用直接開平方法求出的值，若n﹤0，原方程無解。（二）用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程當一元二次方程的形式為時，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把一元二次方程化成一般形式(2)先把常數項移到等號右邊，再把二次項的系數化為1：方程的左、右兩邊同時除以二項的系數；（3）在方程的左、右兩邊加上一次項系數絕對值的一半的平方把原方程化為的形式；（4）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；并判斷方程根的情況；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。因式分解法的理論依據：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0（即化為一般式）；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關鍵點：（1）要將方程右邊化為0（即化為一般式）；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因為配方法解題比較麻煩。三、一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即I當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根；III當△<0時，一元二次方程沒有實數根利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況。根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0（2）方程有兩個相等的實數根=0（3）方程沒有實數根﹤0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件。四、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）如果方程的兩個實數根是，那么，。

⑴

在一元二次方程的一般形式中要注意，強調a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程．

⑵

應用求根公式解一元二次方程時應注意：①先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，則方程無解．

⑶

利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數的代數式．如－2(x＋4)2

=3（x＋4）中，不能隨便約去x＋4。

⑷

注意：解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法→因式分解法→公式法．

6．一元二次方程解的情況

⑴b2－4ac≥0方程有兩個不相等的實數根；

⑵b2－4ac=0方程有兩個相等的實數根；

⑶b2－4ac≤0方程沒有實數根。

解題小訣竅：當題目中含有“兩不等實數根”“兩相等實數根”“沒有實數根”時，往往首先考慮用b2－4ac解題。主要用于求方程中未知系數的值或取值范圍。

考點3：根與系數的關系:韋達定理

對于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）來說，x1

+x2

=—ab，x1●x2=

ac。

也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。五、一元二次方程的應用知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟審題，（2）設未知數，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗，（6）作答。關鍵點：找出題中的等量關系。一、一元二次方程的有關概念1．的一般形式是，其中二次項是，一次項系數是2．當=時，方程有一根是0.3．若（b—1）2+a2=0下列方程中是一元二次方程的只有（）（A）ax2+5x–b=0（B）(b2–1)x2+(a+4)x+ab=0（C）(a+1)x–b=0（D）(a+1)x2–bx+a=04.關于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么當m時，方程為一元二次方程；當m時，方程為一元一次方程.5．方程（m－2）x＋x－4＝0是一元二次方程，則m的值為6．已知,是關于的二次方程,則＝7．已知是方程的一個根，則a=________，另一個根為_________；8．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A.B.C.D.9．關于x的一元二次方程,當a+b+c=0時，方程的根為_____；當方程的一根為—1時，a,b,c滿足的條件是______二、一元二次方程的解法1．方程的根是2．已知代數式4x2–14=50,則x的值為2．8塊相同的長方形地磚拼成面積為2400㎝2的矩形ABCD（如圖），則矩形ABCD的周長為（）200㎝（B）220㎝（C）240㎝（D）280㎝3．已知關于x的二次方程（m+1）x2+3x+m2–3m–4=0的一個根為0，求m的值4．請寫出一個一元二次方程使它有一個根為3，5．分式的值是0，則；6．用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A.x2-2x-99=0化為(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化為D.3y2-4y-2=0化為7．下面是李剛同學在一次測驗中解答的填空題，其中答對的是（）．A.若x2=4，則x＝2B.方程x(2x－1)＝2x－1的解為x＝1C.若x2+2x+k=0的一個根為1，則D.若分式的值為零，則x＝1，28．方程的根是___________；方程的根是_____________；方程的根是；方程x2-1=0的根為________；的根是______9．設是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為10.方程兩根的平方和倒數和11．已知實數滿足,那么的值為12．已知方程（x+a）（x-3）=0和方程x2-2x-3=0的解相同，則a=_________14．等腰三角形的兩邊的長是方程的兩個根，則此三角形的周長為（）A.27B.33C.27和33D.以上都不對15．若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+8=0，則此三角形的周長為.16．請寫出一個根為x=-1，另一根滿足的一元二次方程一元二次方程解法練習題用直接開平方法解下列一元二次方程。1、2、3、4、二、用配方法解下列一元二次方程。1、.2、3、4、5、6、7、三、用公式解法解下列方程。1、2、3、4、5、6、四、用因式分解法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7．五、用適當的方法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13.14.15.x2+4x-12=016.17.18、3x2+5(2x+1)=019、20、三、一元二次方程根的判別式1．關于x的方程kx2–6x+1=0有兩個實數根，則k的取值范圍是.2．若關于x的方程x2–2(a–1)x=(b+2)2有兩個相等的實根，則a2004+b5的值為3．若關于x的方程x2–2x(k-x)+6=0無實根，則k可取的最小整數為______________4．方程的根的情況是__________5．關于x的方程有兩個不相等的實數根，則m的最小整數值是6．.如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是（）

7．關于的一元二次方程有兩個相等的實數根,那么以a、b、c為三邊的三角形是()A、以為斜邊的直角三角形B、以為斜邊的直角三角形C、以為底邊的等腰三角形D、以為底邊的等腰三角形8．關于的一元二次方程的根的情況是()有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根C.無實數根D.不能確定9．已知關于的方程有兩個相同的實數根，則的值是．10．關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是。11.已知關于的方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是．12．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則化簡代數式的結果為____13．如果關于x的方程有兩個相等的實數根，那么a的值等于.14．如果關于x的方程有實數根，則實數的取值范圍是．15．求證：不論k取什么實數，方程x2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有兩個不相等的實數根.16.已知a、b、c為三角形三邊長，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個相等的實數根.試判斷此三角形形狀，說明理由四、一元二次方程根與系數的關系1、關于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，當m=時，兩根互為倒數；當m=時，兩根互為相反數.2、設x1、x2是方程3x2+4x–5=0的兩根，則.x12+x22=.3、若x1=是二次方程x2+ax+1=0的一個根，則a=，該方程的另一個根x2=.4、方程x2+2x+a–1=0有兩個負根，則a的取值范圍是5、若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，則.6、已知方程的兩根平方和是5，則=.7、如果把一元二次方程

x2–3x–1=0的兩根各加上1作為一個新一元二次方程的兩根，那么這個新一元二次方程是.8.方程的兩個根分別是兩個根的一半，則；9．如果α、β是一元二次方程x2＋3x－2＝0的兩個根，則α2＋2α－β的值是．10．已知三角形兩邊長是方程的兩個根，第三邊=3,則三角形的的周長是考點：一元二次方程的應用一、考點講解：1．構建一元二次方程數學模型，常見的模型如下：⑴與幾何圖形有關的應用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等；⑵有關增長率的應用：此類問題是在某個數據的基礎上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數據，常見的等量關系是a(1±x）2=b，其中a表示增長（降低）前的數據，x表示增長率（降低率），b表示后來的數據。注意：所得解中，增長率不為負，降低率不超過1。⑶經濟利潤問題：總利潤=（單件銷售額－單件成本）×銷售數量；或者，總利潤=總銷售額－總成本。⑷動點問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據條件設出未知數后，要想辦法把圖中變化的線段用未知數表示出來，再根據題目中的等量關系列出方程。2．注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當的選擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據實際做出正確取舍，以保證結論的準確性．C二、經典考題剖析：C【考題1】（2009、深圳南山區(qū)）課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的花圃（如圖1－2－1），打算一面利用長為15米的倉庫墻面，三面利用長為33米的舊圍欄，求花圃的長和寬．解：設與墻相接的兩邊長都為米，則另一邊長為米，依題意得，∴又∵當時，當時，＞15∴不合題意，舍去．∴答：花圃的長為13米，寬為10米．【考題2】（2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現在的人均約為10平方米提高到12.1平方米，若每年的增長率相同，則年增長率為（）A.9﹪B.10﹪C.11﹪D.12﹪解：設年增長率為x，根據題意得10(1+x)=12.1，解得x1=0.1，x2=－2.1．因為增長率不為負，所以x=0.1。故選D?！究碱}3】（2009、?？冢┠乘l(fā)商場經銷一種高檔水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發(fā)現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？解：設每千克水果應漲價x元，依題意，得(500－20x)（10+x）=6000．整理，得x－15x＋50=0．解這個方程，x=5，x=10．要使顧客得到實惠，應取x=5．答：每千克應漲價5元．．點撥：①此類經濟問題在設未知數時，一般設漲價或降價為未知數；②應根據“要使顧客得到實惠”來取舍根的情況．【考題4】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，點P從A點開始沿AB邊向點B點以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.（1）如果點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，經過幾秒鐘，△PBQ的面積等于4？（2）如果點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，經過幾秒鐘，PQ的長度等于5？PPQBCA解：（1）設經過x秒鐘，△PBQ的面積等于4，則由題意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,由BP·BQ=4，得（5－x）·2x=4，解得，x=1，x=4．當x=4時，BQ=2x=8＞7=BC，不符合題意。故x=1（2）由BP+BQ=5得（5－x）+（2x）=5,解得x1=0（不合題意），x2=2．所以2秒后，PQ的長度等于5。三、針對性訓練：1．小明的媽媽上周三在自選商場花10元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時，正好遇上商場搞酬賓活動，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，結果小明的媽媽只比上次多花了2元錢，卻比上次多買了2瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶？2．合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十·一”國慶節(jié)，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經市場調查發(fā)現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少？3．在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應為多少？32m32m20m4．小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲蓄，到期后自動轉存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲蓄的年利率.（精確到0.1%）5．如圖12-3，△ABC中，∠B=90°，點P從A點開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動。（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經幾秒鐘，使△ABQ的面積等于8cm2?(2)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進，Q以C后又繼續(xù)在AC邊上前進，經幾秒鐘，使△PCQ的面積等于12.6cm2。解：依題意，得：（6-x）·2x=8解這個方程得：x1=2，x2=4即經過2s，點P到距離B點4cm處，點Q到距離B點4cm處；經過4s，點P到距離B點2cm處，點Q到距離B點8cm處。故本小題有兩解。（2）設經過x秒，點P移動到BC上，且有CP=（14-x）cm,點Q移動到CA上，且命名CQ=（2x-8）cm，過Q作QD⊥CB于D?！摺鰿QD∽△CAB，∴，即QD=。依題意，得：（14-x）·=12.6，解這個方程得：x1=7，x2=11經過7s，點P在BC距離C點7cm處，點Q在CA上距離C點6cm處，使S△PCQ=12.6cm2經過11s，點P在BC距離C點3cm處，點Q在CA上距離C點14cm處，∵14＞0,點Q已超出CA范圍，此解不存在。故本題只有一解。例1、某種商品原價50元。因銷售不暢,3月份降價10%,從4月份開始漲價,5月份的售價為64.8元,則4、5月份兩個月平均漲價率為.思維點擊：由題意，3月份的售價可以用50×（1—10%）表示，若設4、5月份兩個月平均漲價率為，則4月份的售價是50×（1—10%）×（1+），5月份的售價是50×（1—10%）×（1+）（1+）即50×（1—10%）×（1+），由于5月份的售價已知，所以可列出一個方程，進而解決本題。解：設4、5月份兩個月平均漲價率為，由題意，得50×（1—10%）×（1+）=64.8。整理，得（1+）=1.44.解得：（不合題意，舍去）。所以4、5月份兩個月平均漲價率為20%。解后反思：列方程解應用題，要注意求得的方程的解必須符合題意。例2、如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長.思維點擊：設截去正方形的邊長x厘米之后，關鍵在于列出底面（圖示虛線部分）長和寬的代數式.結合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數式.解：設截去正方形的邊長為x厘米，根據題意，得(60－2x)(40－2x)＝800.原方程可寫成：解這個方程，得如果截去的小正方形的邊長為40厘米，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為80厘米，這超過了長方形鐵皮的長60厘米，因此不符合題意，應舍去。答：截去正方形的邊長為10厘米。溫馨提示：在應用一元二次方程解實際問題時，也像以前學習一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數量關系，列出方程，把實際問題轉化為數學問題來解決.求得方程的解之后，要注意檢驗是否符合題意，然后得到原問題的解答.范例探究★基礎思維探究探究點1、與圖形有關的問題例1、為了培養(yǎng)孩子從小熱愛動物的良好品德，在一邊靠校園20米的院墻，另外三邊用55米長的籬笆，圍起一個面積為300的矩形場地．組織生物小組學生喂養(yǎng)小鳥、兔子等小動物．問這個場地的各邊長為多少？思維點擊：設與院墻垂直的邊長為xm，則與院墻平行的邊長為(55-2x)m，根據矩形面積公式可列出方程式．解：設與院墻垂直的邊長為xm，則與院墻平行的邊長為(55-2x)m，根據題意得：．整理，得.解方程，得當x＝20，即與院墻垂直的邊長為20米時，另一邊長為20米，即與院墻平行的邊長為15米．當x＝15，即與院墻垂直的邊長為15米時，另一邊長為25米，即與院墻平行的邊長為25米．由于校園的院墻長20米，20＜25，所以此解不合題意，應舍去．答：與院墻垂直的邊長為20米，與院墻平行的邊長為15米．溫馨提示：若設與院墻平行的邊長為xm，則與院墻垂直的邊長為m．根據矩形面積公式也可以列出方程式．但出現了分數，不如前一種設法好．探究點2、利潤問題例2、某商場服裝柜在銷售中發(fā)現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經市場調查發(fā)現：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？思維點擊：每天售出的童裝件數×每件童裝的利潤=每天這種童裝的總利潤。解：設每件童裝應降價元，根據題意，得化簡，得，解得。因為要盡快減少庫存，所以應取20。答：每件童裝應降價20元。溫馨提示：求出方程的解后，必須根據要求，對方程的解進行合理取舍。探究點3、增長率問題例3、某廠1月份生產零件2萬個，第一季度共生產零件7.98萬個，若每月的增長率相同，求每月的增長率。思維點擊：解：設每月的平均增長率為x，依題意，得2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98經整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合題意，舍去。答：每月的增長率為30%。溫馨提示：（1）解本題的關鍵是理解“7.98萬個零件是